对宇宙学红移的探究

摘要：这篇论文主要探究宇宙学中红移的重要性。首先，本文回顾广义相对论的建立和宇宙学原理，这为研究宇宙演化提供了基础。其次，本文详细解释了红移现象以及光度距离作为衡量天体间距离的方法，并推导出光度距离与红移之间的关系式。最后，本文总结了研究结果并得出结论：红移在揭示宇宙膨胀、早期星系形成、暗能量暗物质等方面具有重要应用价值。关键词:宇宙学；红移：光度距离：宇宙模型1引言宇宙学是一门科学领域，研究的对象是宇宙的起源、演化和性质。从古到今，人类携带了无尽的好奇和渴望去探索宇宙的奥秘。在过去，对于宇宙的研究往往停留在哲学层面上，然而随着科技的进步和观测设备的发展，现代宇宙学作为一门精确、严谨的科学开始崭露头角。其中一个重要的发现便是关于红移的研究，红移是描述光线频率或波长相对于观测者而言发生变化程度的量度，通常用z表示，当光源与观测者之间存在相对速度时，由于多普勒效应，光线会出现频率或波长上的变化，通过测量这种频率或波长变化，我们可以了解到光源与我们之间相对运动状态，并从中获得有关宇宙结构、演化和性质等信息。本文旨在概述现代宇宙学的核心理论框架，并简单讨论红移这一重要概念及其应用。早期观测到星系中恒星光谱出现红移现象后，爱因斯坦便提出了广义相对论，并预言这种现象可能是由于空间本身膨胀导致，随后亚历山大•弗里德曼和乔治•勒梅特尔等科学家提出了宇宙膨胀[1]的理论模型——“大爆炸理论”。另外还有著名的暴涨理论，该理论假设在宇宙大爆炸之后，早期宇宙经历了极其快速的膨胀阶段，被称为暴涨。在20世纪末，科学界首次通过星系间红移的计算，观测到了Ia型超新星，惊喜地发觉了宇宙正在历经加速膨胀的过程。此发现给科学界带来了极大的震惊，并被科学杂志评为当年最重要的科学进展之一。暴涨理论解释了现今观测到的均匀性、各向同性以及结构形成等特征，并提供了解决一些天文学难题的可能性。现在，随着技术的发展，我们可以通过测量红移来确定远离地球的星系与我们之间的相对运动速度，通过观测到不同红移值的天体，我们也可以揭示出远古时期、早期星系和恒星形成以及更早时代宇宙物质分布等诸多信息。除了用于探索过去和现在的宇宙状态外，红移还被广泛应用于测量暗能量[2]、暗物质以及其他未知物质和能量形式对整个宇宙演化影响力度等方面。近年来，由于先进观测设备如欧洲空间局的普朗克卫星和美国国家航空航天局（NASA）的詹姆斯·韦伯太空望远镜等得以投入使用，对红移的研究进入了一个新的高度。本文旨在简单探讨红移在宇宙学中所扮演的重要角色，并介绍一些相关理论成果。现代宇宙学以广义相对论和观测数据为基础[3]，通过建立理论模型和进行实验验证，深入研究宇宙的起源、演化和性质。红移作为重要的衡量指标，在揭示宇宙膨胀历史、暗物质暗能量等未知成分方面发挥着关键作用。随着技术的不断进步和观测手段的改进，现代宇宙学将进入新的高度，为人类对于自身存在和整个宇宙认知提供更多精确而全面的信息。本文简要介绍现代宇宙学的基本理论框架和重要概念。首先，我们将回顾广义相对论的建立过程，它提供了描述引力和时空性质的新理论框架，并通过数学推导预言了光线偏折、红移效应等观测现象。然后，我们将讨论宇宙学的基础，包括宇宙学原理和罗伯逊-沃克度规模型，根据这些基础理论，我们可以推导出弗里德曼方程和加速度方程，进而研究宇宙演化过程中尺度因子和能量密度的变化规律。最后，我们将详细解释宇宙学红移的物理意义，并介绍光度距离作为衡量天体间距离的方法以及数据拟合与实际观测数据点的吻合程度。2现代宇宙学简介自古以来，人类便对宇宙的奥秘抱有无尽的好奇与探索。太古时期，宇宙的起源和形成尚无人能解，中国的古代智者如张衡、郭守敬，西方的哲学家和科学家如亚里士多德、哥白尼、开普勒、牛顿，他们每个人都对宇宙有着深刻的思索和独到的见解。在过去，宇宙的研究往往停留在哲学的讨论层面，然而进入20世纪，爱因斯坦的相对论标志着宇宙学作为一门科学，开始可以通过数学来进行严格的研究。随着观测技术的革新和理论的不断深化，宇宙学不仅迈入了精确测量的新纪元，也步入了大数据的时代。本章节将概述现代宇宙学的核心理论框架，并讨论在本文中研究的宇宙学模型[4]。2.1广义相对论引力场方程的建立爱因斯坦认为经典力学是从下述定律[5]出发的：离其他质点足够远的质点继续作匀速直线运动或继续保持静止状态（牛顿第一定律）。然而，这个基本定律只对于某些特殊运动状态下相对于参考物体K有效，这些参考物体以匀速平移运动，而相对于任何参考物体K'，该定律也就无效了。我们在经典力学中以及在狭义相对论中，都将参考物质K与参照物质K'区分开；相对于参考物体K，公认的“自然界定律”可以认为是正确的，但相对于参考物体K'则这些定理都不成立。牛顿发现了这种缺点，也曾努力克服它，但并未实现，只有马赫对它看得最明白，因为这种缺点他主张应该将力学置于一种全新的基础之上，只有通过与广义相对性原理一致的物理学来解决该问题，因为在这样的理论方程中，无论参考物体如何运动状态都成立。于是爱因斯坦意识到需要一个用新的理论来描述引力和时空的性质，便提出了一种全新的理论框架，即广义相对论，认为引力是由于时空的曲率而产生的。这个理论表明，质量和能量会扭曲时空的几何结构，物体在弯曲的时空中运动，就会受到引力的作用。广义相对论通过数学推导，预言了光线在引力场中的偏折现象，即光线沿着弯曲的时空路径传播，这一预言在1919年的日食观测中得到了验证，为广义相对论的成功提供了强有力的支持。此外，广义相对论还能解释光线在引力场中的红移效应，即光的频率变低，而且在19世纪末，人们发现水星的近日点位置存在一个小的进动，同样可以用广义相对论解释这个现象。综上所述，广义相对论的提出是为了解决牛顿引力理论无法解释的现象，并且与一系列的观测结果相吻合。它提供了一种新的理论框架，用于描述引力和时空的性质，不仅在理论物理领域具有重要意义，也在天体物理学、宇宙学和引力波探测等领域有广泛应用。因此爱因斯坦在等效原理、马赫原理、广义相对性原理和光速不变原理的基础上，建立了有名的广义相对论场方程：（2.1）其中Rμν是黎曼张量（刻画曲率），gμν是度规张量，R是标量曲率，Tμν是能动张量，G是万有引力常数，c是光速，方程左边描述时空几何学特性（弧度、曲率），右边描述物质分布情形（能动张量）。以上就是简要地介绍了爱因斯坦场方程建立过程中涉及到的主要步骤和概念。2.2宇宙学基础宇宙学研究的范围涵盖了整个可观测时空尺度的大尺度特征。根据目前的探测数据，我们已经观测到的距离尺度约为150亿光年，时间尺度约为100亿年，并且包含了大约一亿个星系。通过对星系计数、射电源计数和微波背景辐射等实测资料的分析，我们得知在超过一亿光年的宇宙范围内，物质的空间分布是均匀各向同性的。因此宇宙学家建立了一个资用假设(workinghypothesis)，这个假设就叫作宇宙学原理[6]，就是说在宇宙在大尺度上是均匀的和各向同性的。罗伯逊-沃克度规是描述宇宙空间几何结构的一种数学模型，它基于广义相对论理论框架和宇宙学原理的各向同性特征建立，可以简化爱因斯坦的场方程，建立标准的宇宙学模型，用来描述整个宇宙的时空特性。罗伯逊-沃克度规[7]由以下公式表示：（2.2）在这个公式中，ds是两个事件之间的间隔，dt是时间间隔，a(t)是尺度因子，r、θ和φ分别是球坐标系中的径向距离、极角和方位角。k代表了空间的曲率：k=0代表平直空间、k=1代表正曲率空间（球面几何），k=-1代表负曲率空间（双曲面几何）。罗伯逊-沃克度规可以通过两个重要参数来描述宇宙的动态演化：尺度因子a(t)和密度参数Ω。尺度因子a(t)表示了在不同时间点上宇宙的线性尺寸与当前时刻线性尺寸之比。随着时间推移，尺度因子会发生变化，从而影响到物体之间的距离和速度关系。密度参数Ω则描述了在某一给定时刻下各种物质或能量组成所占总能量密度的比例。根据不同物质或能量组成以及其相应方程状态等信息，可以计算出Ω的值。例如：Ω=1表示总能量密度等于临界密度；Ω<1表示总能量密度小于临界密度，在此情况下引力作用主导；Ω>1则意味着总能量密度大于临界密度，并可能存在一个开放（负曲率）或闭合（正曲率）宇宙。通过求解爱因斯坦场方程结合FLRW度规及其相应边界条件,我们可以得到关于尺度因子a(t)随时间演化的具体形式。基于爱因斯坦的场方程和罗伯逊-沃克度规便可以推导出弗里德曼方程：（2.3）其中，H是哈勃参数，G是引力常数，c是光速，k表示空间曲率常数。在这个方程中，第一项表示了宇宙能量密度对于宇宙膨胀的影响，第二项则表示了空间曲率对于宇宙膨胀的影响。具体来说，这个方程描述了以下几个重要的物理项：能量密度项，它代表了整个宇宙中包含的各种形式的物质和能量的总贡献，通过该项，我们可以计算出不同组分（如普通物质、暗物质、暗能量等）对于整个系统演化的影响。空间曲率项，这一项反映了空间曲率对于整个宇宙膨胀过程的作用，其中k可以取三种值：k>0表示正曲率空间(闭合)，k<0表示负曲率空间（开放)，k=0表示平坦空间。哈勃参数H描述了当前时刻下单位时间内单位距离扩展速率，通过哈勃参数可以推断出当前时刻下的膨胀速度以及预测未来或过去时刻下的演化情况。哈勃定律是描述宇宙膨胀现象的基本规律，它由美国天文学家埃德温·哈勃在20世纪提出。该定律表明，远离我们的物体速度越快，宇宙中的物体离我们越远，相比于我们的速度越大。哈勃定律公式：（2.4）其中，表示物体与我们之间的观测到的相对速度；H0是哈勃常数（Hubbleconstant），代表当前时刻的宇宙膨胀速率；表示物体与我们之间的距离。这个公式说明了距离与速度之间存在一种线性关系。根据观测数据和计算得出的哈勃常数值，可以通过测量天体距离和观测其光谱红移来估计物体与我们之间的距离。由弗里德曼方程可以推演出加速度方程：（2.5）联立两者，可得物质能量守恒方程：（2.6）若宇宙中的能量密度贡献主要来自物质，则宇宙处于物质为主时期，这种宇宙学模型也称为物质为主的模型。对于物质，物态方程p=0,其物态方程参数w=p/ρ=0。本文所有的下标0表示现在，下标c表示临界。可得方程的解：（2.7）表示物质能量密度，表示辐射能量密度,表示曲率能量密度，表示暗物质能量密度，但在物质为主的模型中，另外的三者为0。我们可以定义临界密度：（2.8）及无量纲密度参数：（2.9）则现在的临界密度是：（2.10）与现在的密度参数：（2.11）弗里德曼方程提供了研究和理解整个宇宙演化历史以及其中各种成分相互作用所起到的关键性作用。通过求解该方程或利用其近似解，在给定特定条件和初值条件下，我们可以推导出具体时刻下尺度因子a随时间t的变化规律，并从中揭示出关于暗能量、暗物质等未知成分属性以及更深层次问题上有关于大爆炸理论和暴涨模型等重要信息。3宇宙学红移3.1红移宇宙学红移是描述远离我们的物体在光谱中出现红移的现象。这一现象是由于宇宙的膨胀而导致的。根据普朗克定律，光波在经过介质时会发生频率变化，即波长会发生改变。当一个物体远离我们时，在宇宙膨胀的过程中，其所发出的光波会因为空间的拉伸而被拉长，波长增加，从而使得光谱向红色端移动。弗里德曼应用广义相对论的爱因斯坦场方程来描述宇宙，并首先表明均匀分布的物质所填充的空间可能会随时间演变。宇宙确实是动态的，但不是静止的，这种可能性后来得到了勒梅特和哈勃的支持，他们观察到附近星系的系统性红移，这与它们的距离大致成正比。这一观测结果（称为哈勃-勒梅特定律）被解释为由于宇宙膨胀而远离地球的星系产生的多普勒效应。然而目前，宇宙由罗伯逊-沃克度规描述，该度规引入了描述空间膨胀的比例因子a(t)。与多普勒效应一样，红移与膨胀速度无关，而是与发射和接收光子的空间大小之间的比率有关[8]。由于宇宙的膨胀，光源和观察者之间在光信号被观测到的时刻的距离大于在发射时刻的距离（下标o表示起始，下标e表示终止），这样我们看到的光信号产生了红移，因为光走的是测地线，所以有,利用罗伯逊-沃克度规，我们得到：（3.1）符号“k”通常用来表示空间的曲率。空间曲率参数k的数值决定了空间的几何性质。满足宇宙学原理的空间几何有三种可能性，分别对应于常数k等于0、+1、-1时的情形。k=0：平坦的3维欧式空间的宇宙模型。k=+1：正的常曲率空间,是一个“有限无界封闭”的宇宙模型。k=-1：负的常曲率空间,是一种无限扩展开放的宇宙模型。因此可定义膨胀而引起的红移：（3.2）其中z表示红移，利用红移的定义(3.2),我们可以把方程(3.1)改写成：（3.3）于是弗雷德曼方程(2.3)可以表达成下面无量纲形式：（3.4）其中表示无量纲物质能量密度，表示无量纲辐射能量密度,表示无量纲曲率能量密度，表示无量纲暗物质能量密度。式中无量纲能量密度随红移z变化，其中。根据公式，曲率能量密度以（1+z）的二次方衰减，物质能量密度以（1+z）的三次方衰减，而辐射能量密度则以（1+z）的四次方衰减。与此不同，暗能量的能量密度是一个恒定值，被表示为宇宙学常数。因此，在宇宙演化过程中，辐射能量密度衰减得最快，其次是物质能量密度，然后是曲率能量密度，最后是宇宙学常数。基于这样的演化规律，在宇宙的某个时期，物质的能量密度会超过辐射的能量密度；而在更晚阶段，宇宙学常数将超过物质的能量密度。换言之，在整个宇宙演化历史中，先后经历了辐射主导时期、物质主导时期，最终处于宇宙学常数主导时期。所以这里我们不考虑辐射为主时期（辐射影响较小），由WMAP５年的数据,现在取、、、[9]。3.2光度距离光度距离[10]是用来描述天体之间距离的一种测量方式，遵循光的强度随距离增加衰减的规律。假设有两个天体，一个位于观测者位置处，另一个位于距离观测者很远的地方，那么观测者所接收到的来自第二个天体的光的强度将会比来自第一个天体的光要弱。根据物理学上的反比关系，我们可以使用以下公式来表示光度距离：（3.5）其中，L是Ia型超新星的绝对光度，l是视光度。作为一种重要的距离测量方法，在宇宙学研究中，Ia型超新星观测被广泛应用。为了通过观测到的视星等来推导出它们的光度距离，研究人员需要获取这些超新星的绝对星等。绝对星等(用M来表示)反映的是天体的绝对光度，而视星等反映的是天体的视亮度(用m来表示），因此天文学家引入距离模数m-M来表达光度距离，距离模数和光度距离的关系为：（3.6）综上所述，宇宙学红移主要是由于宇宙膨胀导致的空间拉伸效应，同时也受到多普勒效应和引力红移的影响。基于弗里德曼方程等理论模型，可以将红移与距离和时间关联起来，并用来推断天体或星系与我们之间的距离以及观测到该天体时刻对应的宇宙年龄。通过对宇宙中星系的红移进行研究，天文学家能够推断出宇宙的膨胀历史，进而发现关于宇宙的起源、发展和最终命运的线索。3.3数据拟合在k=0的情况下，存在以下三种宇宙模型：全为暗能量模型、全为物质模型和标准宇宙模型。全为暗能量模型、、：全为暗能量模型是一种假设，认为宇宙中的所有物质都是暗能量。与我们熟悉的电磁场、强力场等相比，暗能量并不与物质直接相互作用，而是通过引力影响整个宇宙的演化。全为物质模型（、、：全为物质模型假设宇宙中的所有物质都是可观测的物质，例如普通物质（包括原子、分子等）和暗物质。在这种模型中，宇宙的质量主要由物质组成，包括可观测的物质和暗物质。这个模型可以用来解释宇宙的演化、星系的形成和分布等现象。标准宇宙模型（、、）：标准宇宙模型是目前广泛接受的宇宙模型，它包括物质、曲率和暗能量三个成分。物质分为可观测的物质和暗物质两种，而暗能量则是用来解释宇宙加速膨胀现象的概念。标准宇宙模型基于广义相对论理论以及大量观测数据，可以解释星系的形成和分布、宇宙膨胀加速等一系列观测到的现象。若k=0时，由方程（2.3）和（3.2），可以得出宇宙学的背景方程：（3.7）接下来，我们将用这个方程分别与三种宇宙模型结合，利用红移的定义和光度距离公式，得到三种宇宙模型的距离模数和红移关系的标准线方程，并与附录1的超新星（gold）的实验观测数据相对照，表明距离模数和光度距离的关系的正确性。联立公式（2.11），（2.4），及（2.7）可以得到背景方程的变形：（3.8）再由弗雷德曼方程的无量纲形式（3.4），将公式（3.8）进一步变形：（3.9）重新将临界密度用密度参数形式表示。这里根据公式（3.3），可以得到：（3.10）接着将标度因子与红移关系式（3.10）代入（3.9），进一步得到：（3.11）根据光度距离定义式（3.5），可以将（3.11）改写为：（3.12）然后分别将三种宇宙模型数据代入，得出表明红移和光度距离关联的三个公式：全为暗能量模型、、：（3.13）标准宇宙模型（、、）：（3.14）全为物质模型（、、：（3.15）接下来，代入距离模数和红移关系式（3.6）可以将上面三种宇宙模型表达式分别变为：（3.16）（3.17）（3.18）综上，我们可以得到三种宇宙模型的距离模数和红移关系的标准线方程。最终，代入数值H0=62km/sec/Mpc，c=2.9979*108m/sec，并使用matlab程序（代码见附录2）与三种宇宙模型标准线方程并与附录1的超新星（gold）的实验观测点（数据见附录1）作数据拟合。图1距离模数和红移关系图“蓝线”代表：;、、“红线”代表：;、、“黄线”代表：;、、因此，由拟合数据与图像可知，实际观测数据点的位置和计算所得的黄线相吻合，误差较小，符合全为暗能量模型，根据这个数据观测来看，可能更靠近于表明目前这个宇宙全部都是由暗能量主导的。与标准线相近，和标准宇宙模型相似；与标准线不吻合，不符合全为物质模型，由此可以得出现在宇宙的演化逐渐从物质为主时期向宇宙学常数为主时期过渡。由此可以表明，天文学家引入距离模数m-M来表达光度距离，并使用距离模数和光度距离的关系式（3.6）是正确的，与精确测量的数据相吻合。但是现在暗能量模型的建构较为复杂，已经重新对引力相互作用强度进行修正，以及对引力理论进行相应的修改，所以我们目前的这个模型比较简陋，选取的数据较少，实验结果的精确性不够，可能与实际结果有些许偏差。在之后的研究中，我们也会对模型进一步的完善和修正，并补充更多的样本数据来拟合，或许可以进行更进一步的研究，得到更精确的结果。4总结通过本文的讨论，我们对现代宇宙学有了更深入的认识。广义相对论为研究引力和时空提供了一种强大工具，在天体物理学、宇宙学以及引力波探测等领域有广泛应用。同时，罗伯逊-沃克度规模型为描述整个宇宙空间几何结构提供了一种数学模型，通过求解弗里德曼方程可以推断宇宙的膨胀历史和不同能量成分对宇宙演化的影响。红移作为宇宙膨胀的结果，被用来推测天体或星系与我们之间的距离以及观测到该天体时刻对应的宇宙年龄。光度距离作为一种衡量天体间距离的方法，在实际观测中得到了广泛应用，并通过数据拟合与实际观测数据点相吻合，验证了相关理论模型和假设。而红移作为一种重要指标，在揭示宇宙学中扮演着关键角色。通过测量光源的红移，我们可以了解光源与我们之间的相对运动速度，并从中获得丰富而珍贵的信息。红移在确认宇宙膨胀、研究早期星系和恒星形成、探索远古时期以及推测暗能量和暗物质等方面具有广泛应用价值。随着先进观测设备的运用（如普朗克卫星、詹姆斯·韦伯太空望远镜），对红移研究将进入新的高度，带来更精确的观测结果，红移在探索宇宙学中将发挥更加重要和广泛的作用。通过继续深入研究红移，我们有望揭示更多关于宇宙起源、演化和性质的秘密，并推动人类对于自身存在和整个宇宙的认知达到新的高度。总之，现代宇宙学是一个复杂而精彩的研究领域，通过不断深化理论、改进观测技术和进行数据分析，我们将能够更好地理解和揭示关于宇宙起源、发展和最终命运等重要问题。希望本文所介绍的基本概念和理论框架能够为读者提供一个初步了解现代宇宙学的入门指南和对宇宙学红移的简单探究，并引发更多关于这个神秘而令人着迷的领域的思考和探索。参考文献[1]刘彦.哈勃参数的直接测量在宇宙学联合观测限制中的影响[D].东北大学,2018.DOI:10.27007/ki.gdbeu.2018.002840.[2]韦浩,蔡荣根.暗能量理论研究现状概述[J].科技导报,2005(12):28-32.[3]吴潮,张天萌,王晓峰,等.超新星宇宙学的观测与研究进展[J].天文学进展,2013,31(01):37-55.[4]路佳.高红移Ia型超新星（z=2～6）对宇宙学参数和模型的限制[D].中国科学技术大学,2022.DOI:10.27517/ki.gzkju.2022.002005.[5]（美）爱因斯坦著，杨润殷译.狭义与广义相对论浅说[M].北京:北京大学出版社出版,2006.10-12.[6]唐宇航.利用Ⅰa型超新星观测数据来精确检验宇宙学原理[D].西华师范大学,2023.DOI:10.27859/ki.gxhsf.2023.000804.[7]龚云贵.宇宙学基本原理[M].北京：科学出版社，2016.8-26.[8]VáclavV.CosmologicalRedshiftandCosmicTimeDilationintheFLRWMetric[J].FrontiersinPhysics,2022,10[9]袁通全,张德维.非平坦宇宙中相互作用的鬼场暗能量模型[J].西南师范大学学报(自然科学版),2023,48(07):73-79.DOI:10.13718/ki.xsxb.2023.07.011.[10]王晓峰,李宗伟.Ia超新星在宇宙学中的应用[J].天文学进展,2000(02):159-171.[11]AdamG.Riess

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