专题14 垂直 带解析

2022-2023学年湘教版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题14垂直考试时间：120分钟试卷满分：100分评卷人得分一、选择题(共10题，每题2分，共20分)1．(本题2分)（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【思路点拨】根据平行线的性质和角平分线的定义、垂直的定义，逐个判断各个小题中的结论是否成立，即可得到答案；【规范解答】∵，，∴，∵平分，，∴；，故①正确；∵，，平分，∴，，，，∴，，故③正确；∴平分，故②正确；∵，，∴，∴，而题目中不能得到，故④错误．故选：A．【考点评析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，垂直的定义，解题的关键是根据平行性性质得到一些等角．2．(本题2分)（2023秋·河南驻马店·七年级统考期末）如图，已知平分，平分，于，，则下列说法：①、②、③、④，其中正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【思路点拨】根据垂直的定义得出，即可判断①，根据角平分线的性质得出,，根据，得出，即可判断，得出②正确；根据角平分线的性质以及角平分线的定义得出，即可判断③，根据邻补角得出，再根据角平分线的定义即可判断④．【规范解答】∵于，，∴，故①正确；∵平分，平分，∴,，∵，∴∴，故②正确；∵，平分，∴，∵，∴，故③正确；∴，∵平分，∴，故④正确；故选：A．【考点评析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．3．(本题2分)（2021春·河南新乡·七年级校考期中）如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（）①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离．A．3个 B．4个 C．7个 D．0个【答案】A【思路点拨】①根据，得到；②与不垂直；③点C到的垂线段是线段；④根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑤根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑥根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；【规范解答】解：①∵，∴；故①正确；②，与不垂直；故②错误；③点C到的垂线段是线段；故③错误；④点A到的距离是线段的长度；故④正确；⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤正确；⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥错误；综上：正确的是：，共3个；故选A．【考点评析】本题考查垂线段．熟练掌握垂线段的定义，以及垂线段的长度是点到线段的距离，是解题的关键．4．(本题2分)（2022春·重庆铜梁·七年级校考期末）下列命题是真命题的个数是（

）①内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④若，则；⑤若，则．⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【思路点拨】分别利用平行线的性质和点到直线的距离定义以及平行线公理分别分析得出答案．【规范解答】解：两条直线平行，内错角相等，故①说法错误，是假命题，不合题意；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，故②符合题意；如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故③是假命题，不合题意；，，则，正确，故④是真命题，符合题意；若则，故原命题错误，故⑤是假命题，不符合题意；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑥说法错误，是假命题，不符合题意．∴真命题是②④共2个，故选B【考点评析】本题考查了真假命题以及平行线的性质，垂直的判定方法，点到直线的距离定义，熟练掌握已经学过的定理，性质和概念是解题的关键．5．(本题2分)（2023春·全国·七年级专题练习）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法错误的是（

）A．当α＝15°时，DC∥ABB．当OC⊥AB时，α＝45°C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行【答案】B【思路点拨】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α＋∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置．【规范解答】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，∠OMN＝α＋∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A说法正确，不符合题意；当OC⊥AB时，α＋∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B说法错误，符合题意；当边OB与边OD在同一直线上时，此时，，，∴；当边OB与边OD在同一直线且不重合时，此时，，∴故C说法正确，不符合题意；整个旋转过程，其中DC边可以与OB，OA，AB分别平行时，之后OC可以和AB平行，OD可以和AB平行，可以得到5个位置，这5个位置再旋转180度又是平行的，所以可以得到10不同的位置，所以D说法正确不符合题意，故选B．【考点评析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．6．(本题2分)（2023春·七年级课时练习）图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（

）A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5【答案】B【思路点拨】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．【规范解答】，，，，，，，，，，则图中互余的角的对数为4对；，，点C是直线AB上一点，，，，又，，，，则图中互补的角的对数为7对，故选：B．【考点评析】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．7．(本题2分)（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）下列命题中：①相等的角是对顶角；②两直线平行，同旁内角相等；③不相交的两条线段一定平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，其中真命题的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【思路点拨】根据对顶角的性质、平行线的性质、点到直线的距离，即可一一判定．【规范解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故该命题是假命题；②两直线平行，同旁内角互补，故该命题是假命题；③不相交的两条线段不一定平行，故该命题是假命题；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故该命题是真命题；故真命题有1个，故选：B．【考点评析】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质、点到直线的距离，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．8．(本题2分)（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有(

)A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】B【思路点拨】根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，判断各个小题中的结论是否成立，从而解答本题．【规范解答】解：，，，平分，，，故①正确；，，平分，，，，，，，故③正确；平分，故②正确；，，，而题目中不能得到，故④错误；故选：B．【考点评析】本题主要考查平行线的性质、垂直、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．(本题2分)（2022春·陕西安康·七年级统考期末）如图，，交AB于点P、交CD于点O，连接AO，OF平分，，，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【思路点拨】根据平行线的性质可求得∠AOD=130°，结合OF平分∠AOD，从而得到∠AOF=65°；由平行线的性质可得∠AOC=50°，再由∠AOE=90°-∠AOF=25°，从而可得∠AOE=∠COE；从∠DOF=∠AOF=65°，可求∠POF=90°-∠DOF=25°，从而可判断；∠AOP=90°-∠POF-∠AOE=40°，而∠COE=25°，故可判断．【规范解答】解：∵ABCD，∠BAO=50°，∴∠AOD=180°-∠BAO=130°，∠COA=∠BAO=50°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=∠DOF=∠AOD=65°，故①正确；∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠AOE=90°-∠AOF=25°，∴∠COE=∠COA-∠AOE=25°，∴∠AOE=∠COE，故②正确；∵OP⊥CD交AB于点P，∴∠POD=90°，∴∠POF=90°-∠DOF=25°，∴∠POF=∠COE，故③正确；∵∠AOP=∠EOF-∠POF-∠AOE=90°-25°-25°=40°，2∠COE=50°，∴∠AOP≠2∠COE，故④错误．综上所述，正确的有①②③，共有3个．故选：C．【考点评析】本题主要考查平行线的性质，垂线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．10．(本题2分)（2022春·甘肃酒泉·七年级统考期中）如图，已知直线，点B在直线a上，点A，C在直线b上，且．若，则∠2的度数是（

）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】C【思路点拨】如图，先根据∠1＝35°，AB⊥BC得出∠3的度数，根据平行线的性质即可得出答案．【规范解答】解：∵∠1＝35°，AB⊥BC，∴∠3＝180°-90°−35°＝55°，∵a//b,∴∠2=∠3=55°，故选：C．【考点评析】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．评卷人得分二、填空题(共9题，每题2分，共18分)11．(本题2分)（2021秋·江苏苏州·七年级校考期末）已知直线与直线相交于点，，垂足为．若，则的度数为____．【答案】【思路点拨】由对顶角相等可以得到的度数，可得．用，结论可得．【规范解答】解：，．，，．．故答案为：．【考点评析】本题主要考查了垂线和对顶角的定义的应用以及度分秒的换算，要注意由垂直得直角这一要点．12．(本题2分)（2023春·七年级课时练习）如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过______秒后，．【答案】10或70##70或10【思路点拨】分两种情况讨论，利用旋转的性质即可求解．【规范解答】解：如图，，∵，，∴，，∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，∴(秒)；如图，，∵，，∴，，∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，∴旋转角为，∴(秒)；故答案为：10或70．【考点评析】本题考查了垂直的定义、角的和差等知识，解题的关键是理解题意，画出图形，利用垂直的定义求解即可．13．(本题2分)（2023春·七年级课时练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则等于____________．【答案】##50度【思路点拨】根据对顶角相等可得，再根据角平分线的性质得，最后根据平角的性质求解即可．【规范解答】解：∵，∴．∵OE平分∠BOC，∴．∵OF⊥OE，∴，∴．故答案为：．【考点评析】本题考查了角的度数问题、垂直定义以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键．14．(本题2分)（2023春·全国·七年级专题练习）已知直线，点P，Q分别在AB，CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．若射线PB，QC同时开始旋转，当旋转时间为30秒时，与的位置关系为_____．【答案】【思路点拨】先根据运动速度和时间分别可得，，设射线与的交点为点，过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差可得，由此即可得出答案．【规范解答】解：由题意，当旋转时间为30秒时，，画出图形，设射线与的交点为点，过点作，，，，，，，故答案为：．【考点评析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、垂直，熟练掌握平行线的性质是解题关键．15．(本题2分)（2023春·七年级课时练习）如图，直线，相交于点，，垂足为点．当直线绕着点在内部转动，是的角平分线，若，则，则关于的函数关系式为______．【答案】【思路点拨】先由角平分线定义得：，由垂直定义和角的和差，再根据，得到与的关系，进而得解．【规范解答】∵是的角平分线，，∴．∵，∴，∵，∴．∵，∴，∴，故答案是．【考点评析】本题主要考查垂直的定义，角平分线的定义，补角的定义，由，，推导出关于的函数关系式是解本题的关键．16．(本题2分)（2023春·湖南长沙·七年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠DFB＝∠CGE；③∠ADC＝∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的结论是_______．【答案】①②③【规范解答】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，则①正确；②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=∠CGE，则②正确；③∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且EG⊥CG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，则③正确；④无法证明CA平分∠BCG，则④错误．故答案为①②③．17．(本题2分)（2022春·北京海淀·七年级校考阶段练习）下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离．其中是真命题的是_____．【答案】①③##③①【思路点拨】分析是否为真命题，需要分别分析各个条件是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【规范解答】①过同一平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题，符合题意；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③两条平行的直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；④从直线外一点作这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意；真命题是①③，故答案为：①③．【考点评析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质与判定方法及点到直线的距离的定义．18．(本题2分)（2023春·七年级课时练习）如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．【答案】2【思路点拨】连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题．【规范解答】解：连接,∵是等边三角形，∴，在和中，，∴,∴，∴，∴点P在射线上运动，∴当时，的值最小，∴故答案为：【考点评析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键．19．(本题2分)（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）如图，点是直线上一点，是一条射线，且，若过点作射线，使，则的度数为______．【答案】58°或122°【思路点拨】根据垂线定义可得∠COD＝90°，然后再由条件∠AOC＝32°可得∠BOD的度数．【规范解答】解：∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∵∠AOC＝32°，∴∠BOD＝180°−（90°−32°）＝122°或∠BOD＝180°−32°−90°＝58°，故答案为：58°或122°．【考点评析】此题主要考查了垂线定义，关键是正确画出图形，分类讨论．评卷人得分三、解答题(共62分)20．(本题6分)（2023秋·河南新乡·七年级统考期末）如图，直线，相交于点，且．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【思路点拨】（1）根据垂直的定义得出，根据余角的定义得出，根据对顶角相等即可求解；（2）根据垂直的定义得出，根据已知条件得到，根据，即可求解．【规范解答】（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴,∴．【考点评析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．21．(本题6分)（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，直线与相交于点O，是的平分线，．(1)直接写出图中的补角；(2)若，求的度数；(3)试判断是否平分，并说明理由．【答案】(1)，(2)(3)平分；理由见解析【思路点拨】(1)根据角平分线的定义及补角定义可得答案；(2)根据垂直的定义可得答案；(3)由垂直的定义及补角的性质可得结论．【规范解答】（1）解：是的平分线，，，，的补角为，；（2）解：，．，．是的平分线，；（3）解：平分．理由如下：直线与相交于点O，．，．，，，即平分．【考点评析】此题考查的是角平分线的定义、垂直的定义、余角与补角，掌握它们的概念与性质是解决此题关键．22．(本题6分)（2023秋·山东枣庄·七年级统考期末）已知O为直线AB上一点，为直角，OF平分．(1)如图1，若，则______；若，则______，和的数量关系为______．(2)当绕点O逆时针旋转得到如图2的位置时，（1）中和的数量关系是否还成立？请说明理由．【答案】(1)，，(2)成立，理由见解析【思路点拨】（1）根据互余得到，再由平分，得到，然后根据邻补角的定义得到，当，根据互余得到，再由平分，得到，然后根据邻补角的定义得到，所以有；（2）同（1），可得到．【规范解答】（1）解：是直角，，，平分．，；当，，，，．故答案为：，，；（2）解：与的数量关系仍然成立．理由如下：设，是直角，，又平分．，，即．【考点评析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是熟练运用所学知识理清角的关系．23．(本题8分)（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知，平分交射线于点，．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点是射线上一点，过点作交射线于点，点是上一点，连接，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，点为延长线上一点，平分交于点，若平分，，，求的度数．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)【思路点拨】（1）根据平行线的定义得出，等量代换得出，根据平行线的判定定理即可得证；（2）过点E作交DA于点H，则，，根据平行线的性质得出，根据，，等量代换即可求解；（3）由平分，得出，设，则，则，根据平行线的性质得出，根据垂直的定义得出，则，根据平分，得出，最后根据建立方程，解方程得出，进而即可求解．【规范解答】（1）∵DE是的平分线，∴∵，∴∴（2）过点E作交DA于点H，∴∵，∴∴，∵，∴，∵，∴（3）解：∵平分，∴，设，则，∴，，，∵，∴∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴．【考点评析】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．24．(本题8分)（2023春·七年级课时练习）如图，点在直线上，与互补，．(1)若，求的度数；(2)若，求的值；(3)若，设，求的度数(用含的代数式表示的度数)．【答案】(1)(2)(3)【思路点拨】（1）根据同角的补角相等可得，即可算出的度数，根据平角的性质可得的度数，由，即可算出的度数，再根据代入计算即可得出答案；（2）设，根据同角的补角相等可得，即可算出的度数，根据平角的性质可得的度数，根据垂线的性质，可得，即可算出的度数，由，代入计算即可算出的值；（3）根据同角的补角相等可得，即可算出关于的表达式，根据平角的性质可得关于的表达式，由，即可得出，代入计算即可得出，再根据代入计算即可得出答案．【规范解答】（1）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，；（2）解：设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【考点评析】本题主要考查了垂线的性质，余角和补角及角的计算，熟练掌握垂线的性质，余角和补角及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键．25．(本题8分)（2022秋·江苏·七年级专题练习）直线相交于点于点，作射线，且在的内部．(1)当点在直线的同侧；①如图1，若，求的度数；②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；(2)若，请直接写出与之间的数量关系．【答案】(1)①；②平分，理由见解析(2)或【思路点拨】（1）①由，得出，根据平角的定义得出，根据即可求解；②由平分，得出，根据得出，即可得结论；（2）分当点在直线的同侧时，当点和点在直线的异侧时两种情况，结合图形分析即可求解．【规范解答】（1）解：①∵于点，∴，∵，∴，∴；∴的度数为；②平分，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，即平分．（2）当点在直线的同侧时，如图，记，则，∵，∴，∴①，∴②，得，；当点和点在直线的异侧时，如图，记，则，∵，∴，∴①，∴②，得，．综上可知，或．【考点评析】本题考查了角平分线的有关计算，垂直的定义，与余角补角相关的计算，数形结合是解题的关键．26．(本题10分)（2022春·福建厦门·七年级校考期末）如图，点C在射线BE上，点F在线段AD上，CD平分∠FCE，∠FDC＝∠FCD．(1)当时，求∠ABC；(2)点N是线段FD上一点，点P是线段CD上一点，连接AC，FP．若CA为∠BCF的角平分线，∠NCD∠ACF，，探究直线CD上是否存在一点Q，使得FQ＜FP．【答案】(1)(2)不存在【思路点拨】（1）利用CD平分∠FCE和∠F