专题2.9 巧算有理数【九大题型】（举一反三）（人教版2024）（原卷版）

专题2.9巧算有理数【九大题型】

【人教版2024】

【题型1凑整法】....................................................................................................................................................1

【题型2拆项法】....................................................................................................................................................2

【题型3组合法】....................................................................................................................................................2

【题型4裂项相消法】............................................................................................................................................3

【题型5相互转化法】............................................................................................................................................4

【题型6倒数法】....................................................................................................................................................5

【题型7错位相减法】............................................................................................................................................5

【题型8利用分配律进行简算】............................................................................................................................5

【题型9利用图形进行简算】................................................................................................................................7

知识点1：凑整法

多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整

数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。

【题型1凑整法】

192

【例1】（23-24七年级·上海普陀·期中）计算：−3.19+2+−

21(−6.81)−221

【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·阶段练习）计算：

1

−7.3−5+|−3.3|+1．

−666

111

【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）计算：++++．

−28(+5)−32(+1.125)+42

【变式1-3】（2024秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：

−21+(+5)+−31+(+1.125)++41；

822

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知识点2：拆项法

先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律,结合律

得出答案。

【题型2拆项法】

5231

【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）计算：−5++17+

6−934−32

【变式2-1】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：

(1)+357+−234；

99

(2)−20185+−20172+−11+4036．

632

521

【变式2-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）计算：++4023+．

−20116−20123−12

【变式2-3】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：

23

(1)+．

+175−75

245

(2)++4048+．

−20239−202499

知识点3：组合法

观察算式,找出算式分布规律,然后适当分组,利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。

【题型3组合法】

【例3】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2019−2020

值为（）

A．0B．﹣1C．2020D．-2020

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【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期中）计算：

（1）(−18)+17+(−12)−(−33)．

2731

（2）+−−．

+35−28−55+18

【变式3-2】（23-24七年级·安徽阜阳·阶段练习）计算：

2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+16−13+10−7+4

【变式3-3】（23-24七年级·北京·期末）

1−3−5+7+9−11−13+15+⋯+2009−2011−2013+2015=．

知识点4：裂项相消法

根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两项相加,只剩下首项和末项相加得出结果。

【题型4裂项相消法】

【例4】（23-24七年级·山东威海·阶段练习）计算：

1111

+++…+；

(1)1×22×33×42004×2005

1111

+++…+；

(2)1×33×55×749×51

111111

+++++．

(3)61220304256

1111

【变式4-1】（七年级安徽马鞍山期中）计算：+++⋅⋅⋅+．

23-24··2×44×66×82022×2024

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11111

【变式4-2】（七年级江苏苏州阶段练习）计算：++++⋯+．

23-24··−1×3−3×5−5×7−7×9−2021×2023

1111

【变式4-3】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）计算：1−×1−×⋅⋅⋅×1−×1−．

22322021220222

知识点5：相互转化法

根据算式特点,将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。

【题型5相互转化法】

1

【例5】（七年级江苏盐城开学考试）计算：38×+17×0.25+45×25%

23-24··4

55

【变式5-1】（23-24七年级·浙江衢州·阶段练习）计算：8××÷；

−3(−0.25)−6

1

【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）计算：××12.5

(−0.25)(−3)×8×(−40)×−3

【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：

(1)(−3)÷−13×0.75÷−3×(−6)；

47

1

(2)−1×(−0.1)÷×(−10)；

525

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【题型6倒数法】

1111

【例6】（23-24七年级·陕西汉中·期末）计算÷的值．

−123−4+6

7377

【变式6-1】（七年级湖北襄阳期中）计算：(−)÷(1−+)．

23-24··84812

111

【变式6-2】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习）计算：50÷．

3−4+12

37777377

【变式6-3】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）计算：÷+÷．

14−8−12−8−814−8−12

【题型7错位相减法】

2023

【例7】（23-24七年级·山东滨州·期中）计算：1−5+52−53+54−55+⋯+52020−52021+52022−5=

6

【变式7-1】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习计算：1+2+22+23+24+…+2999

【变式7-2】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）计算9+92+93+...+92009的值．

【变式7-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）计算

（1）1+7+72+73+⋯⋯+72022的值．

2389

11111

（）1+2×+3×+4×+⋯+9×+10×．

233333

【题型8利用分配律进行简算】

【例8】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：36.2×1.638+6.382．

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【变式8-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）用简便方法计算

35

6×

(1)36(−6)

433

(2)999×118+333×−999×18.

5−55

【变式8-2】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）简便计算：

22222222

(1)1+2+2+3+3+4+⋯+2022+2023；

1×22×33×42022×2023

1111111111111111

(2)×−×．

9+10+11+1210+11+12+139+10+11+12+1310+11+12

【变式8-3】（23-24七年级·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算

(1)2021×20222022−2022×20212021；

111111

1+2+3+4+5+6

(2)248163264

2015+2016×2014

(3)2016×2015−1

911131517121212

(4)×

20−30+42−56+72131313

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【题型9利用图形进行简算】

1

【例9】（七年级全国期中）看图填空：如图，把一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方

23-24··12

形，接着把面积为1的长方形等分成两个面积为1的长方形，再把面积为1的长方形等分成面积为1的长方形，

2448

如此进行下去……

111111111

试利用图形揭示的规律计算：++++++++⋯＝．

(1)2481632641282562푛_______

并使用代数方法证明你的结论．

11111

(2)请给利用图（2），再设计一个能求：++++⋯+的值的几何图形．

22223242푛

【变式9-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、

数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②

是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．

(1)图中阴影部分的面积为；

1111

(2)受此启发，得到+++⋯+＝；

24826

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1111

联系拓广，得到+++⋯+＝（用含n的式子表示）；

(3)2482푛

212121212

(4)迁移应用：得到+×+×+×+⋯+×＝（直接写出答案即可）．

333323333320233

【变式9-2】（23-24七年级·湖南永州·期中）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210．

【运用】仿照此法计算：

解：设푆=1+2+22+23+24+…+210①

将等式①的两边同时乘以2得：2푆=2+22+23+24+25+…+211②

由②−①得：2푆−푆=211−1，

即：푆=1+2=22+23+24+…+210=211−1，

(1)1+5+52+53+54+…+550；

(2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为푆1，选取

右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形푆2，依次操作2022次，依次得到小正方形

푆1、푆2、푆3、…、푆2022．

完成下列问题：

①小正方形푆2022的面积等于；

②求正方形푆1、푆2、푆3、…、푆2022的面积和．

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【变式9-3】（23-24七年级·山东青岛·期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到

底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹

冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重

量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效

的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相

反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数

的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．

下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：

1111

数学问题，计算+++⋯+푛(其中푛是正整数，且푛≥2，)．

992939

探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方

形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

1111

探究一：计算+++⋯+．

222232푛

第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为1；

12

11

第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；

222

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；

……

1111

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++⋯+，

222232푛

最后空白部分的面积是1．

2푛

11111

根据第n次分割图可得等式：+++⋯+=1−．

222232푛2푛

1111

探究二：计算+++⋯+．

332333푛

第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为2；

13

第9页共10页.

22

第2次