黄金卷04-【赢在高考黄金8卷】2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）（含解析）

【赢在高考・黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考H卷专用）

黄金卷04

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设集合人=卜,2-1一2=（）},8=卜了-3/+2%=0},若集合P=则集合P

的真子集的个数为（）.

A.63个B.64个C.31个D.32个

2.已知mb,ceR,则“。的必要不充分条件可以是下列的选项（）

II

<2

---<

A.a人B.D.

3.已知边长为2的菱形A8CO中，NDA3=§,点E是BC上一点,满足8E=3EC，则AE-BO=（）

4

A.B.C.D.-3

23

4.五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.

某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，目每个月只游览五岳中的两大名山或三大

名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（）

_1_23

A.B.C.D.

5255

5.己知。£仁,兀卜且3cos2a-sina=2,则（）

A.sinf--al=—

B.

12J34

C.cos(n-a)=-D.tan(7c-a)=正

4

6.函数），=切'（刈是定义在R上的奇函数，且,〃外在区间KX+8）上单调递增，若关于实数/的不等式

/（Iog3r）+/log.r>2/（2）恒成立，则，的取值范围是（）

01)(9,+8)

A.0,-L(3,+a))B.C.(9,-KO)D.

\3)°5

7.已知抛物线。：9=2〃工（〃>0）的焦点为R准线为/,A,B为。上两点，且均在第一象限，过4,4作

/的垂线，垂足分别为。，E.若=sinZDFF=1,则△AF8的外接圆面积为（）.

,16几15兀147t

A.-----B-BC.-----

1515。•管

8.已知函数f(x)=B,g(x)=-1,若/(xJ=g(w)=«/>0),则—7的最大值为()

x&e

B.1C.-D.-

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多用符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设函数/(x)=sin的+若在［0,可有且仅有5个极值点，则（）

A./（x）在（0㈤有且仅有3个极大值点B./（力在（0,兀）有且仅有4个零点

4353

C.。的取值范围是—D./(x)在0.4上单调递增

\zu/

10.已知一元二次不等式a^+公+c>。的解集为〃，则下列说法正确的是（）

a<0

A.不等式解集M=0的充要条件为

从一4a40

B.若%=卒=幺，则关于x的不等式〃*+〃尸9>0的解集也为“

abc

C.若“=何一2c<3},则关于x的不等式I一辰+av0的解集是或

D.若"=［小工-二］,且〃<〃，则竺竺竺的最小值为8

I2ab-a

ii.如图，在正方体ABC。-A4GA中,/必=正，/>为线段6c上的动点，则下列说法正确的是（）

A.P

B.〃平面/WQ

C.三棱锥P-ACR的体积为定值上

D.AP+PC的最小值为G+l

12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(l)=l且/(x+y)+f(x-y)=/(x)〃y),则()

A./(0)=2B./(2)=0

C./(x)为偶函数D./(K)为周期函数

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知之是复数z的共枕复数，则(i+zXi+Z)=4+4i,则|z|=

14.已知圆C的圆心位于第三象限且在直线)，=2x+l上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程

是.

15.设函数=3x,若/(x)为奇函数，则曲线产.但过点(加,-6)的切线方程为.

16.已知双曲线。。-£=1(。>0,，)>0)的离心率为2,左、右焦点分别为小K，且"到渐近线的距离为3,

过号的直线与双曲线C的右支交于A、B两点,△赠人和△如用的内心分别为"、N,则|MN|的最小值

为.

⑴求直线与平面AEG所成角的正弦值;

(2)证明：直线EC〃平面AEG并且求出直线尸C到平面AEG的距离.

19.在48c中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,若(a+O)(sinA-sin8)=c(sin8+sinC).

(1)求角A的大小；

⑵若。为4C上一点，ZBAD=^ZBAC,4)=3,求4〃+c的最小值.

20.某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该

游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直

至io轮结束.已知该游戏第一次获胜的概率是:，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是:，若上一次失

败则下一次成功的概率是日.记消费者甲第〃次获胜的概率为H，数列｛〃“｝的前〃项和£”“二7；，且(的

J1=1

实际意义为前〃次游戏中平均获胜的次数.

⑴求消费者甲第2次获胜的概率P2;

(2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖.

21.已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在〉轴上，离心率e=；,且过点P(3.2).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/与椭圆交于AB两点，且直线的倾斜角互补，判断直线44的斜率是否为定值？若是，求

出该定值：若不是，请说明理由.

22.已知函数/（，t）=e'T-alnx.

⑴当a=T时,求曲线），=/（“在（1J⑴）处的切线方程；

（2）当。＞0,若不等式/（力？。+，山〃恒成立，求。的取值范围.

【赢在高考・黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考n卷专用）

黄金卷04

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设集合4-2=。｝,8=卜,一3/+21=0｝,若集合2=｛（内）除人），£8且X工），｝,则集合尸

的真子集的个数为（）.

A.63个B.64个C.31个D.32个

【答案】C

【分析】根据题意得到夕={（-1,。）,（-覃）,（-1,2）,（2,0）,（2,1）},然后根据集合产中元素的个数求真子集的个

数即可.

【详解】A={-L2},B={0,l,2},所以P={（T,O）,（T,1）,（T,2）00）01）},

因为集合P中有5个元素，所以真子集的个数为25-1=31个.

故选：C.

2.已知a,b,ceR,则的必要不充分条件可以是下列的选项（）

A.-<7B.ac<beC.ac2<be2D.a2<b2

ab

【答案】C

【分析】利用不等式性质进行推导，结合取值验证可得.

【详解】A选项：取。=2的=3,满足。<"但（>!，所以不是。«〃的必要条件，A错误；

23ab

B选项：若aWb,c<0,则aeNbe,所以ac不是aW/?的必要条件，B错误；

C选项：若aWb,c=0,则若exO,则/>0,则有ac2K灰工，所以，ac。是a的必要

条件；

取。=0,。=-2,6=-3,显然满足420庆2,但。>〃，所以这2«女2不是。4〃的充分条件.

综上，如2式历2是。的必要不充分条件，c正确；

D选项：^c=0,a=-2,b=-3,显然满足片工"，但。>力，所以"w"不是〃4人的充分条件，口错误.

故选：C

3.已知边长为2的菱形ABC。中，ND4B=1,点E是8c上一点，满足8E=3EC，则4E.BQ=（）

I14

A.-B.——C.——D.-3

223

【答案】B

【分析［建立平面直角坐标系，得到点的坐标，根据AE=3EC求出E,从而利用平面向量数量积

公式求出答案.

【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为无轴，垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系,

则D(LG),8(2,0),C(3,6),4(0,0),设£：(〃?,〃),

则BE=(m-2,n),EC=(3-也G-，

II

m--

m-2=3(3-777)4

因为5E=3EC，所以＜〃=3(6向，解得‘

30'

it=-----

4

,,六I1

故EV,

4

119

则AEBO------1—=

442

故选：B

4.五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.

某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大

名III（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（）

【答案】C

【分析】结合组合计数知识，由分类与分步计数原理分别计算样本空间与事件包含的样本点个数，再应用

古典概型概率公式求解即可.

【详解】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.

该旅游博主游览五岳可分两类方法：

第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有C；种方法；

第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有C；种方法；

由分类计数原理可得，共有C；+C；=2()种方法.

设X=”该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：

第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有C；=2种方法；

第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：

若该月只游览两大名山，则只有1种方法；

若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有C；种方法，

则第二步共有1+C；=4种方法；

由分步计数原理，则完成事件A共有2x4=8种方法.

Q7

由占典概型概率公式得P(A)=4=£

故选:C.

5.已知•，兀)，且3cos2tz-sina=2,贝！J()

A.sin—a=——B.cos——a=—

12）312）4

271

C.cos（n-a）=—D.tan(n-«)=—

【答案】D

【分析】根据倍角公式可得sina=g,进而可得cosa,tana,利用诱导公式逐项分析判断.

【详解】因为3cos2z-sina=2,可得Gsin?a+sina-l=0,解得sina=g或0山。=-3,

又因为则sina=2,可得cosa=->/l-sin，a=-^^~,tana=""".=一?

12J33cosa4

对于选项A：sin（；-a）=cosa=,故A错误；

「71、1

对于选项B：cosy-a=sina=-,故B错误；

对于选项C：cos（兀-a）=-cosa故C错误；

对于选项D：tan（n-a）=-tana=»故D正确；

故选：D.

6.函数），=MXx）是定义在R上的奇函数，且/（x）在区间［0，+8）上单调递增，若关于实数f的不等式

/\

/（log3r）+/log,/>2/（2）恒成立，则，的取值范围是（）

k3j

A.（0.；）u（3,+oo）B.（（）.；）C.（9,a）D.（0,1）u（9,+oo）

【答案】D

【分析】首先得出/（x）是偶函数,把不等式化为/（10g3，）>/（2）,结合函数的单调性与奇偶性，得到|log/|>2,

求解不等式即可.

【详解】因为函数y=4"）是定义在R上的奇函数,

即=当工工()时/(-x)=/(x),又/(0)有意义,

所以/(幻是定义域R上的偶函数，

又因为/(x)在区间［0,+oo)上单调递增，

所以八1叫。+/(log.0=/(log3f)+/(-log3/)=2/(log30>2/(2)>

3

所以/(log3”〃2),ep/(|log3/|)>/(2),所以|叫3人2,

则log/>2或log3/<-2,解得f>9或0<，<",

所以f的取值范围是卜.口(9,共).

故选：D.

7.已知抛物线C：y2=2〃M〃>0)的焦点为R准线为/,A,B为。上两点，且均在第一象限，过A,8作

/的垂线，垂足分别为。，£若［八8|=1,sinZDFE=1,则△AF8的外接圆面积为().

16兀_15兀_14兀_157r

A.——B.——C.——D.——

15161514

【答案】A

【分析】由抛物线的定义及平行线的性质可得NA/B=2NQ比，结合同角三角函数的平方关系及二倍角公

式可得sinNAF8=Y6,进而由正弦定理可求得结果.

8

【详解】如图所示，

由抛物线的定义可知|"1=|阳，|防|=|明,

所以ZBFE=NBEF=NEFO,ZAFD=ZADF=Z.DFO,

所以ZDFE=4EFO-/DFO=/BFE-ZAFD=/BAF-Z.DFE,故ZAFB=2/DFE，

易知ND庄为锐角，且由sin/DFE=1可知COSNQFE=49,

44

所以sin/AFB=2sinZDFEcosZDFE=—.

8

设Z\A阳的外接圆半径为R,由E弦定理可知一^回一=2R,

sinZAFB

4

又1ABl=1,所以R=［不，

所以有的外接圆面积为兀心=詈.

故选:A.

8.已知函数〃x）=.Mg（x）=-蛆，若/&）=g（再）=®>0）,则3的最大值为（）

Xx“

A.eB.1C.-D.—

ee-

【答案】C

ln±/t

【分析］根据题意，由条件可得旦=」_=，，构造函数力（。==">。，求导即可得到其最大值，从而

re

A2ex2e'c'

得到结果.

【详解】由"A)=g(w)=f>0,得书4=-g=f,—In—=ln—e'^.

X

2X2X2X2

因为〃司=求，，则r（x）=（l+x）e，，当x>0时，/4、）>0,所以〃切在（0,+8）上单调递增，所以王=人!，

x

则上」=Hln=_L•令〃。）=二，/>0,则〃（/）==，所以/?（，）在（。,1）上单调递增，在。,S）上单调递减

re

,v2e~审一e，e

W（l）=］

c

故选：c

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设函数/（x）=sin（8+1）®>0）,若“X）在［（）,兀］有且仅有5个极值点，则（）

A.f（x）在（0,由有且仅有3个极大值点B.〃力在（0㈤有且仅有4个零点

C.切的取值范围是毒物D.小）在上单调递增

【答案】AD

【分析】根据三角函数的极值点（也即最值点）的性质，求出极值点，然后根据条件，结合图像列出关于出

的不等式组，解出口的范围，然后再逐一判断每个选项.

【详解】作出/（冷的草图如下：

/（%）的极值点满足的+F=E+：,keZ,即一行+也，

52K=

CO

因为“力在［0,可有且仅有5个极值点，所以&=0/23,4,

37cA37r《42qa

则需记+4兀4兀,且记+3兀之兀，解得芸W指，故C错误；

COco

因为〃0）=2>0,则由图可知k=o时，再是在（o,兀）上的第一个极大值点,

51（）69

根据正弦型三角函数的图像规律可知，极大值点与极小值点总是交替出现的，

攵=2次=4时是/（力的两个极大值点，另外两个为极小值点，故A正确;

如图可知，在A点之前已有4个零点，%=限也可能落在C点的右侧，

从而使〃力在（0,劝上有5个零点，故B错误；

当/=当时，"X）的周期最小，此时第一个极大值点为％=黑=普>£,

10106y5320

而“X）在（0,引上单调递增，故/（可在（0啖）上单调递增，故D正确.

故选：AD

10.已知一元二次不等式以2+bx+c>0的解集为M，则下列说法正确的是（）

67<0

A.不等式解集M=0的充要条件为/，,八

［b--4ac<0

B.若幺=¥=幺，则关于1的不等式的解集也为加

abc

C.若M={M—2CV3},则关于人■的不等式--法+a<0的解集是卜或

D.若“=［乂］=-二）,且”b,则竺竺竺的最小值为8

I2ab-a

【答案】AD

【分析】根据一元二次不等式的求解方法以及一元二次函数的图象，对选项逐一分析，求得结果.

【详解】解：选项A：不等式a/+法+°>0解集知=0,

等价于•元二次函数），=〃2+灰+。的图象没有在犬轴上方的部分，故

67<0

等价于%2〃/八，所以选项A正确；

Z?-Aac<0

选项B：取值。=1力=-2,。=-3,q=-14=2,。=3,此时能满足幺=4=々，

abc

而2x-3>0的解集为{x|x<T,或X>3},-/+21+3>0的解集为{x|-l<x<3},故B选项错误;

选项C：因为•元二次不等式加+bx+c>0的解集为例=何-2。<3},

所以得至ij-2与3是cue2+Z?x+c=0的根且a<0，

-2+3，b=-a

故有”,解得，c=-6a,

rcC

-2x3=-a<0

a

所以不等式cx2-bx+a<0即为-^ax1+公+av0，

等价于不等式_.r-l<0的解集例=所以选项C错误;

J乙

Abk22

选项D：因为M=M娼，所以-4g(),即4c=-,

令人-a=f(/>。),

所以“+®+£_a2+2ab+b2_+2a(z+«)+(/+a)2_4a2+4at+t2

b-aa(b-a)atai

——4。+44+—/>、x-+4=8,当且仅当超=,即〃=3a取“="，选项D正确.

faata

故选：AD.

11.如图，在正方体A8CQ-AMGR中，例=Q,P为线段BC」的动点，则下列说法正确的是（）

A.瓦。1A尸

B.OP〃平面4片。

C.三棱锥P-ACR的体积为定值收

D.AP+PC的最小值为6+1

【答案】ABD

【分析】对于A,由线面垂直的判定定理证明用。，平面A3G即可;对于B,根据面面平行的判定定理证明平

面BOG//平面A&A即可;对于C,根据线面平行将点P到平面ACA的距离等于点8到平面AC。的距离，再

利用等体积法求解即可;对于D,将平面A8G和平面8CG沿直线8G展开为•个平面,利用余弦定理求解即

可判断.

【详解】对于A,连接旦C,如图:

CD平面BCC,修，BQu平面BCQB},

又BG_L4cAe「CO=C/Cu平面4CQ,C0U平面4C。,

.•.31_L平面/笫,

.qou平面耳。心

；.BC1上B1D,

连接用人,同理可得A/JL瓦。，

ABcBG=8,ABu平面ABG,BGu平面A8C1,

耳。1平面486,

八/匚平面48[,

.•.5QJ.AP,故A正确;

对于B,连接BDCQ,如图:

.ABHC、D\,AB=C\D\,

四边形ABGA为平行四边形，

:.ADJiBC\,

BC,<=平面BDC),AA<z平面BDC,,

AADJI平面6〃C；,

同理四边形AOG4为平行四边形.

ABJIDC、,

Z)Cu平面BDC、,AB.cz平面BDC、,

/,微//平面8£>G,

AB】cAR=A,AB{u平面AB。,AD{u平面AB{

二.平面BDG〃平面A8Q,

OPu平面8DG,

•••。尸〃平面ABQI，故B正确;

对于C,如图:

由B知A。//BC],

QAD.u平面ACD},Bq(Z平面ACD「

.•・垢〃平面人。。…

•・•点尸到平面ACR的距离等于点8到平面ACR的距离，

「•忆皿=匕"叫皿=：］x&x夜x/=4，故C错误;

对卜D,将半血A8C；和平囿力CC；沿直线6a展升为一个半囿,如图:

“(Q>(⑸=2,

A®=AyB=AG

.•.NAGS=60,

,8S/AGC=8S(6O+45)=?4一冬*也卢

AC2=AG2+CC,2-2-AG-CC,-cosZ4C,C=4+2-2x2x72x^-^—=4+25/3,

.,.T4)C=\/3+1,

即AP+PC的最小值为G+l,故D正确.

故选:ABD.

12.已知定义在R上的函数/(x)满足/⑴=1且/(x+)，)+/(x-y)=/(x)/(y),则()

A./(O)=2B./(2)=0

C./(力为偶函数D.7(可为周期函数

【答案】ACD

【分析】由条件等式通过取特殊值求/(0),〃2)判断A,B；再推理分析函数的奇偶性、周期性判断CD.

【详解】依题意，x,yeR,f(x¥y)+f(x-y)=f(<x)f(y),

取工=l,y=0,W/(l)+/(l)=/(l)/(0),又=则/(。)=2,A正确：

取x=l,y=l,得/(2)+/(0)=〃1)/⑴，则〃2)=-1,B错误；

取工=0,”R,得〃y)+/(-y)=f(O)〃y),而“0)=2,即/(—「)=/()，)，

于是xeR,有F(T)=〃X),则"")为偶函数,C正确；

即xuR,y=l,得l)=/(x)/(l),即l)=/(x),

W/(x+2)+/(x)=/(x+l),于是f(++2)=-f(xT),即有f(x+3)=-*r),

因此/(x+6)=-/(x+3)="r),所以/(力为周期函数，D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不

断变换求解即可.

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知Z是复数z的共扼复数，则(i+z^i+可=4+4i,则|z卜

【答案】x/5

【分析】设2="+力i,用复数的运算，算得/+/=5,再计算目即可.

【详解】设2=。+抚，则(1+2)。+4=-1+。+三》+25=/+6一]+25=4+41,

:.(r+b2=5,则同=石.

故答案为：\[5.

14.已知圆C的圆心位于第三象限且在直线)=2%+1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程

是.

【答案】(x+l>+(y+l)2=l

【分析】根据几何性质求出圆心的坐标和半径，即可求出圆C的标准方程.

【详解】由题意，在圆。中，圆心位于第三象限且在直线y=2/+l上，

设圆心为C(x,2x+l)(xv0),半径为r,

•・•圆。与两个坐标轴都相切，

，圆心到两坐标轴的距离相等，r=-(2x+l),解得：x=-l,

/.C(-l,-l),r=-x=l,

，圆C的标准方程为(*+1)2+(.V+1)2=1.

故答案为：（x+l）2+（y+l）2=l.

15.设函数/（力=丁+S-l）cosx-3"，若/（.r）为奇函数，则曲线），=〃x）过点（纨-6）的切线方程为.

【答案】F=-3%和y=24x-54

【分析】由奇函数的概念求出。=1,再由导数的几何意义设出切线方程后将点坐标代入求解.

【详解】因为/（工）=/+（4-l）C0SX-3工为奇函数，/（-X）=-/（X）,得4=1,

/（x）=x3-3x,/x）=3x2-3,

设切点（如为）,则切线方程为y-（X-3xo）=（3片一3）（x-x0）,

又切线过点（2,-6），代入得-6-（4-3%）=（34-3）（2-小）

解得％=0或%=3.当％=0时，切点为（0,0）,切线方程为），=-3心

当事=3时，切点为（3,18）,切线方程为y=24x-54.

故答案为：y=-3x和），=24x-54

16.已知双曲线。:£-[=1（。>0,60）的离心率为2,左、右焦点分别为E、占且”到渐近线的距离为3,

a~b~

过外的直线与双曲线C的右支交于A、B两点,人和的内心分别为M、N,则|MN|的最小值

为•

【答案】2石

【分析】求出双曲线的方程，根据八优瑞与△所尼的内心性质得到关系式区制-|大用=2〃和点M,N的横

坐标，设出直线A8的倾斜角，得到|MN|的表达式，即可求出|MN|的取值范围，则得到其最小值.

22

【详解】由题意，C:±2=l（a>0/>0）,

J知焦点到渐近线的距离为3,

由对称性，不妨设焦点为渐近线y=2x,即尿-@=0,

a

则焦点"（3,0）到渐近线版-什=。的距离为-尸d、="=〃=3,

扬+/c

又离心率为2,

=2»解得a=也

■**c=>Jb2+a2=273，

・••双曲线的方程为。:三-二=1.

39

记的内切圆在边A。，4乃，勺切点分别为P.Q,R,

则历，R横坐标相等，且|AH=|A0,恒怩。=怩火|，

由|A制一|整|=勿,即|AP|+|P£|-(|Ae|+|QK|)=2a,

^\PF]-\QF2\=2a,即区用一眼用=2a,

由双曲线定义知点R双曲线右支上，且在％轴上，则Ra,。），即内心M的横坐标为

同理内心N的横坐标也为。，故MN_LX轴.

设直线A3的倾斜角为。，则/0丹N=g,/MF2O=9G-g（。为坐标原点）,

在5N中,

00

cossin

|MN|=|MM+|RN|=(c—a)tan^90-g0(…>2=也,

+tan—V2

0

2sincos-,sin。sin。

22)

由于直线人4与双曲线。的右支交于两点,

且C的一条渐近线的斜率为2=6,倾斜角为60,

A60<<9<I20,BP—<sinZ7<l,

2

•••MM的范围是［26,4),

当。=90时，即直线AB垂直于X轴时，取到最小值2G.

故答案为：26.

【点睛】双曲线焦点三角形内切圆问题结论点睛：

双曲线上一点与两焦点若构成三角形，则焦点三角形鸟的内切圆与实轴相切于实轴顶点，当P点在双

曲线左支时，切点为左顶点，且当。点在双曲线右支时，切点为右顶点.

四、解答题；本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.己知数列｛/｝为等差数列，且生+q=10,&=16.

(1)求｛可｝的通项公式；

⑵数列也｝满足“("cN)数列也｝的前〃项和为S“，求证：5“<4.

Jan,an+l12

【答案】⑴4=2〃-1

(2)证明见解析

【分析】(1)利用等差数列通项和求和公式可■构造方程组求得aS,由此可得通项公式;

（2）由（1）可得"，采用裂项相消法可求得S“，进而分析得到结论.

【详解】（1）设等差数列｛勺｝的公差为"，

\a2+a4=2a3=2q+4d=10_1

则;44x3,（Q〃，解得：）=0

|S4=4qH——d=4q+6d=16[d=2

atl=1+2（//-1）=2/z-l.

,n+[111

（2）由（1）得:“一3田（2“―1）⑵2+1）―4|_（2w-l）3n-（2/j+l）3n+,

I1I11I1I1

•\=-----------------------1---------------------1---------------------F…H-----------------------------------

4|_lx3,3x323x325x335x337x34（2/z-l）3n（2〃+1）3”"

41ili_______]

YE⑵+1）3用_|一丘_（8〃+4）32，

*-（8--n-+-4--）3-n-+-,>0，.,凡sj透__

18.已知正四棱柱ABC。-48CR中，AB=\,M=2,E为线段A片的中点，尸为线段AB的中点.

⑴求直线BBI与平面AEQ所成角的正弦值;

（2）证明：直线/C〃平面4EG并且求出直线FC到平面AEQ的距离.

【答案】（I）粤

⑵证明见解析‘直线小到平面皿的距离为蜉

【分析】（1）以2为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果;

（2）根据尸C.〃=0，由线面平行的向量证明可得结论；将所求距离转化为点尸到平面4EG的距离，由点

面距离的向量求法可求得结果.

【详解】（1）以A为坐标原点，〃4〃0,。。正方向为工）'，2轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则A(1Q2),C；(0,1,0),4(1,1,0)，80,1,2),

AE=fo,p-2LAC,=(-),!,-2),B,B=(0,0,2),

设平面AEG的法向量〃=（占），,z）,

|AEn=—y-2z=0

则2-令，=4,解得：x=2z=l>z?=(2,4,1),

14cl=-x+y-2z=0

/\|80〃2721

'71B.Bn2x⑨-21

即直线网与平面A/q所成角的正弦值为粤.

(2)由(1)知：，:，2),C(0J,2),/.FC=f-l,|,0LM=fo,-1,O

FC/z=-lx2+—x4+0xl=0,pc±n，

又改平面AEG，」.FC〃平面AEG，

・・•直线尸。到平面AEG的距离即为点F到平面AEC,的距离，设该距离为d,

则d=邑”=4=半，即直线FC到平面AEG的距离为空空.

/1V212121

19.在A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,+/?)(sinA-sinB)=c(sinB+sinC).

(1)求角A的大小；

⑵若。为8c上一点，NBAD=g/BAC,AO=3,求助+c的最小值.

【答案】⑴A=§

(2)27

【分析】(1)利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；

(2)根据5八叱=5八初+5“/)求出力,。的关系，再利用基本不等式即可得解.

【详解】(1)因为(a+~)(sinA-sin3)=c(sin3+sinC),

由正弦定理得g+3(a—〃)=cS+c),^a2-b2=bc+c2,

c2+b2-a2=-hc,

所以COSA="+£—〃，

2bc2

又A«0,江所以A号；

(2)由=得NBAQ=NC4O=；NBAC=1,

因为SSBCuABDTuACD，

所以,bcsin空='c-3.sin工+，A-3.sin工，

232323

即〃c=3(c+h),—=-+-=1,

becb

所以4〃+f=(4〃+0(3+3]=15+些+主义15+2'些・主=27,

IcbJcbycb

当且仅当电=4,即c=2〃=9时等号成立，

cb

所以40+c的最小值为27.

20.某商场拟在周末进行促销活助，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该

游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则镂续游戏，直

至1()轮结束.已知该游戏第一次获胜的概率是若上一次获胜则下一次获胜的概率也是若上一次失

败则下一次成功的概率是;.记消费者甲第〃次获胜的概率为亿，数列｛〃“｝的前〃项和£〃“二4,且刀,的

Jr=1

’实际意义为前〃次游戏中平均获胜的次数.

⑴求消费者甲第2次获胜的概率P2；

⑵证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖.

【答案】(1)4=看

(2)详见解析

【分析】（1）应用全概率公式计算可得出6;

⑵计算得出凡4一厂1"（九，4、,结合等比数列的定义可证得结论成立；再结合分组求和计算判断最

少轮数即可.

I。11127

【详解】⑴^=^x-+(l-/])x^=—x—+—x—=一

222312

I、2

414

7

4

4_1

k卞

Py6

4]|41rlY-1

••・〃“一三为等比数列，且公比为一：；.•.p“—3=—'x

'6714V

、〃-1

114

几=—X+—

14I6J7

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f=l，=|771+-

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因为内=一（、+5>0,7；单调递增,

4311flY0十363

当日为奇数时，1=〒一行+中,=4-—1+、6,<4,7；=