2024-2025学年山东省淄博市高三上册期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省淄博市高三上学期期中考试数学检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，集合，则集合的子集个数为（）A.7 B.8 C.16 D.32【正确答案】B【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数.【详解】因为，，所以，所以集合的子集个数为.故选：B.2.已知是虚数单位，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】由结合复数相等求出的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若，且，则，解得，所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.在内，使的的取值范围是（

）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】在同一坐标系作函数以及的图象即可求解.【详解】以及的图象如上图，由图可知，；故选：A.4.设，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据题意，利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小，即可得到本题的答案．【详解】解：根据，可得，由是上的增函数，可得，即．因为，是上的增函数，所以，可得，又因为，可得，所以，可得．综上所述，，故选：D．5.在等比数列中，若为一确定的常数，记数列的前项积为，则下列各数为常数的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】为一确定的常数，则为常数，再将表达为的关系，从而判断．【详解】在等比数列中，设公比为，则，若为一确定的常数，则为一确定的常数，又∵，，，，∴为常数.故选：D.6.在中，已知，且满足，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形【正确答案】C【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状.【详解】由题意得，即，由正弦定理得，即，则，因为，所以，又，所以,故，因为，所以．综上可知三角形为等边三角形．故选：C.7.若正数满足，则的最小值是（）A.2 B. C.4 D.【正确答案】C【分析】由得，代入后利用基本不等式即可求解.【详解】因为正数满足，所以，则，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：C.8.设函数，，若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由题意，分和两种情况讨论，分离参数求最值，即可得答案．【详解】解：由题意，当时，，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，所以；当时，，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，所以.综上，实数的取值范围是.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（）A.是等差数列 B.，，成等差数列，公差为C.当或时，取得最大值 D.时，的最大值为32【正确答案】AC【分析】先根据已知条件得出数列是等差数列，；再根据，的关系求出，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据可求出，，即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据解不等式即可判断选项D.【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列.则.所以对于选项A：当时，；当时，；.数列是等差数列，故选项A正确；对于选项B：，，，则，所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误；对于选项C：，当或时，最大，故选项C正确；对于选项D：令，得，，即满足的最大正整数，故选项D错误.故选：AC10.在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则下列式子不正确的是（）AB.C.D.若上有一动点P，则最小值为【正确答案】ABD【分析】由题设，结合三角恒等变换及正弦定理可判定A；由余弦定理及基本不等式可判定B；根据两角和的正切公式结合基本不等式可判定C；根据平面向量数量积运算结合二次函数的最值可判定D．【详解】对于A，，则，即，，即,又，,由正弦定理得，，故A错；对于B，由及余弦定理，可得，即，由基本不等式知，，当且仅当，即时等号成立，所以，故B项错误；C项，在锐角中，由，且，由基本不等式可得，，整理得当且仅当时，等号成立，又由，可得＝，故C项正确；对于D，过作，则，又在之间运动时，与的夹角为钝角，因此要求的最小值，应在之间运动，即，又当时，取最小值为,故D错误.故选：ABD．关键点点睛：解题的关键点是应用两角和的正切公式结合基本不等式计算求解.11.已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】令，可得在上单调递增，取自变量的值可得结果.【详解】令，所以，所以在上单调递增，所以，即，故A错误，B正确；又，所以，即，故C正确，D错误.故选：BC.方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形．(2)构造新的函数．(3)利用导数研究的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数存在唯一的极值点，则实数的取值范围是______．【正确答案】【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，即存在唯一的变号正实根，当符合题意，当时参变分离可得没有除之外的正实根，构造函数，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，依题意可得存在唯一的变号正实根，即存在唯一的变号正实根，当时，，方程只有唯一变号正实根，符合题意，当，方程，即没有除之外的正实根，令，则，所以当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，解得此时，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，则函数存在唯一的极值点，合乎题意.综上可得.故答案为.方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．13.已知数列满足，，则________．【正确答案】##【分析】尝试求数列的前几项，归纳数列的周期性，可得结论.【详解】由题意：，，，，，所以满足.所以故14.对任意实数，以表示不超过的最大整数，称它为的整数部分，如，等.定义，称它为的小数部分，如，等.若直线与有四个不同的交点，则实数的取值范围是________.【正确答案】【分析】先由题意，得到当时，，且是周期为1的函数；作出函数图像，结合图像得到或，求解，即可得出结果.【详解】当时，，又由题意，易知：是周期为1的函数；作出与图象如下：由图像，为使直线与有四个不同的交点，只需或，解得或，即.故答案为本题主要考查由函数交点个数求参数的问题，熟记分段函数的图像，以及函数与方程的综合，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，.设.（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，若，，，的平分线交于点，求长.【正确答案】（1），；（2）.【分析】（1）由，令，，即可得解；（2）由题意得：，根据三角形内角的范围可得所以，再由余弦定理得解得，根据的平分线交于点，由结合面积公式即可得解.【小问1详解】令，，则，，所以函数的单调增区间为，；【小问2详解】由题意得：，因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理得：，即，解得，因为平分线交于点，所以，所以，所以，解得．16.已知函数为上的偶函数，且.（1）求；（2）求在处的切线方程.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由偶函数的定义可得，代入化简可得的值.（2）由导数的几何意义可得是在处的切线斜率，进而结合得到切线的点斜式方程，化简可得结果.【小问1详解】因为函数为上的偶函数，所以有，当时，，即，，，解得，此时，经检验，为上的偶函数，所以.【小问2详解】由（1）得，所以，则，则，又，所以在处的切线方程为：，即.17.已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可；（2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，即，解得或，因为各项均为正数，所以，所以，由，得，解得，所以.【小问2详解】由（1）知，，则，所以，两式相减可得，整理可得．18.已知函数，.（1）当时，研究的单调性；（2）若，当时，函数有极大值m；当时，有极小值n，求的取值范围.【正确答案】（1）上单调递减，在上单调递增；（2）【分析】（1）对函数求导并结合即可判断出的单调性；（2）根据（1）中结论可得，构造函数并求导得出其单调性即可求得的取值范围.【小问1详解】易知函数的定义域为，则，又因为，所以当时，，当或时，；因此可得在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】若，由（1）可知在处取得极大值，在处取得极小值，所以，即；设函数，则，所以在上单调递增，所以，即的取值范围为.19.若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”.（1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值；（3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.【正确答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析（2）（3）实数的最大值为4【分析】（1）本题可以从存在性或唯一性来说明该函数不是“依赖函数”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判断答案；（2）根据函数单调性的性质，可得，代入可求解；（3）分类讨论，当时，明显不符题意；当时，利用函数单调性，可得，解得，代入后，利用不