专题2.4 有理数的乘方【十大题型】（举一反三）（人教版2024）（解析版）

专题2.4有理数的乘方【十大题型】

【人教版2024】

【题型1乘方运算的符号规律】............................................................................................................................1

【题型2乘方的逆运算（简算）】........................................................................................................................3

【题型3乘方中的程序流程图问题】....................................................................................................................6

【题型4乘方中的整除问题】................................................................................................................................9

【题型5乘方中的进制问题】..............................................................................................................................11

【题型6乘方中的末尾数字问题】......................................................................................................................13

【题型7乘方中的规律探究】..............................................................................................................................15

【题型8算“24”点】..........................................................................................................................................17

【题型9乘方的实际应用】..................................................................................................................................19

【题型10乘方中的新定义问题】..........................................................................................................................22

知识点：有理数的乘方

1.有理数的乘方

a×a×a×××××a

一般地，n个相同的乘数a相乘，即1442443，记作an，读作“a的n次方”；

n个

在an中，a叫做底数，n叫做指数；当an看作a的n次方的结果时，读作a的n次幂。

求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；

2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。

注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。

【题型1乘方运算的符号规律】

【例1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）下列各组数中，数值相等的一组是（）

A．32和23B．（﹣2）3和﹣23

C．﹣32和（﹣3）2D．﹣（2×3）2和﹣2×32

【答案】B

第1页共25页.

【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号．

【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意；

B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意；

C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意；

D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键．

【变式1-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：(−2)3=−8，−23=−8；(−3)3

=−27，−33=−27；(−4)3=−64，−43=−64．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母푎表

示的式子：①当푎<0时，푎3=(−푎)3；②当푎>0时，−푎3=(−푎)3．其中表示的规律正确的是（）

A．①B．②C．①、②都正确D．①、②都不正确

【答案】B

【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得．

【详解】解：由三组数的运算得：(−2)3=−8=−23=−[−(−2)]3，

(−3)3=−27=−33=−[−(−3)]3，

(−4)3=−64=−43=−[−(−4)]3，

归纳类推得：当푎<0时，푎3=−(−푎)3，式子①错误；

由三组数的运算得：−23=−8=(−2)3，

−33=−27=(−3)3，

−43=−64=(−4)3，

归纳类推得：当푎>0时，−푎3=(−푎)3，式子②正确；

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）已知4个数：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中

正数的个数有（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】根据乘方运算法则、绝对值性质、相反数的定义逐一计算即可得出答案．

【详解】解：

第2页共25页.

计算出结果：

（-1）2018=1

|-2|=2

-（-1.5）=1.5

-32=-9

根据计算答案可知正数有3个，

故选C．

【点睛】本题主要考查有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则、绝对值性质、相反数的

定义及求解方法．

【变式1-3】（23-24七年级·山东枣庄·期中）下列各式：①푎2=(−푎)2；②푎3=(−푎)3；③−푎2=|−푎2|；

④푎3=|푎3|．一定成立的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【分析】根据乘方和绝对值的定义，逐个分情况讨论，即可解决问题.

【详解】①푎2=(−푎)2，一定成立；

②푎3=(−푎)3，当a为正数时，该等式不成立；

③−푎2=|−푎2|，a为正数或负数时，该等式不成立；

④푎3=|푎3|，当a为负数时，该等式不成立；

一定成立的有①，共1个

故选A

【点睛】本题考查有理数的乘方和绝对值，熟练掌握乘方和绝对值的定义以及偶次方和绝对值的非负性是

解题关键.

【题型2乘方的逆运算（简算）】

【例2】（23-24七年级·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：

①(3×5)2与32×52；

②[(−2)×3]2与(−2)2×32；

（2）根据以上计算结果想开去：(푎푏)3等于什么?（直接写出结果）

（3）猜想与验证：当푛为正整数时，(푎푏)푛等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．

（4）利用上述结论，求(−4)2022×0.252023的值．

第3页共25页.

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）(푎푏)3=푎3푏3；（3）(푎푏)푛=푎푛푏푛；理由见解析；（4）0.25

【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值；

（2）根据（1）的结果即可得到答案；

（3）根据乘方(푎푏)푛的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为푎⋅푎·⋯·푎和푏⋅푏·⋯·푏的乘积即可证明猜想；

푛个푎相乘푛个푏相乘

（4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案．

【详解】解：（1）①(3×5)2=152=225，

32×52=9×25=225；

②[(−2)×3]2=(−6)2=36，

(−2)2×32=4×9=36；

（2）(푎푏)3=푎3푏3；

（3）(푎푏)푛=푎푛푏푛，理由如下：

(푎푏)푛=푎푏⋅푎푏·⋯·푎푏

푛个푎푏相乘

=푎⋅푎·⋯·푎⋅푏⋅푏·⋯·푏

푛个푎相乘푛个푏相乘

=푎푛푏푛；

（4）(−4)2022×0.252023

=(−4)2022×0.252022×0.25

=(−4×0.25)2022×0.25

=(−1)2022×0.25

=0.25．

【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运

算以及逆运算来简便运算是解题关键．

【变式2-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如果푥5=−32，푦3=8那么푥푦=．

【答案】4

【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理

数乘方的定义，已知等式中的−32相当于−2的5次方，由此可以求出x的值为−2．已知等式中的8相当于2

的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出푥푦的值．

【详解】解：∵−32=(−2)5，

∴푥5=(−2)5，

第4页共25页.

∴푥=−2．

∵23=8，

∴푦=2，

因此푥푦=(−2)2=4．

故答案为：4．

【变式2-2】（23-24七年级·福建厦门·期中）若126×38=푝，则126×36的值可以表示为（）

11

．푝．푝−9．푝−6．푝

A6BCD9

【答案】D

【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即

可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键．

【详解】∵126×38=푝,

∴126×36×32=푝,

∴126×36×9=푝,

1

126×6=푝，

∴39

故选：D．

33

1

【变式2-3】（七年级广东东莞期中）2=36,2=2×2=4×9=36，由此你能算出36×

23-24··6(2×3)2322

=（）

．．．1．十分麻烦

A6B8C8D

【答案】B

3333

11

【分析】先把原式变形为33××3，从而得到×3，即可求解．

2222×22

33

1

【详解】解：36×

22

133

=233×23×

2

133

=233××23

2

133

=2××23

2

=133×23

＝1×8

第5页共25页.

＝8

故选：B．

【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键．

【题型3乘方中的程序流程图问题】

【例3】（23-24七年级·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小

可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．

(1)当小可选择了4，小佳选择了퐴→퐶→퐵→퐷的顺序，列出算式并计算结果；

(2)当小可选择了−2，小佳选择了퐷→퐶→（______）→（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为−3，请

通过计算判断小佳选择的顺序．

【答案】(1)算式：[(4+3−2)×(−3)]2，结果是225；

(2)小佳选择了퐷→퐶→퐵→퐴，计算见解析．

【分析】本题考查程序流程图与有理数的混合运算：

（1）按照选择的顺序列式计算即可；

（2）按照퐷→퐶→퐴→퐵，퐷→퐶→퐵→퐴两种顺序分别计算，看哪个结果刚好是−3即可．

【详解】（1）解：由题意，算式为：[(4+3−2)×(−3)]2，

[(4+3−2)×(−3)]2

=[5×(−3)]2

=(−15)2

=225；

（2）解：若选择퐷→퐶→퐴→퐵，

可得：[(−2)2−2+3]×(−3)

=(4−2+3)×(−3)

=5×(−3)

=−15；

若选择퐷→퐶→퐵→퐴，

第6页共25页.

可得：[(−2)2−2]×(−3)+3

=(4−2)×(−3)+3

=2×(−3)+3

=−6+3

=−3；

∵列式计算的结果刚好为−3，

∴小佳选择了퐷→퐶→퐵→퐴．

【变式3-1】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）根据下面的数值转换器，列出关于x，y的代数式，并求

2

1

出当输入的x与y满足+=0时的值．

|푥+1|푦−2

3

【答案】2÷2，原式

[푥+(2푦+1)]=2

【分析】根据绝对值的非负性和偶次幂的非负性求出x、y，代入计算流程图计算即可得解．

2

1

【详解】∵+=0，

|푥+1|푦−2

2

1

∵≥0，≥0，

|푥+1|푦−2

2

1

∴=0，=0，

|푥+1|푦−2

1

푥+1=0，푦−=0，

∴2

1

푥=−1，푦=，

∴2

根据计算流程图可以列式为：[푥2+(2푦+1)]÷2，

1

将푥=−1，푦=代入流程图式子中，

2

3

有2÷2=21÷2=3÷2=，

[푥+(2푦+1)](−1)+2×2+12

第7页共25页.

故答案为：3．

2

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算、绝对值的非负性和偶次幂的非负性的知识，求出x、y的值是

解答本题的关键．

【变式3-2】（23-24七年级·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果

不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果．

【答案】320

【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算．根据流程图列出算式，进行计算即可．掌握的列出算式，

是解题的关键．

2

1111

【详解】解：把20代入程序中得：20×÷=20×÷=−40，

|−2|−−22−4

21

把−40代入程序中得：−40×1÷1=−40×÷1=80，

|−2|−−22−4

2

1111

把80代入程序中得：80×÷=80×÷=−160，

|−2|−−22−4

21

把−160代入程序中得：−160×1÷1=−160×÷1=320>100，

|−2|−−22−4

则最后输出的结果为320．

【变式3-3】（23-24七年级·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序．

(1)当输入푎=−5,푏=−3吋，求输出푀的值为多少？

(2)若푎=−3,푀的值大于4，直接写出一个符合条件的푏的值．

【答案】(1)34

(2)푏=1（答案不唯一，符合要求即可）

第8页共25页.

【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图是解题的关键．

（1）由题意知，푏2=9，−푎=5，由푏2>−푎，可知푀=푎2−3푏=(−5)2−3×(−3)，计算求解即可；

（2）由题意知，−푎=3，当푏=1时，푏2<−푎，可知푀=|푎−푏|+3=|−3−1|+3=7>4，进而可知，푏=1

符合要求．

【详解】（1）解：由题意知，푏2=9，−푎=5，

∵푏2>−푎，

∴푀=푎2−3푏=(−5)2−3×(−3)=34，

∴输出푀的值为34；

（2）解：由题意知，−푎=3，

当푏=1时，푏2=1，且푏2<−푎，

∴푀=|푎−푏|+3=|−3−1|+3=7>4，

∴푏=1符合条件．

【题型4乘方中的整除问题】

【例4】（23-24七年级·江苏扬州·期中）(−8)2024+(−8)2023能被下列哪个数整除？（）

A．3B．5C．7D．9

【答案】C

【分析】本题考查了数的整除、有理数的乘方的运算，先计算出(−8)2024+(−8)2023=7×82023，即可得

出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．

【详解】解：(−8)2024+(−8)2023

=(−8)2023×(−8)+(−8)2023

=(−8)2023×(−8+1)

=7×82023，

∴能被7整除，

故选：C．

【变式4-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）试说明257+513能被30整除．

【答案】理由见解析．

【分析】先利用有理数的乘方的逆运算将257进行变形，再提取公因子513，由此即可得出答案．

【详解】257+513=(52)7+513

=514+513

第9页共25页.

=513×(5+1)

=6×513

则(257+513)÷30=(6×513)÷30=512

因为512是整数

所以257+513能被30整除．

【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆运算、乘法的分配律，掌握有理数的乘方的逆运算是解题关键．

【变式4-2】（23-24七年级·湖南怀化·期末）20232−2023一定能被（）整除

A．2020B．2022C．2024D．2025

【答案】B

【分析】根据乘法分配律的逆运算得到2022×2023，即可得出结论．

【详解】解：20232−2023

=2023×2023−2023

=(2023−1)×2023

=2022×2023，

∴20232−2023一定能被2022整除，

故选：B．

【点睛】本题主要考查的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的逆运算．

【变式4-3】（23-24七年级·四川成都·期中）当自然数푛的个位数分别为0，1，2，…，9时，푛2,푛3,푛4的个位

数如表所示：

푛个位数0123456789

푛2个位

0149656941

数

푛3个位

0187456329

数

푛4个位

0161656161

数

······

第10页共25页.

在10，11，12，13这四个数中，当푛=时，和数2001푛+2002푛+2003푛+2004푛能被5整除．

【答案】10、11、13

【分析】根据表格中的规律，分别求出2001、2002、2003、2004这几个数的个位在n=10、11、12、13时

的值，通过判断这4个数字的个位数字和是否是0或5来判断是否能被5整除

【详解】根据表格中的规律，可得下表：

n个位数10111213

2001푛个位数1111

2002푛个位数4862

2003푛个位数9713

2004푛个位数6464

个位数的和的个位数0040

由表格知道，当n=10、11、13时，2001푛+2002푛+2003푛+2004푛的个位数字都是0，能够被5整除

故答案为：10、11、13

【点睛】本题考查了归纳总结的能力，解题关键是利用乘方的规律来确定个位数字，求出结果的个位数字

之和判断是否能够被5整除.

【题型5乘方中的进制问题】

【例5】（23-24七年级·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，

对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留

空，例如：，左边的表示2×602；中间的表示3×60；右边的则表示1个单位，用十进制写出

来是7381，若楔形文记数，表示十进制的数为．

【答案】3723

【分析】根据题意，可以用十进制表示出楔形文记数．

【详解】解：楔形文记数表示十进制的数为：1×602+2×60+3＝3600+120+3=3723，

第11页共25页.

故答案为：3723．

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法以及六十进制

的位值记法．

【变式5-1】（23-24七年级·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上

打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由

图可知，他一共捕到的鱼的数量为（）

A．34B．194C．1234D．6154

【答案】B

【分析】本题主要考查了用数字表示事件，理解题意是解题的关键．根据题意列式即可．

【详解】解：1×53+2×52+3×5+4=194．

故选B．

210

【变式5-2】（23-24七年级·全国·竞赛）二进制数(101)2可用十进制表示为1×2+0×2+1×2=5，同

210

样地，三进制数(102)3可用十进制表示为1×3+0×3+2×3=11．现有二进制数푎=(11101)2、三进

制数푏=(1010)3，那么푎、푏的大小关系是（）．

A．푎<푏B．푏<푎C．푎=푏D．不能确定

【答案】A

【分析】本题考查进位制，本题解题的关键是找出题目给出的运算顺序，按照有理数混合运算的顺序进行

计算即可，本题是一个基础题．括号里的数字从左开始，按照题目给的计算法则计算，以此类推，进行计

算即可．

43210

【详解】푎=(11101)2用十进制表示为1×2+1×2+1×2+0×2+1×2=29，

3210

푏=(1010)3用十进制表示为1×3+0×3+1×3+0×3=30，

∵29<30

∴푎<푏，

故选：A．

【变式5-3】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）我们常用的十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101

+9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右

第12页共25页.

到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513=2×73+5×72+1×71+3），用来记录孩子自出生后

的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A．1326天B．510天C．336天D．84天

【答案】B

【分析】类比于十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数

×7+个位上的数．

【详解】解：绳子上表示的七进制数为：1326=1×73+3×72+2×71+6=343+147+14+6=510，

故选：B．

【点睛】考查了有理数的混合运算，本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，

运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另

一方面也考查了学生的思维能力．

【题型6乘方中的末尾数字问题】

【例6】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）观察下列算式：

31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561⋯

根据上述算式中的规律，你认为32012的末位数字是．

【答案】1

【分析】从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2012除以4，余数是几就和第几个

数字相同，由此解决问题即可．

【详解】解：已知31=3，末位数字为3，

32=9，末位数字为9，

33=27，末位数字为7，

34=81，末位数字为1，

35=243，末位数字为3，

36=729，末位数字为9，

37=2187，末位数字为7，

第13页共25页.

38=6561，末位数字为1，

…，

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，

又2012÷4=503，

所以32012的末位数字与34的末位数字相同是1．

故答案为：1．

【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为

一循环是解决问题的关键．

【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）푎为任意整数，则下列四组数字都不可能是푎2的末位数字的应

是（）

A．3，4，9，0B．2，3，7，8C．4，5，6，7D．1，5，6，9

【答案】B

【分析】分别计算0至9这10个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果．

此题考查了整数的乘方，由于a为任意实数，分析出计算0至9这10个数字的平方，是解题的关键．

【详解】02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81，

∴1个数的平方的末位数字可以是0，1，4，5，6，9，

∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8，

∴a为任意整数，푎2的末位数字不可能是2，3，7，8．

故选：B．

【变式6-2】（23-24七年级·福建漳州·期中）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

26=64，27=128，28=256，…，根据上述算式中的规律，你认为22023的末位数字是（）

A．2B．4C．8D．6

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，发现2푛的末位数字按照2，4，8，6循环，用2023÷4

即可得出答案，根据题意找出规律是解题的关键．

【详解】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，

∴2023÷4=505⋯3，

∴22023的末位数字是8，

故选：C．

第14页共25页.

【变式6-3】（23-24七年级·重庆渝中·阶段练习）若푎=25，푏=−3，试确定푎2011+푏2012的末位数字

是．

【答案】6

【分析】根据题意得出252011的末位数字和(−3)2012的末位数字，再求出其和即可．

【详解】解：∵25的任何次幂的末位数字都是5，−3的偶次幂是正数，且当次数为4的倍数时，其末位数字

为1，

∴푎2011=252011的末位数字一定是5，

又∵2012÷4=503，

∴푏2012=(−3)2012的末位数字一定是1，

∴푎2011+푏2012的末位数字一定是5+1=6，

故答案为：6．

【点睛】本题考查的是有理数的乘方，根据题意找出尾数的规律是解答此题的关键．

【题型7乘方中的规律探究】

1

【例7】（七年级山东潍坊期中）如图，把面积为的正方形进行分割，观察其规律，可得算式+

23-24··12

23478

11111

+++…++再加上（）后，结果就是．

222221

1111

A．B．C．D．

25262728

【答案】D

【分析】本题考查有理数的混合运算、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，利用数形

结合的思想解答．

234푛푛

111111

根据图形可知+++…++=1

222222

【详解】解：由图可知，

第15页共25页.

234788

1111111

+++…++在加上后，结果就是

22222221

故选：D

【变式7-1】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为．

【答案】-128

【分析】第一个数﹣2＝（﹣2）1，第二个数4＝（﹣2）2，第三个数﹣8＝（﹣2）3，•••，

∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．

【详解】解：∵观察数列中的各数可以发现：

第一个数为﹣2＝（﹣2）1，

第二个数为4＝（﹣2）2，

第三个数﹣8＝（﹣2）3，

•••，

∴第7个数为：（﹣2）7＝﹣128．

故答案为：﹣128．

【点睛】本题考查了数列，解决问题的关键是探究数列的排列规律，运用排列规律解答．

【变式7-2】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）任意大于1的正整数푚的三次幂均可“分裂”成푚个连续奇数

的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若푚3分裂后，其中有一个

奇数是117，则푚的值是

【答案】11

【分析】观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇

数的个数等于底数，然后找出117所在的奇数的范围，即可得解．

【详解】解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，

……

∴푚3分裂后的第一个数是푚(푚−1)+1，共有푚个奇数，

∵11×(11−1)+1=111，12×(12−1)+1=133，

∴奇数117是底数为11的数的立方分裂后的一个奇数，

∴푚=11．

故答案为：11．

【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的乘方.解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，

求出相应的数字的值．

第16页共25页.

【变式7-3】（23-24七年级·浙江温州·期中）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

26=64，27=128,28=256……通过观察，用所发现的规律确定218的个位数字是．

【答案】4

【分析】此题主要考查数字的规律探索，根据已知幂的结果找出个位数的周期性规律，进而分析判断即

可．根据已知确定数字的周期规律是解题的关键．

【详解】观察可得规律：2푛的个位数字每4次一循环，

∵18÷4=4余2，22=4，

∴218的个位数字是4．

故答案为：4．

【题型8算“24”点】

3

【例8】（23-24七年级·浙江杭州·期末）（1）在玩“24点”游戏时，“3、3、7、7”列式并计算为：7×

3+7

=7×3+3=24是依据运算律_____；

（2）小明抽到以下4张牌：

请你帮他写出运算结果为24的一个算式：______．

（3）如果♥、♦表示正，♠、♣表示负，请你用（2）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的一个算式：

______．

44

【答案】（1）乘法分配律；（2）7×=24；（3）×=24

4−7(−7)−4−−7

【分析】（1）观察可知符合乘法分配律；

（2）用“4、4、7、7”列式计算得到24即可；

（3）根据要求，利用（2）中算式调整一下正负情况，保证是正数即可．

【详解】（1）观察可知符合乘法分配律；

（2）用“4、4、7、7”列式计算得到24，

4

则7×4=7×4−7×=24；

4−77

（3）根据要求，利用（2）中算式调整一下正负情况，

第17页共25页.

44

则×=×+×=24.

(−7)−4−−7(−7)(−4)(−7)7

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【变式8-1】（23-24七年级·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的

四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现

有四个有理数1,2,2,3，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式，使其结果等于24．

【答案】(1+2)×23（答案不唯一）

【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，利用混合运算的特点构建24=(1+2)×23是解本题的

关键．

【详解】解：∵24=3×8，

∴这个算式为：(1+2)×23，

故答案为：(1+2)×23

【变式8-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成

下列各题：

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是．

(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是．

(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：

每个数字只能用一次，如：23×[1−（−2）]），请另写出两种符合要求的运算式子．

【答案】(1)6；

(2)−2；

(3)−（−2）3×（1+2）；[3−（−2）]2−1．

【分析】(1)根据题意列出算式，找出积最大值即可；

(2)根据题意列出算式，找出商最小值即可；

(3)利用“24点”游戏规则列出算式即可．

【详解】（1）根据题意得：3×2=6，

故最大值为6；

（2）−2÷1=−2，

第18页共25页.

故最小值为−2；

（3）根据题意得：−（−2）3×（1+2）；[3−（−2）]2−1，

故答案为：（1）6；（2）−2；（3）−（−2）3×（1+2）；[3−（−2）]2−1．

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【变式8-3】（23-24七年级·山东淄博·期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去

掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得

运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式．

【答案】(5−3+2)×6，(6÷2+5)×3

【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关

键．根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答．

【详解】解：由题意得：

(5−3+2)×6=24，

(6÷2+5)×3=24，

故答案为(5−3+2)×6，(6÷2+5)×3．

【题型9乘方的实际应用】

【例9】（23-24七年级·吉林长春·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂

完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就

能分裂一次．1个这种细菌经过3个小时可以分裂成个细菌．

【答案】512

第19页共25页.

【分析】先根据题意求出分裂的次数，再根据有理数的乘方进行计算即可．

【详解】解：3小时=180分钟，180÷20=9（次）．

即1个这种细菌经过3个小时可以分裂成的细为：29=512（个）．

故答案为：512．

【点睛】本题考查有理数的乘方，掌握有理数的乘方法则是解题的关键．

【变式9-1】（23-24七年级·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏

紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．

(1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？

(2)若刚开始时的面条的横截面积为8cm2，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每

一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）

【答案】(1)128

12

(2)32cm

【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键．

（1）根据题意列式计算即可得出答案；

（2）根据题意列式计算即可得出答案．

【详解】（1）解：由题意得：27=128（根）

∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根．

（2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是28．

∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀，

1

次后，平均每一根面条横截面积=8÷8=3÷8=2．

∴822232(cm)

【变式9-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可

以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．

(1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？

第20页共25页.

(2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．

【答案】(1)层数=2푛

(2)6.4毫米

【分析】本题考查了有理数的乘方，通过例举寻找规律是解题的关键．

（1）由于把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4-2层；当对折3次时，可以得到8-23

层，由此即可得到层数5和折纸的次数之间的关系；

（2）利用（1）的结论代入其中计算即可求解．

【详解】（1）解：∵对折1次，层数=21，

对折2次，层数=22，

对折3次，层数=23，

∴对折n次，层数=2푛；

（2）解：0.05×27

=0.05×128

=6.4（毫米），

答：对折7次时纸的总厚度的总厚度为6.4毫米．

【变式9-3】（23-24七年级·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体

积比第一个正方体纸盒的体积大127cm3．

(1)求第二个正方体纸盒的棱长；

(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？

【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为7cm

(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多78cm2

【分析】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式．

（1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可；

（2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可．

【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：63=216(cm3)，

第二个正方体纸盒的体积为：216+127=343(cm3)，

∵73=343，

第21页共25页.

∴第二个正方体纸盒的棱长为7cm；

（2）解：6×72−6×62=78(cm2)，

答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多78cm2．

【题型10乘方中的新定义问题】

【例10】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）若任意数푎、푏有这样运算规律：1⊗2=22−1×2，

3⊗4=42−3×4．

(1)则−2⊗3=__________；−3⊗(−5)=_________；

(2)根据上述题，试用字母푎、푏表示其规律；

(3)若[푥]表示不大于푥的最大整数，如：[−2.2]=−3，[5.8]=5，则求：[−휋]⊗[4.1]．

【答案】(1)15；10

(2)푎⊗푏=푏2−푎×푏

(3)32

【分析】（1）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可．

（2）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则即可求得答案．

（3）本题主要考查有理数的混合运算，结合新的运算规律，根据有理数的混合运算法则计算即可．

【详解】（1）根据定义的运算规律可知

−2⊗3=32−(−2)×3=9−(−6)=15，

−3⊗(−5)=(−5)2−(−3)×(−5)=25−15=10．

故答案为：15；10

（2）根据定义的运算规律可知

푎⊗푏=푏2−푎×푏．

（3）根据题意可知

[−휋]=−4，[4.1]=4．

则

[−휋]⊗[4.1]=−4⊗4=42−(−4)×4=16−(−16)=32．

【变式10-1】（23-24七年级·江苏常州·期中）我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运

算对应关系的一组实例：

第22页共25页.

乘方运算21=222=423=8…31=332=932=27…

新运算log22=1log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3…

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③1og464=3．其中正确的

是．

【答案】①③/③①

【分析】本题考查了有理数的混合运算、新定义，根据题中的新定义法则判断即可，解题的关键是理解题

中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则．

【详解】解：∵24=16，

∴log216=4，故①计算正确，符合题意；

∵52=25，

∴log525=2，故②计算错误，不符合题意；

∵43=64，

∴1og464=3，故③计算正确，符合题意；

综上所述，正确的有①③，

故答案为：①③．