专题2.10 有理数中的规律探究【八大题型】（举一反三）（人教版2024）（解析版）

专题2.10有理数中的规律探究【八大题型】

【人教版2024】

【题型1数字类规律探究】....................................................................................................................................1

【题型2四则运算中的规律探究】........................................................................................................................3

【题型3乘方中的规律探究】................................................................................................................................6

【题型4周期中的规律探究】................................................................................................................................9

【题型5递进中的规律探究】..............................................................................................................................12

【题型6表格中的规律探究】..............................................................................................................................14

【题型7图形中的规律探究】..............................................................................................................................18

【题型8新定义中的规律探究】..........................................................................................................................22

【题型1数字类规律探究】

【例1】（23-24七年级·黑龙江绥化·阶段练习）观察一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，…，则第2024

个数是（）．

A．22024B．22024−1C．22023D．以上答案都不对

【答案】C

【分析】根据1，2，4，8，16，…，得出第푛个数为2푛−1，把푛=2024代入即可作答．

【详解】解：观察所给的数据，

得第푛个数为2푛−1，

当푛=2024时，2푛−1=22024−1=22023，

故选：C．

【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键找出第푛个数为2푛−1，难度较小．

【变式1-1】（23-24七年级·陕西商洛·期末）观察下面一列数：

第1组第2组第3组第4组第5组……

(1,−1)(2,4)(3,−9)(4,16)(5,−25)

按照此规律第9组的两数之和为．

【答案】−72

第1页共24页.

【分析】本题考查的是数字类的规律探究，掌握探究的方法，并灵活运用规律解题是关键．由条件归纳可

得：每一组的第一个数构成连续的正整数，第二个数奇次项为负数，偶次项为正数，其绝对值是第一个的

数的平方，从而可得答案．

【详解】解：由条件归纳可得：

每一组的第一个数构成连续的正整数，

第二个数奇次项为负数，偶次项为正数，其绝对值是第一个的数的平方，

∴第9组数为(9,−81)，

∴9+(−81)=−72，

故答案为：−72．

13579

【变式1-2】（23-24七年级·山东滨州·阶段练习）一组按规律排列的数−，，−，，−…第9个数

49162536

是．

17

【答案】−

100

【分析】直接根据题意找出规律作答即可．

11×2−11×2−1

【详解】解：−=×=−，

4(−1)22(1+1)2

32×2−12×2−1

=(−1)2×=，

932(2+1)2

53×2−13×2−1

−=(−1)3×=−，

1642(3+1)2

……，

푛2푛−1

第n个数是(−1)(푛+1)2，

9×2−117

第个数是(−1)9=−，

9(9+1)2100

17

故答案为：−．

100

푛2푛−1

【点睛】本题考查了数字类规律探索，解题的关键是得到第n个数是(−1)(푛+1)2．

【变式1-3】（23-24七年级·广西崇左·期末）如图，在各正方形中的四位数之间有一定的规律，按此规律得

出a，b的值分别为（）.

第2页共24页.

A．16,257B．16,91C．10,101D．10,161

【答案】D

【分析】根据数字规律分别得出푐=16，푎=10，再由运算方法求解即可．

【详解】解：分析正方形中的四个数：

四个大正方形中第一行从左往右第一个数分别为1，3，5，7；

第二个数分别为：2，4=22，8=23，16=24；

∴푐=16；

第二行第一个数分别为：4，6，8，10，

∴푎=10，

第二行第二个数分别为：9=2×4+1，25=4×6+1，65=8×8+1，푏=푎푐+1=160+1=161，

故选D．

【点睛】题目主要考查数字规律探索及有理数的乘方运算，找出相应的规律是解题关键．

【题型2四则运算中的规律探究】

11111111111

【例2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知：=1−，=−，=−，=−，…

1×222×3233×4344×545

(1)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；

2222

(2)按照上面算式的规律计算：+++⋯+的值．

1×22×33×42017×2018

111

【答案】(1)=−

n(n+1)nn+1

2017

(2)1009

【分析】本题考查了数字的变化规律类问题，探寻数列规律认真计算观察联想是解决这类问题的关键．

（1）根据已知的算式拆项计算，观察规律即可得到答案；

（2）先根据得出的规律拆项展开，再合并，最后求出即可

11

【详解】（1）=1−，

∵1×22

111

=−，

2×323

111

=−，

3×434

111

=−，

4×545

第3页共24页.

……，

111

第n个等式为：=−；

∴n(n+1)nn+1

111

故答案为：=−；

n(n+1)nn+1

2222

（2）+++⋯+

1×22×33×42017×2018

1111

＝2×（+++⋯+）

1×22×33×42017×2018

1111111

＝2×（1−+−+−+⋯+−）

2233420172018

＝（﹣1）

2×12018

＝2017

2×2018

＝2017．

1009

231352

【变式2-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）观察以下等式：第1个等式：−=；第2个等式−=；第3个

122263

473594

等式−=；第4个等式−=；……；按照以上规律，解决下列问题：

31244205

(1)写出第6个等式；

(2)写出你猜想的第푛个等式（用含푛的等式表示）.

7136

【答案】(1)−=

6427

푛+12푛+1푛

−=

(2)푛푛(푛+1)푛+1

【分析】（1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即

可得到第六个等式；

（2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可．

231

【详解】（1）第1个等式：−=，

∵122

352

第2个等式−=，

263

473

第3个等式−=，

3124

594

第4个等式−=，

4205

……

第4页共24页.

7136

第6个等式为：−=．

∴6427

7136

故答案为：−=．

6427

푛+12푛+1푛

（）由（）得，第푛个等式：−=，

21푛푛(푛+1)푛+1

【点睛】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答．

【变式2-2】（23-24七年级·宁夏银川·期中）观察下列各式：

131318241153512446

1−==×；1−==×；1−==×；1−==×；…．

2242232933421644522555

1(    )(    )(    )

(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：1−==×；

1021001010

(2)用你发现的规律计算：1−1×1−1×1−1×⋯×1−1．

223221002

【答案】(1)见解析

101．

(2)200

【分析】本题考查了有理数乘法的规律探究，关键找到规律写出分数相乘的形式．

（1）根据等式规律写出分数相乘的形式计算结果．

（2）按规律写出分数相乘形式，再根据分数乘法进行约分求解．

1199911

【详解】（）解：1−=1−==×；

11021001001010

（2）解：1−1×1−1×1−1×⋯×1−1

223221002

=××××××⋯××

223344100100

1101

=×

2100

101

=．

200

【变式2-3】（2024七年级·安徽·专题练习）研究下列算式，你会发现什么规律？

1×3+1=4=22

2×4+1=9=32

3×5+1=16=42

4×6+1=25=52

…

第5页共24页.

(1)请你找出规律并计算7×9+1==()2

(2)用含有푛的式子表示上面的规律：．

(3)用找到的规律解决下面的问题：

11111

计算：(1+)(1+)(1+)(1+)…(1+)=．

1×32×43×54×69×11

【答案】(1)64,8

(2)푛(푛+2)+1=푛2+2푛+1=(푛+1)2

20

(3)

11

【分析】本题主要考查了有理数的运算，数字规律问题，对于（1）和（2），通过观察发现一个正整数乘

以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，依此得到7×9+1=64=82；含有푛的式

子表示的规律．

111×3+12×4+1222233

对于（3），由(1+)(1+)=()()=2×3=×××，

1×32×41×32×41×32×41324

利用此规律计算．

【详解】（1）7×9+1=64=82．

故答案为：64，82；

（2）上述算式有规律，可以用푛表示为：푛(푛+2)+1=푛2+2푛+1=(푛+1)2．

故答案为：푛(푛+2)+1=푛2+2푛+1=(푛+1)2；

22334499101020

（3）原式×××××⋅⋅⋅×××=．

13243581091111

故答案为：20．

11

【题型3乘方中的规律探究】

【例3】（23-24七年级·山东青岛·阶段练习）如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：

如图①中：共有1个小立方体，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，1个看不见；如图③中：共

有27个小立方体，8个看不见；…，则第⑥个图中看得见的有个．

第6页共24页.

【答案】91

【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，

看不见的小正方体的个数=序号数−1×序号数−1×序号数−1，看得见的小立方体的个数为共有小

立方体个数减去看不见的小正方体的个数．

【详解】解：第①时，共有小立方体的个数为1个，看不见的小立方体的个数为0个；

第②时，共有小立方体的个数为2×2×2=8（个），看不见的小立方体的个数为(2−1)×(2−1)×(2−1)=1

（个）；

第③时，共有小立方体的个数为3×3×3=27（个），看不见的小立方体的个数为(3−1)×(3−1)×(3−1)

=8（个）；

……

第⑥个图时，共有小立方体的个数为：6×6×6=216（个），

看不见的小立方体的个数为(6−1)×(6−1)×(6−1)=125（个），

∴看得见的立方体数为：216−125=91（个）．

故答案为：91．

【变式3-1】（23-24七年级·江苏常州·期中）我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运算

对应关系的一组实例：

乘方运算21=222=423=8…31=332=932=27…

新运算log22=1log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3…

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③1og464=3．其中正确的

是．

【答案】①③/③①

【分析】本题考查了有理数的混合运算、新定义，根据题中的新定义法则判断即可，解题的关键是理解题

中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则．

第7页共24页.

【详解】解：∵24=16，

∴log216=4，故①计算正确，符合题意；

∵52=25，

∴log525=2，故②计算错误，不符合题意；

∵43=64，

∴1og464=3，故③计算正确，符合题意；

综上所述，正确的有①③，

故答案为：①③．

【变式3-2】（23-24七年级·河北秦皇岛·阶段练习）观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74

=2401，75=16807，76=117649，…，根据其中的规律，可得71+72+73+74⋯+72020的结果的个位

数字与71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字之和是（）

A．0B．1C．6D．8

【答案】C

【分析】观察可知7푛的个位数字分别是7，9，3，1，四个为一组循环出现，据此分别求出两个式子的个位

数字即可得到答案．

【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，

∴7푛的个位数字分别是7，9，3，1，四个为一组循环出现，

∵2020÷4=505，2022÷4=505…2，505×(7+9+3+1)=10100，10100+7+9=10116，

∴71+72+73+74⋯+72020的结果的个位数字为0，71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字为6，

∴71+72+73+74⋯+72020的结果的个位数字与71+72+73+74⋯+72022的结果的末尾数字之和是

0+6=6，

故选C．

【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．

【变式3-3】（23-24七年级·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，푎−푏−푐的值是

（）

第8页共24页.

A．−512B．−514C．510D．512

【答案】B

【分析】本题考查图形变化的规律．观察所给图形，发现各部分数字变化的规律即可解决问题．

【详解】解：观察所给图形可知，

左上角的数字依次为：−2，4，−8，16，…，

所以第n个图形中左上角的数字可表示为：(−2)푛．

右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2，

所以第n个图形中右上角的数字可表示为：(−2)푛+2．

下方的数字为同一个图形中左上角数字的1，

2

(−2)푛

所以第n个图形中下方的数字可表示为：．

2

当푛=10时，

(−2)푛=(−2)10=1024，

(−2)푛+2=1026，

(−2)푛

=512，

2

所以a−b−c=1024−1026−512=−514．

故选：B．

【题型4周期中的规律探究】

【例4】（2024·北京西城·七年级期末）将1，2，3，4，5，…，37这37个连续整数不重不漏地填入37个

空格中．要求：从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第

1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数．若第1个空格填入37，则

第2个空格所填入的数为，第37个空格所填入的数为．

37

【答案】119

【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握四则运算法则是解题关键．根据第1个数是第2

个数的倍数可得第2个空格所填入的数；先得出这37个数的和也是第37个数的倍数，再求出这37个数的

和，由此即可得．

【详解】解：∵第1个空格填入37，第1个数是第2个数的倍数，

第9页共24页.

∴第2个空格所填入的数为1，

∵前36个数的和是第37个数的倍数，

∴这37个数的和也是第37个数的倍数，

又∵1+2+3+⋯+37

=(1+37)+(2+36)+⋯+(18+20)+19

=38×18+19

=703

=37×19，

∴第37个空格所填入的数为19，

故答案为：1，19．

【变式4-1】（23-24七年级·浙江·期中）从大拇指开始，按照大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指

→中指→食指→大拇指→食指……的顺序，依次数整数1，2，3，4，5，6，7，……当数到2022时，对应

的手指为；当第n次数到食指时，数到的数是（用含n的代数式表示）．

【答案】无名指8(푛−1)+2或8(푛−1)+8

【分析】先探究规律，发现规律后利用规律即可解决问题．

【详解】解：如题意可知，八次为一个循环体重复出现，

2022÷8=252……6，

当数到2022时，对应的手指与第6次对应的一样为：无名指；

第一个循环体出现食指时，数到的数是：8(1−1)+2，8(1−1)+8；

第二个循环体出现食指时，数到的数是：8(2−1)+2，8(2−1)+8；

第三个循环体出现食指时，数到的数是：8(3−1)+2，8(3−1)+8；

…

当第n次数到食指时，数到的数是8(푛−1)+2，8(푛−1)+8，

故答案为：无名指，8(푛−1)+2或8(푛−1)+8．

【点睛】本题考查规律型数字的变化类问题，解题的关键是从一般到特殊探究规律、发现规律、利用规律

解决问题，属于中考常考题型．

【变式4-2】（23-24七年级·安徽黄山·期中）观察算式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，

36=729，37=2187，38=6561，…，通过观察，用你所发现的规律确定32023的个位数字是．

【答案】7

第10页共24页.

【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律

解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．

从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，

由此解决问题即可．

【详解】解：已知31=3，末位数字为3，

32=9，末位数字为9，

33=27，末位数字为7，

34=81，末位数字为1，

35=243，末位数字为3，

36=729，末位数字为9，

37=2187，末位数字为7，

38=6561，末位数字为1，

…

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，

又2023÷4=505⋯3，

所以32023的末位数字与33的末位数字相同是7．

故答案为：7．

【变式4-3】（23-24七年级·河南开封·期中）如图所示，在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有

五个数字点的圆周上跳动，游戏规则：若电子青蛙，停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若

电子青蛙停在偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点．现在电子青蛙若从4这点开始跳，则经过2022

次后它停的点对应的数为（）

A．1B．2C．3D．5

【答案】D

【分析】本题考查的是数字类规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键，本题先计算前5次跳动后停时

对应的点对应的数，再总结规律可得答案．

【详解】解：由题知，

第11页共24页.

因为青蛙从4这点开始跳，

所以经过1次后它停的点对应的数为3；

经过2次后它停的点对应的数为5；

经过3次后它停的点对应的数为2；

经过4次后它停的点对应的数为1；

经过5次后它停的点对应的数为3；

…，

由此可见，青蛙停的点对应的数字按3，5，2，1循环出现，

又因为2022÷4=505⋅⋅⋅2，

所以经过2022次后它停的点对应的数为5；

故选：D．

【题型5递进中的规律探究】

【例5】（23-24七年级·江西赣州·期末）如图，数轴上푂，퐴两点的距离为3，一动点푃从点퐴出发，按以下

规律跳动：第1次跳动到퐴푂的中点퐴1处，第2次从퐴1跳动到퐴1푂的中点퐴2处，第3次从퐴2点跳动到퐴2푂的

中点퐴3处，按照这样的规律继续跳动到点퐴4,퐴5,퐴6,…,퐴푛（푛≥3,푛是整数）处，那么线段푂퐴푛的长度为（）

3333

A．B．C．D．

2푛−22푛−12푛2푛＋1

【答案】C

【分析】本题考查了数字类规律探索，数轴上的动点问题，根据题意找出一般规律是解题关键．通过前三

3

次的跳动情况发现，第푛次动点푃从퐴点跳动到퐴푂的中点퐴处时，푂퐴=，即可得出答案．

푛−1푛−1푛푛2푛

【详解】解：由题意可知，푂퐴=3，

133

第1次动点푃跳动到퐴푂的中点퐴处时，푂퐴=푂퐴==；

112221

133

第2次动点푃从퐴跳动到퐴푂的中点퐴处时，푂퐴=푂퐴==；

112221422

133

第3次动点푃从퐴点跳动到퐴푂的中点퐴处时，푂퐴=푂퐴==；

223322823

……

第12页共24页.

3

观察可知，第푛次动点푃从퐴点跳动到퐴푂的中点퐴处时，푂퐴=；

푛−1푛−1푛푛2푛

故选：C

【变式5-1】（2024·山西太原·二模）观察图中给出的四个点阵，按照图中点的个数的变化规律，猜想第n

个点阵中点的个数为个．（用含n的代数式表示）

【答案】(2푛−1)

【分析】根据图形得到规律从第二个开始逐渐增加2点即可得到答案；

【详解】解：由题意可得，

图形从第二个开始在前一个是增加2点，

∴第n个图形点数为：1+(푛−1)×2=2푛−1，

故答案为：2푛−1；

【点睛】本题考查图形规律，解题的关键是看懂图形中前后两个图形的变量与固定量．

【变式5-2】（23-24七年级·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，

图③中有13个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．

【答案】111

【分析】本题考查了数与形的规律，能总结出一般规律是解题关键．列出给出的几幅图的点数依次为3，7，

13，21，⋯，分析这些数我们可以得到3=1×2+1，7=2×3+1，13=3×4+1，⋯据此总结规律求解

即可．

【详解】观察题图可知：

图①中点的个数为3=1+2=1×2+1；

图②中点的个数为7=1+2+4=2×3+1；

图③中点的个数为13=1+2+4+6=3×4+1；

图④中点的个数为21=1+2+4+6+8=4×5+1；

图n中点的个数为1+2+4+6+8+⋯+2푛=푛(푛+1)+1；

第13页共24页.

当푛=10时，图中点的个数有1+2+4+6+⋯+20=10×11+1=111（个）点，

故答案为：111．

【变式5-3】（23-24七年级·宁夏银川·期末）生物课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题组成

员把他们分别标号为1，2，3）的生长情况进行观察记录，这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微

生物（依次被标号为4，5，6，7，8，9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，

形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录），那么标号为1000的微生物会出现在第

（）

A．第7天B．第8天C．第9天D．第10天

【答案】B

【分析】由图和题意可知，第一天产生新的微生物有6个标号，第二天产生新的微生物有12个标号，以此

类推，第三天、第四天、第五天产生新的微生物分别有24个，48个，96个，192个，384个，768个，…

进而求出答案．

【详解】解：第一天产生新的微生物有6个标号，

第二天产生新的微生物有12个标号，

以此类推，第三天、第四天、第五天…产生新的微生物分别有24个，48个，96个，192个，384个，768

个，…

前七天所有微生物的标号共有3+6+12+24+48+96+192+384=765个，

所以标号为1000的微生物会出现在第8天．

故选：B．

【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字的变化规律和运算方法，利用规律和方法解决问题．

【题型6表格中的规律探究】

【例6】（23-24七年级·安徽芜湖·期中）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）

第14页共24页.

A．139B．209C．109D．259

【答案】B

【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给表格，发现表格中四个数之间的关系是解题的关键．

观察表格中四个数之间的关系，根据发现的规律即可解决问题．

【详解】解：观察所给表格可知，

4÷2−1=1，

6÷2−1=2，

8÷2−1=3，

10÷2−1=4，

所以푎=20÷2−1=9．

又因为左下方的数比左上方的数大1，

则푏=푎+1=10

又因为2×4+1=9，

3×6+2=20，

4×8+3=35，

5×10+4=54，

所以푥=10×20+9=209．

故选：B．

【变式6-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把1～9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行，任意一列

及两条对角线上的数之和都等于15，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”

是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中푚的值为()．

A．1B．3C．6D．9

第15页共24页.

【答案】D

【分析】本题考查了有理数的混合运算；根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，可

得①，②，③表示的数，即可求出푚的值．

【详解】解：如图，

∵任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于15，

∴对角线上①处数字与5，2的和为15，

∴①处的数字为：15−5−2=8，

又中间一列②处数字与7，5的和为15，

∴②处上的数字为：15−7−5=3

最正面一行数字之和为15

∴③处数字为15−8−3=4

最后一列之和为15，

∴푚=15−2−4=9，

故选：D．

【变式6-2】（23-24七年级·河南南阳·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干

支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，

每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方

法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为

例：天干为：(2022−3)÷10=201⋯⋯9；地支为：(2022−3)÷12=168⋯⋯3；对照天干地支表得出，2022

年为农历壬寅年．

123456789101112

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

请你依据上述规律推断2024年为农历年．

【答案】甲辰

【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支

第16页共24页.

的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键．

【详解】解：由题意，得：天干为：(2024−3)÷10=202⋯⋯1，地支为：(2024−3)÷12=168⋯⋯5，

∴2024年为农历甲辰年；

故答案为：甲辰．

【变式6-3】（23-24七年级·湖北黄冈·期中）用火柴棒按如图的方式搭图形．

图形标号①②③④⑤…

火柴棒根数5913____________…

(1)按图示规律完成表格

(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？

(3)搭第2024个图形需要多少根火柴棒？

【答案】(1)17,21

(2)4푛+1

(3)8097根火柴棒

【分析】本题主要考查规律型：图形的变化类解答的关键是根据所给的图形分析出其规律；

（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；

（2）由（1）进行总结即可；

（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．

【详解】（1）第1个图形的火柴棒根数为：5，

第2个图形的火柴棒根数为：9=5+4=5+4×1，

第3个图形的火柴棒根数为：13=5+4+4=5+4×2，

第4个图形的火柴棒根数为：17=5+4+4+4=5+4×3，

第5个图形的火柴棒根数为：21=5+4+4+4+4=5+4×4，

故答案为：17,21；

（2）由（1）得：搭第푛个图形需要火柴棒根数为：5+4(푛−1)=4푛+1．

第17页共24页.

答：第푛个图形需要火柴棒根数为：4푛+1；

（3）当푛=2024时，4푛+1=4×2024+1=8097，所以搭第2022个图形需要8097根火柴棒．

【题型7图形中的规律探究】

1

【例7】（23-24七年级·山东潍坊·期中）如图，把面积为1的正方形进行分割，观察其规律，可得算式+

2

23478

11111

+++…++再加上（）后，结果就是1．

22222

1111

A．B．C．D．

25262728

【答案】D

【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形

结合的思想解答．

푛푛

1234

根据图形可知+1+1+1…+1+1=1

222222

【详解】解：由图可知，

234788

1111111

+++…++在加上后，结果就是1

2222222

故选：D

【变式7-1】（23-24七年级·山西临汾·期中）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4

个图形中字母“H”的个数是．

【答案】10

【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．

第18页共24页.

【详解】解：第1个图中H的个数为4，

第2个图中H的个数为4+2=6，

第3个图中H的个数为4+2×2=8，

则：第4个图中H的个数为4+2×3=10，

故答案为：10．

【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一

个图形多2个H是解题的关键．

【变式7-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第10个

图形中正方形的个数是……（）

A．110B．330C．440D．572

【答案】C

【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出正方形个数与图形序数之间的关系是解题

的关键．根据图形的变化归纳正方形个数与图形序数之间的关系即可．

【详解】解：由图知，第1个图形有2个正方形：2=1×2，

第2个图形有8个正方形：8=1×2+2×3，

第3个图形有20个正方形：20=1×2+2×3+3×4，

第4个图形有40个正方形：40=1×2+2×3+3×4+4×5，

…，

第10个图形正方形个数为：1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10+10×

11=440

故选：C．

【变式7-3】（23-24七年级·山西晋中·期中）阅读与探索：

问题情境：

通过学习“探索与表达规律”让我们感受到：发现数学中的规律是一件十分有趣的事情．用简洁的语言表达变

第19页共24页.

化规律应该从简单入手，经过熟悉、认知、思考、总结，从而发现规律．请你用自己学到的方法探索并表

达下列规律：

（1）如图，搭1个小正方形需要4根火柴棒，搭2个小正方形需要7根火柴棒，搭3个小正方形需要10

根火柴棒……，如果用푛表示所搭正方形的个数，那么搭푛个这样的小正方形需要__________根火柴棒（用푛

的代数式表示）．

类比探索：

（2）如图，是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第푛个图案需要__________根火柴棒（用

푛的代数式表示）．

（3）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小

等边三角形围成2个小菱形，．．．．．．．若按此规律拼下去，则第푛个图案需要火柴棍的根数为__________

（用含푛的式子表示）．

拓展应用：

（4）观察并找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是__________个．

【答案】（1）(3푛+1)；（2）(4푛+1)；（3）6푛+6；（4）3035

【分析】（1）第一个图形需要4根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多3根，据此找到规律列出代

数式；

（2）第一个图形需要5根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多4根，据此找到规律列出代数式；

（3）第①个图形需要4个等边三角形，共12根火柴棒，以后的每个图形都比前一个图形多2个等边三角

形，多6根火柴棒，据此找到规律列出代数式；

第20页共24页.

（4）根据前几个图形的规律，找到当n为奇数时和当n为偶数时需要的黑色正方形个数，继而代入计算即

可．

【详解】解：（1）搭1个小正方形需要4根火柴棒，

搭2个小正方形需要4+3×1=7根火柴棒，

搭3个小正方形需要4+3×2=10根火柴棒，

…

搭n个小正方形需要4+3×(푛−1)=(3푛+1)根火柴棒；

（2）摆1个五边形需要5根火柴棒，

摆2个五边形需要5+4×1=9根火柴棒，

摆3个五边形需要5+4×2=13根火柴棒，

…

摆n个五边形需要5+4×(푛−1)=(4푛+1)根火柴棒，

（3）第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12=3×4，

第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18=3×6，

第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24=3×8，

…，

∴第n个图案需要火柴棍的根数为：3(2푛+2)=6푛+6．

（4）第1个图形中黑色正方形的数量是2个，

第2个图形中黑色正方形的数量是3个，

第3个图形中黑色正方形的数量是5个，

第4个图形中黑色正方形的数量是6个，

第5个图形中黑色正方形的数量是8个，

…

当n为奇数时，黑色正方形的个数为푛+1+푛，

2

当n为偶数时，黑色正方形的个数为푛+푛，

2

2023+1

第2023个图形中黑色正方形的数量是+2023=3035个．

∴2

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律．

第21页共24页.

【题型8新定义中的规律探究】

【例8】（23-24七年级·江苏苏州·期末）定义一种关于整数푛的“퐻”运算：（1）当푛是奇数时，结果为

푛푛

，（）当为偶数时，结果为（其中是正整数，且使得为奇数）；并且运算重复进行．例如：

3푛+52푛2푘푘2푘푛=12

时，第一次经“퐻”运算的结果是3，第二次经“퐻”运算的结果是14，第三次经“퐻”运算的结果是7，第四次经

“퐻”运算的结果是26……．若푛=58，则第2024次经“퐻”运算的结果是（）

A．29B．92C．23D．74

【答案】B

【分析】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是根据新定义运算得到数字的基本规律．根据题中所给

新定义运算进行求解，即当푛=58时，则第一次“퐻”运算的结果为29，第二次“퐻”运算的结果为92，第三次

“퐻”运算的结果为23，第四次“퐻”运算的结果为74，第五次“퐻”运算的结果为37，第六次“퐻”运算的结果为

116，第七次“퐻”运算的结果为29，….；由此可发现规律为“퐻”运算的结果按照29、92、23、74、37、116

循环，据此问题可求解．

【详解】解：由题意得：

当푛=58时，则第一次“퐻”运算的结果为29，第二次“퐻”运算的结果为92，第三次“퐻”运算的结果为23，第

四次“퐻”运算的结果为74，第五次“퐻”运算的结果为37，第六次“퐻”运算的结果为116，第七次“퐻”运算的结

果为29，….；由此可发现规律为“퐻”运算的结果按照29、92、23、74、37、116循环下去，

∵2024÷6=337…..2；

∴第2024次“퐻”运算的结果为92；

故选：B．

3×25×4×36×5×4×3

【变式8-1】（23-24七年级·广西钦州·期末）已知퐶2==3，퐶3==10，퐶4==15，⋯，

31×251×2×361×2×3×4

23

观察以上计算过程，寻找规律计算퐶4+퐶7=．

【答案】41

【分析】本题考查了数字变化规律，观察分母是从1到푏的푏个数相乘，分子是从푎开始乘，依次减1,푏个数相

乘是解题的关键．

푏

根据已知的三个等式得．对于퐶푎(푏<푎)来讲，等于一个分式，其中分母是从1到푏的푏个数相乘，分子是从푎

开始乘，依次减1,푏个数相乘．

3×25×4×36×5×4×3

【详解】解：∵퐶2==3,퐶3==10,퐶4==15，

31×251×2×361×2×3×4

第22页共24页.

4×3