专题2.11 绝对值贯穿有理数的经典考法【八大题型】（举一反三）（人教版2024）（原卷版）

专题2.11绝对值贯穿有理数的经典考法【八大题型】

【人教版2024】

【题型1根据绝对值的非负性求值】.......................................................................................................................1

【题型2根据字母的取值范围化简绝对值】...........................................................................................................2

【题型3利用绝对值的定义判断结论正误】...........................................................................................................2

【题型4利用绝对值的意义求字母取值范围】.......................................................................................................3

【题型5利用绝对值的性质化简求值】...................................................................................................................4

【题型6利用绝对值的意义分类讨论问题】.......................................................................................................4

�

【题型7利用分类讨论思想解决多绝对|�|值问题】...................................................................................................4

【题型8绝对值中最值问题】...................................................................................................................................5

知识点：绝对值

（1）正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；

注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

（2）绝对值可表示为：

a(a0)

a0(a0)a(a0)

a

a(a0)或a(a0)；

aa

1a01a0

（3）a；a；

aa0

（4）是重要的非负数，即，非负性.

【题型1根据绝对值的非负性求值】

【例1】（23-24七年级·四川成都·期中）若，则．

20222022

【变式1-1】（23-24七年级·全国·单元测试）20若2|1a|+�|b+|=2|a+b|，+则2a0、23b�满−足1的=关0系是�+．�=

【变式1-2】（23-24七年级·广东汕头·期末）已知，则．

1220192020

�−2+(�+2)=0��=

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【变式1-3】（23-24七年级·上海黄浦·期中）若，则

11

|�−1|+|��−2|=0(�+1)(�+1)+(�+2)(�+2)+⋯+

=．

1

(�+2022)(�+2022)

【题型2根据字母的取值范围化简绝对值】

【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若满足方程，则等于（）

A．B．C�．2019−�D=．2019+��−2020

【变式2-�1】（−230-2204七年级·广−�西−贵2港02·期0中）有理数�+2在02数0轴上的对应点−如�图+所20示2，0则化简代数式

的结果是（）�,�,��−�−

�+�+�−�

A．B．C．D．

【变式2-2�】−（�23+-2�4七年级·�广−东�广州·期中）如图，�数+轴�上点，，所对−应�的−数�分别为，，且都不为0，

．若，则���（用含，�的�式子�表示）．

��=2��2�+�=2�−3�−�−3�|2�+3�+3�|=��

【变式2-3】（23-24七年级·广东湛江·期中）已知，，，化简

|�|

．�=−��=−1�=�

�+�+�−�−�−�=

【题型3利用绝对值的定义判断结论正误】

【例3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c则下列

结论正确的个数是（）

①若，，则；②若，则B为AC的中点；③化简

；④�=若−数2轴�上=点3M到��A+，�B，�=C6距离之和�+最�小=，2则�点M与点B重合；⑤若�−，�+�−，�−�点−M�到=

A2�，B，C的距离之和为13，则点M表示的数为5；⑥若�=−2�=0�=4

，则最小值为12134．�+2+�−1�−2+�−5�−6+�−

10=362020�+2021�+2022�

A．3B．4C．5D．6

【变式3-1】（23-24七年级·重庆·期中）下列说法正确的有（）

①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或；

|���||�||�||�|

���=−1�+�+�−3

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②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3；

�+��+��+�

�+�+�=0���<0|�|+|�|+|�|−1

③已知时，那么的最大值为7，最小值为；

④若�≤4且�+，3则−式�子−4的值为；−7

2�+�−��1

2

�=�|�−�|=3�+110

⑤如果定义，当，，时，，的值为．

�+�(�>�)

�,�=0�=���<0�+�<0�>�{��}�−�

A．2个�B−．�(3�个<�)C．4个D．5个

【变式3-2】（23-24七年级·安徽滁州·期中）下列结论：

①若，则；

②若�=−3，则�=±3；

③若−�=−，3则�=；3

④若�=�，则�=�；

�

�+�=0�=1

⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为2或．

������

其中，正�确�的结�论是（填写序�号<）0．�+�<0�+�+�<0�+�+�−���−2

【变式3-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）根据绝对值定义：可将表示为，故化简

��≥0

��=�+

可得，，或四种不同结果，给出下列说法：−��<0

①�化简�+��−�一−共�有−8�种−不�同+的�结果；

②化简�+�+�一共有8种不同的结果；

③若�+�−1，+�+2（为正整数），则当时，．

以上说��法=中2正�−确9的个�数�为=（�1+）�2+…+�����=916�=34

A．0个B．1个C．2个D．3个

【题型4利用绝对值的意义求字母取值范围】

【例4】（23-24七年级·浙江杭州·期中）若的值是一个定值，则a的取值范围是（）

A．B．2�+C．4−5�+1−3�D．或

141414

�=03<�<53⩽�⩽53⩽�⩽5�=0

【变式4-1】（23-24七年级·上海徐汇·阶段练习）已知：，则a的取值范围是

【变式4-2】（23-24七年级·天津河西·期中）当�−�取=最0小值时，x的取值范围是，最

小值是．|�+2|+|�−3|

【变式4-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）若不等式对一切数x都

�−2+�+3+�−1+�+1≥�

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成立，则a的取值范围是．

【题型5利用绝对值的性质化简求值】

【例5】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知有理数，，满足，且，则

．����+�+�=�+�−��≠0�+�−�+

【2变−式�5−-11】0（=23-24七年级·福建泉州·期中）若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|

＋|c－a|＝．

【变式5-2】（23-24七年级·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则．

【变式5-3】（23-24七年级·山东·课后作业）图表示数在线四个点�的+位�置+关系�+，�且=它1们表示�的−数�分=别为p、q、

r、s.若|p－r|=10，|p－s|=12，|q－s|=9，则|q－r|=？（）

A．7B．9C．11D．13

【题型6利用绝对值的意义分类讨论问题】

�

|�|

【例6】（23-24七年级·河南平顶山·阶段练习）已知，且

．则的值为（）���<0�+�+�>0

���������

�=|�|+|�|+|�|+|��|+|��|+|��|�

A．0B．0或1C．或或D．或或

【变式6-1】（23-24七年级·浙江·期末）已知a，b0，c−为2有理1数，且01，−6，则

���

的值为（）�+�+�=0���<0�+�+�

A．1B．或C．1或D．或3

【变式6-2】（23-24七年级−·江1苏无−3锡·期中）已知−3，则−值1为多少（）

−4���4|�|�|�|

|3���|=3�+|�|+�

A．1或﹣3B．1或﹣1C．﹣1或3D．3或﹣3

【变式6-3】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程

始终存在四个不同的实数解，则的值为．||2023�−2024|−�|=−�

�+��−�����

|�+�|+|�−�|+|��|+|�|+|�|

【题型7利用分类讨论思想解决多绝对值问题】

【例7】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且

是的中点，如果�，�则原�点的大致位�置�在（�）

����+�−�−2�+�−2�−�+�−2�=0�

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A．的左边B．与之间C．与之间D．的右边

【变式7�-1】（23-24七年级·�重庆�江北·阶段练习）已�知�有理数a，c，若�，且，则所

有满足条件的数c的和是（）�−2=183�−�=�

A．﹣6B．2C．8D．9

【变式7-2】（23-24七年级·浙江宁波·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美

结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B

两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题：

��=�−��>���=�−�

(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长

度，则m的值为______；−2

(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则

______；−5�−2+�+

(53)=已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，

，，则等于______．�−�=12

�−�=7�−�=9�−�

(4)若，，，，，则式子

1111

�=��=2��=3��=4��=5��−1+2�+2+3�−3+4�+4+5�−5

的最小值为______．

【变式7-3】（23-24七年级·四川成都·期中）请利用“数形结合”的数学方法解决下列问题：

(1)有理数、、在数轴上的位置如图，化简：．

(2)请你找出�所�有符�合条件的整数，使得�−�−�+�．+�−�

(3)若、为非负整数，且�2+�+�−5=11，求、的值．

���−2+�−6�−1+�+2=24��

【题型8绝对值中最值问题】

【例8】（23-24七年级·四川南充·期末）有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示．设

，