2019年全国高中数学联赛广西壮族自治区预赛及解析

2019年全国高中数学联赛广西壮族自治区预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分一、填空题1.已知yz≠0，且集合{2x，3z，xy}也可以表示为{y，2x2，3xz}，则x=____________.2.如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为____________.3.设函数，则y的最小值为____________.4.已知点P(－2，5)在圆上，直线l：与圆C相交于A、B两点，则____________.5.已知xyz+y+z=12，则的最大值为____________.6.从1，2，…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为____________.7.棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为____________.8.满足的正整数对(x，y)有____________对.评卷人得分二、解答题9.已知函数.（1）设a>1，讨论f(x)在区间(0，1)上的单调性；（2）设a>0，求f(x)的极值.10.设.求证：（1）；（2）.11.如图所示，AD、AH分别是△ABC（其中AB>AC）的角平分线、高线，点M是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于点E.求证：∠AEB=90°.12.如图所示，设k>0且k≠1，直线l：y=kx+1与l1：y=k1x+1关于直线y=x+1对称，直线l与l1分别交椭圆于点A、M和A、N.（1）求的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点.

参考答案1.1【解析】1.易知xyz≠0，由两集合各元素之积得.经验证，x=1符合题意.故答案为：1．2.【解析】2.由，得.当k=1，时，满足题设条件.即的最小值为.故答案为：．3.【解析】3.令，则，由于，故，由u(x)单调递减，求得，则单调递增.所以当时，原函数取得最小值.故答案为：.4.【解析】4.由已知求得圆C：(x－1)2+(y－1)2=52到直线l的距离为3，从而.所以.故答案为：．5.3【解析】5.由已知条件有，，则，当且仅当，y=z=4时取得最大值3.故答案为：3．6.【解析】6.设取出的3个不同的数分别为a、b、c.不同的取法共有种，若这3个数构成等差数列，则有a+c=2b.故、c同为奇数或同为偶数，且a与c确定后，b随之而定.从而所求概率为.故答案为：．7.【解析】7.正方体的内切球半径为3.正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，也就是说，棱长为x的正四面体的外接球半径为3.设正四面体为P－ABC，过点作PO垂直于平面ABC，垂足为O，则O为三角形ABC的中心，从而，正四面体的高为.此时有，解得.故答案为：．8.6【解析】8.设.，由(m+n)与(m－n)奇偶性相同，可知它们同为偶数，且(m+n)>(m－n)实数对(m+n，m－n)所有可能的取值共有6对：，，，，，.由有序数对(x，y)与(m+n，m－n)一一对应，可知所求正整数对为6对.故答案为：6．9.（1）减区间是，增区间是；（2）当a>1时，极小值为，极大值为；当a=1时，无极值；当0<a<1时，极小值为，极大值为【解析】9.（1）.由a>1可知，所以f(x)的减区间是，增区间是.（2）.当a>1时，f(x)的减间是和[a，+∞)增区间是.f(x)的极小值为，极大值为.当a=1时，，f(x)无极值.当0<a<1时，f(x)的减区间是(0，a]和，增区间是.f(x)的极小值为，极大值为.综上可得：当a>1时，极小值为，极大值为；当a=1时，无极值；当0<a<1时，极小值为，极大值为.10.（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】10.（1）由已知可得.（2）由已知条件有.当n=1时，，不等式成立.当n≥2时，由（1）的结论可得.综上所述，不等式成立.11.证明见解析【解析】11.如图所示，连结HE.由点M是Rt△AHD的斜边AD的中点可知MA=MH=MD，∠MDH=∠MHD.由M、D、H、E四点共圆可得.从而.又由∠CMH=∠HME可知△CMH∽△HME.故，从而.又因为∠CMA=∠AME，所以△CMA∽△AME.故.由AD是角平分线，可得.则有∠BHE+∠BAE=∠DHE+∠DME=180°，从而A、B、H、E四点共圆.所以∠AEB=∠AHB=90°.命题得证.12.（1）1；（2）证明见解析【解析】12.（1）直线l与l1的交点为A(0，1)设点P(x，y)是直线l上异于点A(0，1)的任意一点，点是点P关于直线y=x+1的对称点.由得①由得②联立①②解得.代入直线l：y=kx+1可