专题10 因式分解的应用 带解析

2022-2023学年苏科版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题10因式分解的应用一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•江阴市期中）若一个正整数能表示成另两个正整数的平方差，即x＝a2﹣b2（其中a、b、x为正整数），则称这个正整数为完美数．下列各数中不是完美数的是（）A．2022 B．2021 C．2020 D．2019解：设k是正整数，∴（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，∴除1以外，所有的奇数都是完美数，∴B，D选项都是完美数，不符合题意；∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，∴除4以外，所有能被4整除的偶数都是完美数，∴C选项是完美数，不符合题意，∵2022既不是奇数也不能被4整除，∴2022不是完美数，符合题意．故选：A．2．（2分）（2022春•济南期末）已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a+b+c）（b+c+d），N＝（a+b+c+d）（b+c），那么M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定解：设A＝a+b+c，B＝b+c，∵a，b，c，d都是正数，∴A＞B，则M＝（a+b+c）（b+c+d）＝A（B+d）＝AB+Ad，N＝（a+b+c+d）（b+c）＝（A+d）B＝AB+Bd，∴M﹣N＝AB+Ad﹣（AB+Bd）＝（A﹣B）d，而A＞B，∴（A﹣B）d＞0，∴M＞N．故选A．3．（2分）（2021秋•江油市期末）已知x2+x＝1，那么x4+2x3﹣x2﹣2x+2023的值为（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023解：∵x2+x＝1，∴x4+2x3﹣x2﹣2x+2023＝x4+x3+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2（x2+x）+x3﹣x2﹣2x+2023＝x2+x3﹣x2﹣2x+2023＝x（x2+x）﹣x2﹣2x+2023＝x﹣x2﹣2x+2023＝﹣x2﹣x+2023＝﹣（x2+x）+2023＝﹣1+2023＝2022．故选：C．4．（2分）（2021秋•綦江区期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，a2+b2≠c2，是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），∴c2（a2﹣b2）﹣（a2﹣b2）（a2+b2）＝0，∴（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，∴a2﹣b2＝0或c2﹣（a2+b2）＝0，∴a2＝b2或c2＝（a2+b2），∵a2+b2≠c2，∴a2＝b2，∴a＝b（舍去负值），∴△ABC为等腰三角形．故选：B．5．（2分）（2021春•渠县校级期中）若a＝1999x+2000，b＝1999x+2001，c＝1999x+2002，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3解：∵2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（1999x+2000﹣1999x﹣2001）2+（1999x+2000﹣1999x﹣2002）2+（1999x+2001﹣1999x﹣2002）2＝1+4+1＝6．∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝6×＝3．故选：D．6．（2分）（2020秋•黔江区期末）248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故选：B．7．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18解：∵a+b＝﹣3，ab＝7，∴a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）＝（7﹣1）×（﹣3）＝﹣18，故选：D．8．（2分）（2022秋•丰泽区校级期末）当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（）A．5 B．6 C．7 D．8解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5+3）（4m+5﹣3）＝（4m+8）（4m+2）＝8（m+2）（2m+1），∴（4m+5）2﹣9一定能被8整除；故选：D．9．（2分）（2022春•宁远县月考）对于任何整数a，多项式（2a+5）2﹣5都能（）A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被a整除解：（2a+5）2﹣5＝4a2+20a+25﹣5＝4a2+20a+20＝4（a2+5a+5），故选：B．10．（2分）（2022春•安乡县期中）现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．小涵的生日是12月3日，他想用刚学的因式分解来设计家中的电脑密码．若对于多项式（x4﹣y4），因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若x＝10，y＝6，则（x﹣y）＝4，（x+y）＝16，（x2+y2）＝136，于是可将“416136”作为密码．对于多项式9x3﹣xy2，小涵用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则产生的密码不可能是（）A．123933 B．339321 C．333912 D．391233解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x﹣y）（3x+y）；∵小涵用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，∴x＝12，y＝3，∴3x﹣y＝33，3x+y＝39，当x（3x+y）（3x﹣y）时，产生的密码为123933，为选项A；当（3x﹣y）（3x+y）x时，产生的密码为333912，为选项C；当（3x+y）x（3x﹣y）时，产生的密码为391233，为选项D；无法产生选项B．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•兴化市月考）若a+b＝3，ab＝﹣1，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为﹣9．解：a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2，∵a+b＝3，ab＝﹣1，∴ab（a+b）2＝﹣1×32＝﹣9．故答案为：﹣9．12．（2分）（2022春•柯桥区期中）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数．如，52﹣32＝16，则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数．则2019的智慧分解数有338和335，1010和1009．解：设2019＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．其中a，b是正整数，且a＞b．∵2019＝673×3＝2019×1，∴或．∴或．∴2019的智慧分解数有338和335及1010和1009．故答案为：338和335及1010和1009．13．（2分）（2022春•温江区校级期中）如果3个数位相同的自然数m，n，k满足：m+n＝k，且k各数位上的数字全部相同，则称数m和数n是一对“黄金搭档数”．例如：因为25，63，88都是两位数，且25+63＝88，则25和63是一对“黄金搭档数”．再如：因为152，514，666都是三位数，且152+514＝666，则152和514是一对“黄金搭档数”．（1）87的“黄金搭档数”是12；（2）已知两位数s和两位数t的十位数字相同，若s和t是一对“黄金搭档数”，并且s与t的和能被7整除，则s的值38或39．解：（1）∵87+12＝99，87，12，99都是两位数，∴87和12是一对“黄金搭档数”；由上可知，87的“黄金搭档数：12．故答案为：12．（2）∵s和t的是两位数，s和t是一对“黄金搭档数”，∴s和t的和也是两位数且各位数上的数字全部相同，∵s与t的和能被7整除，∴s和t的和为77，∵s和t的十位数字相同，77＝38+39，∴s为38或39．故答案为：38或39．14．（2分）（2022春•包河区期中）若实数a，b，c，d满足8a2+7c2＝16ab，9b2+4d2＝8cd，则a+b+c+d＝0．解：∵8a2+7c2＝16ab，9b2+4d2＝8cd，∴8a2﹣16ab+9b2+7c2﹣8cd+4d2＝0，8（a﹣b）2+b2+3c2+4（c﹣d）2＝0，由非负数的性质得a﹣b＝b＝c＝c﹣d＝0，∴a＝b＝c＝d＝0，∴a+b+c+d＝0．故答案为：0．15．（2分）（2021秋•仁寿县期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于3．解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]＝[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]＝×6＝3．故答案为：3．16．（2分）（2022春•洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为48．解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，∴2（m+n）＝16，mn＝6，即m+n＝8，mn＝6，则原式＝mn（m+n）＝48，故答案为：4817．（2分）（2022春•东乡区期中）计算：12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝2016．解：∵12﹣22﹣32+42＝4，52﹣62﹣72+82＝4，…，20132﹣20142﹣20152+20162＝4，将计算式依次分组，每4个数为一组，即n2﹣（n+1）2﹣（n+2）2+（n+3）2，＝﹣（n+1﹣n）（n+1+n）+（n+3+n+2）（n+3﹣n﹣2），＝﹣2n﹣1+2n+5，＝4，∴每组都等于4，∴12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝2016，故答案为：2016．18．（2分）（2021春•井研县期末）定义：对于四位自然数m，若其千位数字与个位数字之和为7，百位数字与十位数字之和也等于7，则称这个四位自然数m为“七巧数”．例如：3254是“七巧数”，因为3+4＝7，2+5＝7，所以3254是“七巧数”；1456不是“七巧数”，因为1+6＝7，4+5≠7，所以1456不是“七巧数”．（1）若一个“七巧数”的千位数字为a，则其个位数字可以表示为7﹣a；（用含a的代数式表示）（2）若“七巧数”m的千位数字加上十位数字的和，是百位数字减去个位数字的差的3倍，请写出一个满足条件的“七巧数”2615或4523或6431．．解：（1）根据题中的新定义知：个位数为7﹣a，故答案为：7﹣a．（2）设千位数是a，百位数是b，则个位数是（7﹣a），十位数是（7﹣b），由题意得：a+7﹣b＝3（b﹣7+a），即：a+2b＝14，∵a是1﹣7之间的正整数，b是0﹣7之间的正整数，∴当a＝2时，b＝6，a＝4时，b＝5，当a＝6时，b＝4，所以m的值为：2615或4523或6431．19．（2分）（2022秋•万全区期末）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝3；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝﹣2022．解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，2x2﹣4x＝2，∴3x2﹣6x＝3（x2﹣2x）＝3．2x3﹣7x2+4x﹣2019＝x（2x2﹣7x）+4x﹣2019＝x（2x2﹣4x﹣3x）+4x﹣2019＝x（2﹣3x）+4x﹣2019＝2x﹣3x2+4x﹣2019＝﹣3x2+6x﹣2019＝﹣3（x2﹣2x）﹣2019＝﹣3×1﹣2019＝﹣2022．故答案为：3，﹣2022．20．（2分）（2021秋•龙凤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是等腰三角形．解：b2+2ab＝c2+2ac，a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，（a+b）2＝（a+c）2，a+b＝a+c，b＝c，所以此三角形是等腰三角形，故答案为：等腰三角形．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•莱阳市期中）如图，将一块边长为acm的正方形纸片的四个角各剪去一个边长为bcm（b＜）的小正方形．试用含a，b的代数式表示剩余部分的面积，并用分解因式法求当a＝9.7cm，b＝0.15cm时，剩余部分的面积．解：剩余部分的面积是（a2﹣4b2）cm2．当a＝9.7cm，b＝0.15cm时，剩余部分的面积＝a2﹣4b2，＝（a+2b）（a﹣2b）＝（9.7+2×0.15）×（9.7﹣2×0.15）＝10×9.4＝94（cm2）．22．（8分）（2022春•吴江区期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是（a+2b）（a+b）；（4）小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为6a+8b．解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张，故答案为：2，3；（3）由图③可知矩形面积为（a+2b）•（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故答案为：（a+2b）（a+b）；（4）长方形的面积为2a2+3b2+7ab＝（2a+b）（a+3b），∴周长为：2[（2a+b）+（a+3b）]＝6a+8b，故答案为：6a+8b．23．（9分）（2022春•北海期末）一般地，我们把如a2﹣2ab+b2及a2﹣2ab+b2的多项式叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．再如：求代数式x2+4x﹣5的最小值．因为x2+4x﹣5＝x2+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9且（x+2）2≥0所以，当x＝﹣2时，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．根据以上材料，回答下列问题：（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3）；（2）代数式x2+2x+3的最小值是2；（3）试说明：无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．解：（1）a2﹣2a﹣3＝（a2﹣2a+1）﹣4＝（a﹣1）2﹣22＝（a﹣1+2）（a﹣1﹣2）＝（a+1）（a﹣3）．故答案为：（a+1）（a﹣3）（2）∵x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．且（x+1）2≥0．∴（x+1）2+2≥2．∴当x＝﹣1时，x2+2x+3有最小值，最小值是2．故答案为：2．（3）原式＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1．∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1．∴无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．24．（9分）（2022春•禅城区期末）[阅读材料]“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．[方法应用]根据以上材料提供的方法，完成下列问题：（1）由图2可得等式：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab；由图3可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝155；（3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+y+z＝9；（4）如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为a+2b．[方法拓展]（5）已知正数a，b，c和m，m，l满足a+m＝b+n＝a+l＝k．试通过构造边长为k的正方形，利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2．解：（1）由图2知，∵大长方形的面积＝（2a+b）（a+b），大长方形的面积＝3个小正方形的面积+3个小长方形的面积＝a2+a2+b2+3ab＝2a2+b2+3ab，∴（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab；由图3知，∵大正方形的面积＝（a+b+c）2，大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；故答案为：（2a+b）（a+b）＝2a2+b2+3ab，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）∵由图3得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc），＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc），把a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35代入，a2+b2+c2＝152﹣2×35＝225﹣70＝155．故答案为：155．（3）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5ab+2b2，2a2+5ab+2b2可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，∴x＝2，y＝2，z＝5，∴x+y+z＝9．故答案为：9．（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2＝（a+b）2，此时正方形的边长＝a+b，也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，此时正方形的边长＝a+2b，∴拼成的正方形的边长最长为a+2b．故答案为：a+2b．（5）如图，构造了一个边长为k的正方形，AC＝CE＝EG＝AG＝k，在正方形的4个边上分别截取AB＝a，CD＝b，EF＝c和HG＝c，∵a+m＝b+n＝c+l＝k，∴BC＝m，DE＝n，FG＝l，AH＝l，如图构造长方形，∵3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2，∴al+bm+cn＜k2．25．（8分）（2022春•北碚区校级期末）对任意一个三位数n，其各个数位上的数字互不相同且都不为0，如果十位数字与个位数字之和能被百位数字整除，则称n为“乐数”．例如：417是“乐数”，因为1+7＝8，8能被4整除；536不是“乐数”，因为3+6＝9，9不能被5整除．（1）判断351和317是否是“乐数”？请说明理由；（2）求出十位数字比个位数字大5的所有“乐数”．解：（1）351是“乐数”，理由：因为3，5，1都不为0，且5+1＝6，6能被3整除；317不是“乐数”，理由：因为1+7＝8，8不能被3整除；（2）设个位数字为a，则十位数字为a+5（0＜a＜5的整数），a十a+5＝2a+5，当a＝1时，2a+5＝7，∴7能被1，7整除，∴满足条件的三位数有161（舍去），761，当a＝2时，2a十5＝9，∴9能被1，3，9整除，∴满足条件的三位数有172，372，972；当a＝3时，2a+5＝11，∴11能被1整除，∴满足条件的三位数有183，当a＝4时，2a十5＝13，所以13能被1整除，满足条件的三位数有194，故满足条件的“乐