第09讲 一起串起有理数（人教版）（解析版）

第09讲一起串起有理数

【人教版】

·模块一有理数与数轴

·模块二相反数与数轴

·模块三绝对值与数轴

·模块四利用数轴探究问题

·模块五课后作业

模块一有理数与数轴

【例1.1】（2023七年级·辽宁大连·阶段练习）下列说法中，正确的是()

A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数

B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数

C．有的有理数不能表示在数轴上，如－0.00005

D．任何一个有理数都可在数轴上找到和它对应的唯一的一个点

【答案】D

【详解】选项A,数轴上一个点只能表示一个有理数.A错.

选项B，任何一个有理数都可在数轴上找到和它对应的唯一的一个点.B错.

选项C，任何一个有理数都可在数轴上找到和它对应的唯一的一个点，C错.

选项D,正确，所以选D.

【例1.2】（2023七年级·山西太原·阶段练习）在方框中画出数轴，并在数轴上表示下列各数：2.5，4，−3，

1

−1，，回答问题：

20

(1)这5个数中表示最大数与最小数的两点之间相距________个单位；

(2)将上面各数用“<”连接．

【答案】(1)数轴见详解，7

1

−3<−1<0<2.5<4

(2)2

第1页共29页.

【分析】（1）画出数轴，利用数轴确定表示各数的点的位置，结合数轴即可获得答案；

（2）根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大用“<”将各数连接即可．

【详解】（1）解：画出数轴如下：

结合数轴，可知这5个数中表示最大数与最小数的两点之间相距7个单位．

故答案为：7；

（2）将各数用“<”连接如下：

1

−3<−1<0<2.5<4．

2

【点睛】本题主要考查了数轴的知识，解题关键是正确确定表示各数的点的位置．

【例】（七年级浙江嘉兴期中）如图，圆的半径为2个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为

1.32023··π1

个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示-1的点重合．

(1)圆的周长为多少？

(2)若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？

(3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示-2的点与点B重合，数轴上表示-3的点与点C重

合…），那么数轴上表示-2018的点与圆周上哪个点重合？

【答案】(1)4个单位长度；(2)7；(3)表示-2018的点是第505个循环组的第2个数D重合．

【分析】圆的周长公式计算即可.

根据（1）得圆的一圈周长，滚动2周后点A重合的点也可求出.

由图可知，每4个数为一个循环组依次循环,根据此规律即可求解.

【详解】圆的周长2个单位长度；

(1)=2π•π=4

(2)若该圆在数轴上向右滚动2周后，点A需要滚动8个单位长度，此时与点A重合的点表示的数为：

8-1=7；

(3)由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，

第2页共29页.

∵2018÷4=504…2，

∴表示-2018的点是第505个循环组的第2个数D重合．

【点睛】本题主要考查了圆和数轴综合题，关键在于数形结合思想.

【变式1.1】（2023七年级·全国·假期作业）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减

法运算得到，如图，线段퐵퐶=2=3−1；线段퐴퐵=3=1−(−2)．

问题：

(1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段푀푁=___________；

(2)数轴上点E、F代表的数分别为3和−1，则线段퐸퐹=___________；

(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数．

【答案】(1)7

(2)4

(3)另一个点表示的数为17或7

【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键．

（1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；

（2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；

（3）分两种情况讨论，当另一个点在表示12的点的右侧或当另一个点在表示12的点的左侧，再根据数轴

上两点间的距离求解即可．

【详解】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段푀푁=10−3=7，

故答案为：7；

（2）解：数轴上点E、F代表的数分别为3和−1，则线段퐸퐹=3−(−1)=3+1=4，

故答案为：4；

（3）解：由题可得：①当另一个点在表示12的点的右侧时，12+5=17；

②当另一个点在表示12的点的左侧时，12−5=7，

综上，另一个点表示的数为17或7．

【变式1.2】（2023七年级·辽宁大连·阶段练习）数轴上有一点Q，若一只蚂蚁从点Q出发，爬了3个单位

长度到了原点，则点Q所表示的数是（）

第3页共29页.

A．3B．−3C．±3D．±6

【答案】C

【分析】根据数轴的特点，分点Q在原点左边与右边两种情况讨论求解．

【详解】解：若点Q在原点左边，则点Q表示−3，

若点Q在原点右边，则点Q表示3，

所以点Q表示±3．

故选：C．

【点睛】本题考查了数轴，难点在于要分点Q在原点的左右两边两种情况．

【变式1.3】（2023七年级·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数．

1

−3，+1，2，−1.5

2

（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：．

1

【答案】（）见解析；−3<−1.5<+1<2；（）负有理数

122

【分析】本题考查了数轴上的点表示数的应用，根据数轴上的点表示的数，比较数的大小，掌握数轴上的

点表示数是解题的关键．

（1）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的

数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”号连接起来即可；

（2）根据数轴的特征，在数轴上，原点左边的点表示负有理数．

【详解】解：（1）数轴表示如下：

．

1

−3<−1.5<+1<2．

∴2

（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：负有理数．

故答案为：负有理数．

模块二相反数与数轴

【例2.1】（2023·甘肃陇南·三模）如图，数轴上点A的相反数是（）

第4页共29页.

A．−2B．−1C．1D．2

【答案】A

【分析】根据数轴可知点A表示的数是2，再根据相反数的定义，即可得到答案．

本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键．

【详解】由数轴可知，点A表示的数是2，2的相反数是−2，

故选：A．

【例2.2】（2023七年级·福建福州·期末）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b均为有理数，

且푎+푏=0，则它们在数轴上的位置不可能落在（）

A．线段퐴퐵上B．线段퐵퐶上C．线段퐵퐷上D．线段퐴퐷上

【答案】A

【分析】根据相反数的性质，数轴可知a，b位于原点两侧，据此即可求解．

【详解】解：∵a，b均为有理数，且푎+푏=0，

∴a，b位于原点两侧，

∴a，b在数轴上的位置不可能落在线段퐴퐵上．

故选：A．

【点睛】本题考查了相反数的性质，数轴，利用数形结合是解题的关键．

【例2.3】（2023七年级·陕西商洛·期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知

点A表示−4，点퐺表示8．

(1)点퐵表示的有理数是______，表示原点的是点______．

(2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？

(3)图中的数轴上另有点푀到A点，点퐺距离之和为13，求点푀表示的有理数．

【答案】(1)−2，C

(2)B和D，A和E，

(3)−4.5或8.5

第5页共29页.

【分析】本题考查了数轴，两点间的距离公式，解题的关键是采用数形结合的数学思想．

（1）根据퐴퐺=8−(−4)=12，12÷6=2，可知图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度，则后边的

点表示的数总是比前边相邻的点表示的数大2，据此即可判断；

（2）根据相反数的几何意义可知，原点两旁到原点距离相等的点互为相反数，即可解答；

（3）根据两点间的距离公式푀퐴+푀퐵=13，设M表示的数是x，分类讨论即可求解．

【详解】（1）解：∵퐴퐺=8−(−4)=12，12÷6=2，

∴图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度，

则B表示：−4+2=−2，C表示−2+2=0，是原点．

故答案为：−2，C；

（2）解：由（1）可知C为原点，且相邻两点之间的距离都相等，

∴B和D，A和E，分别互为相反数；

故答案为：B和D，A和E，

（3）解：∵퐴퐺=8−(−4)=12，

∴M不在线段퐴퐵上，设M表示的数是x，

当M在A的左边时：−4−푥+(8−푥)=13，解得푥=−4.5；

当M在G的右侧时：(푥+4)+(푥−8)=13，解得푥=8.5，

则M点表示：−4.5或8.5．

故答案为：−4.5或8.5．

【变式2.1】（2023七年级·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，

b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与−푏的点相距

个单位长度，若表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的1，则的值为（）

30ab3c

A．−2B．−10C．−6D．−5

【答案】D

【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据题

意得出푎与푐互为相反数，푏与−푏互为相反数，再根据表示数푏与−푏的点相距30个单位长度即可求出表示数푏

1

的点到原点的距离为，再根据表示数푎的点与原点的距离是表示数푏的点与原点距离的求出푎的值，从而

153

第6页共29页.

求出푐的值．

【详解】解：∵表示数푎的点与表示数푐的点到原点的距离相等，

∴푎与푐互为相反数，即原点在푎、푐之间，如图，

∵푏与−푏互为相反数，且表示数푏与−푏的点相距30个单位长度，

∴表示数푏的点到原点的距离为15，

1

∵表示数푎的点与原点的距离是表示数푏的点与原点距离的，

3

1

∴푎=×15=5，

3

∴푐=−5，

故选：D．

【变式2.2】（2023七年级·河南郑州·阶段练习）如图，四个有理数푚，푛，푝，푞在数轴上对应的点分别为

푀，푁，푃，푄，若푛+푞=0，则푚，푛，푝，푞四个数中负数有（）个

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【详解】本题主要考查了数轴和正负数，先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定

数的正负，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键．

【解答】解：∵푛+푞=0，

∴푛与푞互为相反数，

∴原点为푂，如图：

则在原点左侧的数有三个，

即푚，푛，푝，푞四个数中负数有3个．

故选：C．

【变式2.3】（2023七年级·江苏无锡·阶段练习）若表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为

16个单位长度，点A沿数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C，设点A的运动速度为每秒2个单

位长度，则点C在数轴上表示的数为．

第7页共29页.

【答案】2或−14

【分析】本题考查了数轴，正确理解题意是解题的关键．根据题意得到点퐴表示的数为±8，于是求出点퐴

运动的距离为2×(5−2)=6，即可得到答案．

【详解】解：∵表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为16个单位长度，

∴点퐴表示的数为±8，

∵点퐴运动的距离为2×(5−2)=6，

∴点C在数轴上表示的数为8−6=2或−8−6=−14，

故点C在数轴上表示的数为2或−14．

故答案为：2或−14．

模块三绝对值与数轴

【例3.1】（2023七年级·江西南昌·期中）有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，且|a|<|b|，

则该数轴的原点位置不可能().

A．在a的左边B．在a、c之间.

C．在c、b之间D．在b的右边

【答案】D

【分析】根据绝对值的意义结合数轴判断即可.

【详解】解：∵|a|<|b|，

∴a到原点的距离小于b到原点的距离，

∴该数轴的原点位置不可能在b的右边，

故选D.

【点睛】本题考查了数轴和绝对值，正确理解绝对值的意义是解题关键.

【例3.2】（2023七年级·江苏徐州·阶段练习）我们知道在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N

2

之间的距离为|푚−푛|．已知，，，在上分表示，，，，|푎−푐|=|푏−푐|=|푑−푎|=1，则线段퐵퐷

ABCDabcd3

的长度为．

【答案】3.5或0.5

【分析】本题考查了数轴，正确画出数轴是解题的关键．

第8页共29页.

根据两点之间的距离，画出数轴即可解答．

【详解】解：∵|푎−푐|=|푏−푐|=1，

∴点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离为1，

2

|푑−푎|=1，

∵3

∴|푑−푎|=1.5，

∴点D与点A之间的距离为1.5，

如图（1）

线段퐵퐷的长度为3.5；

如图（2）

线段퐵퐷的长度为0.5，

故答案为3.5或0.5．

【例3.3】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数轴上，点A、B表示的数分别是−7和5，点P表示

的数为x，点P到B的距离是点P到A距离的3倍，则点P到表示−1的点的距离为．

【答案】3或12

【分析】由题意知，|푥−5|=3|푥−(−7)|，即푥−5=±3(푥+7)，解得，푥=−4或푥=−13，则点P到表示−1

的点的距离分当푥=−4，当푥=−13，两种情况求解即可．

【详解】解：由题意知，|푥−5|=3|푥−(−7)|，

∴푥−5=±3(푥+7)，

解得，푥=−4或푥=−13，

∴点P到表示−1的点的距离为：

①当푥=−4时，|−4−(−1)|=3；

②当푥=−13时，|−13−(−1)|=12；

综上所述，点P到表示−1的点的距离为3或12；

故答案为：3或12．

【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解绝对值方程．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运

用．

第9页共29页.

【变式3.1】（2023七年级·江苏南京·阶段练习）如图，将实数푎、푏表示在数轴上，则下列等式成立的是

（）

A．|푎|=푎B．|푏|=−푏C．|푏−푎|=푏−푎D．|푎+푏|=푎+푏

【答案】C

【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键．

푎＜0，푏＞0，|푎|>|푏|,则푏−푎>0，푎+푏＜0，；结合选项即可求解.

【详解】解：从图可知푎＜0，푏＞0，|푎|>|푏|

∴푏−푎>0，푎+푏＜0，|푎|=−푎，|푏|=푏,故A、B错误；

∴|푏−푎|=푏−푎,|푎+푏|=−푎−푏，故C正确，D错误，

故选C．

【变式3.2】（2023七年级·河北保定·期末）如图，数轴上点퐴、点퐵、点퐶分别对应数푎,푏,푐，则在

푎+푐−1,푏+푐,푏−푎,|푏|−푐,|푎|−|푐−1|中，正数共有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】本题考查利用数轴确定代数式符号，涉及数轴定义与性质、去绝对值等知识，根据数轴上点的位

置确定푎,푏,푐大小及符号，从而逐个判断出代数式符号，熟练掌握数轴性质得到푎,푏,푐大小及符号是解决问题的

关键．

【详解】解：如图所示：

∴푎<−1<푏<0<1<푐，|푎|>|푏|，|푏|<|푐|，

∴0<푐−1<1，则푎+푐−1=푎+(푐−1)<0；푏+푐>0；푏−푎>0；|푏|−푐<0；|푎|−|푐−1|>0；

综上所述，有3个代数式是正数，

故选：C．

【变式3.3】（2023七年级·江苏苏州·阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为−10，

푂퐵=2푂퐴，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向

左运动（点M、N点同时出发），经过秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．

第10页共29页.

【答案】或15

52

【分析】

本题主要考查了数轴掌两点间的距离，绝对值方程，用数轴上点表示有理数，先根据点A表示的数为−10，

点B表示的数为20，设经过x秒，点M、N点到原点O的距离相等，则点M表示的数为푥−10，点N表示

的数为20−3푥，|푥−10|=|20−3푥|，求出x的值即可．

【详解】解：∵点A表示的数为−10，푂퐵=2푂퐴，

∴푂퐵=2푂퐴=20，

∴点B表示的数为20，

设经过x秒，点M、N点到原点O的距离相等，则点M表示的数为푥−10，点N表示的数为20−3푥，

根据题意得：|푥−10|=|20−3푥|，

∴푥−10=20−3푥或푥−10=−(20−3푥)，

15

解得：푥=或푥=5，

2

15

即经过秒或秒后，点M，点N到原点O的距离相等；

52

故答案为：或15．

52

模块四利用数轴探究问题

【例4.1】（2023七年级·江苏扬州·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，

若在这个数轴上随意画出一条长为2023cm的线段，则该线段盖住的整点的个数是．

【答案】2023或2024

【分析】分类讨论线段的左端点与一整点重合、线段的左端点不与整点重合的情况即可求解．

【详解】解：若这条长为2023cm的线段的左端点与一整点重合，则右端点必然也与一整点重合

此时，两端点之间还有2022个整点，

故该线段盖住的整点的个数是2022+2=2024；

若这条长为2023cm的线段的左端点不与整点重合，则右端点必然也不与整点重合

此时，两端点之间有2023个整点，

故该线段盖住的整点的个数是2023；

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故答案为：2023或2024

【点睛】本题考查数轴的相关知识点．分类讨论是解题关键．

【例4.2】（2023七年级·山西晋中·期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴帮

助我们把数和点对应起来，体现了数形结合思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，请同学们和“创

新小组”的同学一起利用数轴进行以下探究活动：

(1)如图1，在数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______，A，B两点的距离是______；

(2)在数轴上，若将点B移动到距离点A两个单位长度的点C处，则移动方式为______；

(3)如图2，小明将刻度尺放在了图1的数轴下面，使刻度尺上的刻度0对齐数轴上的点A，发现此时点B对

应刻度尺上的刻度4.8cm，点E对应刻度1.2cm，则数轴上点E表示的数是______．

【答案】(1)−3；5；8

(2)将点B向左移动6个单位长度或向左移动10个单位长度

(3)−1

【分析】本题考查了用数轴表示有理数、数轴上两点间的距离及数轴上动点问题：

（1）根据在数轴上表示有理数的方法即两点间的距离公式可得解；

（2）根据数轴上两点间的距离即可求解；

（3）根据A，B两点的距离可得数轴与刻度尺之间的比例尺，再根据比例尺即可求解；

解题的关键是掌握数轴上表示有理数的方法及两点间的距离公式．

【详解】（1）解：由数轴得：

点A表示的数是−3，点B表示的数是5，

则A，B两点的距离为：5−(−3)=8，

故答案为：−3；5；8．

（2）将点B向左移动6个单位长度或10个单位长度，

故答案为：将点B向左移动6个单位长度或向左移动10个单位长度．

（3）由（1）得：퐴퐵=8，

4.8÷8=0.6（cm），

第12页共29页.

则数轴上1个单位长度对应刻度尺为0.6cm，

1.2÷0.6=2，

∴点E距离点A两个单位长度，

故点E所表示的有理数为：−3+2=−1，

故答案为：−1．

【例4.3】（2023七年级·河南平顶山·期末）综合与探究

数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：

(1)平移运动

一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，

第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是；当它跳完2024

次时，落在数轴上的点表示的数是．

(2)翻折变换

①若折叠数轴所在纸条，表示−1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示的点重合．

②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），

则D点表示，E点表示．

③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是−17、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，

若点M对应的点푀′落在点N的右边，并且线段푀′푁的长度为3，请直接写出点P表示的数．

【答案】(1)−3；1012

(2)①−3；②−1011；1013；③−3

【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键．

（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题．

（2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题．

【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，

它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：−1；

它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；

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它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：−2；

它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；

它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：−3；

它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；

…，

由此可见，它跳完第2푛次时，落在数轴上的点表示的数是n，

它跳完第(2푛−1)次时，落在数轴上的点表示的数是−푛；

当2푛−1=5，即푛=3时，

−푛=−3，

所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是−3；

当2푛=2024，即푛=1012时，

可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；

故答案为：−3，1012．

（2）①由表示−1的点与表示3的点重合可知，

−1+3

=1，

2

则折点所表示的数为1．

因为5−1=1−(−3)，

所以表示5的点与表示−3的点重合．

故答案为：−3．

②因为折痕与①的折痕相同，

所以这次折叠的折点所表示的数也为1．

又因为2024÷2=1012，1+1012=1013，1−1012=−1011，

所以点D表示的数为−1011，点E表示的数为1013．

故答案为：−1011，1013．

③由折叠可知，

푀푃=푀′푃，

因为点M、N表示的数分别是−17、8，

所以푀푁=8−(−17)=25．

又因为点푀′落在点N的右边，并且线段푀′푁的长度为3，

第14页共29页.

所以푀푀′=25+3=28．

因为28÷2=14，−17+14=−3，

所以点P表示的数为−3．

故答案为：−3．

【变式4.1】（2023七年级·河北沧州·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．

折叠纸面，使−3表示的点与1表示的点重合，回答以下问题：

①2表示的点与数表示的点重合；

②若数轴上퐴、퐵两点之间距离为9（퐴在퐵的左侧），且퐴、퐵两点经折叠后重合，则퐴点表示的数为：퐴．

【答案】−4−5.5

【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，熟练掌握两点间的距离是解答本题

的关键．

①先求出折痕表示的数，进而可求出与2重合的数；

②由퐴、퐵两点经折叠后重合可知−1表示的点是线段퐴퐵的中点，据此其求解即可．

−3+1

【详解】折痕表示的数为=−1，

①2

与2重合的数是−1−[2−(−1)]=−4．

故答案为：−4；

②∵퐴、퐵两点经折叠后重合，

∴−1表示的点是线段퐴퐵的中点，

∵数轴上퐴、퐵两点之间距离为9（퐴在퐵的左侧），9÷2=4.5，

∴퐴点表示的数为：−1−4.5=−5.5．

故答案为：−5.5．

【变式4.2】（2023七年级·山西晋中·期中）综合与探究：

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三

个问题，请你与他们共同解决：

11

勤奋小组：在图所示的数轴上，把数−2，，，−，表示出来，并用将它们连接起来．

(1)3422.5“<”

第15页共29页.

(2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：

①表示−2的点与表示______的点重合；

②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为

_____．

(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），

小球甲从表示数−2的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处

出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向

运动，设运动的时间为푡秒．

①当푡=3时，求甲、乙两个小球之间的距离；

②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离．

11

【答案】在数轴上把数表示见解析，用＜将它们连接起来为−2<−<<2.5<4

(1)“”23

(2)①6；②−1.5

(3)①甲、乙两个小球之间的距离为3；②甲、乙两个小球之间的距离为|6−3푡|

【分析】（1）根据数轴的点的表示解答即可；

（2）①根据题意找出对称轴即可；②根据题意列出方程即可；

（3）①当푡=3时，小球甲在的位置表示的数为−1，小球乙在的位置表示的数为2，据此回答即可；②设

运动的时间为t，根据题意列出代数式即可．

【详解】（1）如图所示．

11

用＜将它们连接起来为−2<−<<2.5<4．

“”23

3+1

（）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为=2，

22

2+[2−(−2)]=2+4=6，

所以表示−2的点与表示6的点重合，

故答案为：6，

设点A表示的数为x，则点B表示的数为푥+7，

푥+푥+7

可得=2，

2

第16页共29页.

解得푥=−1.5：

故答案为：−1.5；

（3）①当푡=3时，小球甲在的位置表示的数为−1，小球乙在的位置表示的数为2，

所以甲、乙两个小球之间的距离为2−(−1)=2+1=3．

②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为4−(−2)=6．

当0≤푡≤2时，甲、乙两个小球之间的距离为6−푡−2푡=6−3푡；

当푡>2时，甲、乙两个小球之间的距离为푡+2푡−6=3푡−6．

所以甲、乙两个小球之间的距离为|6−3푡|．

【点睛】本题考查数轴表示数的意义，一元一次方程的应用，利用数轴比较有理数的大小，明确对折点所

表示的数以及数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键．

【变式4.3】（2023七年级·河南周口·阶段练习）李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同

学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答．

(1)知识回顾

如图1，数轴上有一个表示数a的点M，已知点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么a

的值是；

(2)探究迁移

如图2，有一根木尺푃푄放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，

当点P移动到点B时，点Q所对应的数为24；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为6（单位：

cm）．利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺푃푄的长；

(3)拓展应用

一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，

我已经是116岁了！”请你利用（2）的方法，请直接写出小明和爷爷的年龄．

【答案】(1)2

第17页共29页.

(2)A点表示的数为12，B点表示的数，18，푃푄=6

(3)小明12岁，爷爷64岁

【分析】本题考查了数轴上的动点，两点间的距离，理解题意，数形结合分析问题是解题关键．

（1）根据右加左减的规律求解即可；

（2）由题意可知，B点到24的距离、푃푄的距离、A点到6的距离相等，由线段图可求푃푄的长；

（3）仿照（2）画出图，可知爷爷和小明的年龄差为：(116+40)÷3=52岁进而可求出小明和爷爷的年龄．

【详解】（1）∵点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，

∴푎=5−3=2．

故答案为：2；

（2）由题意可知，B点到24的距离、푃푄的距离、A点到6的距离相等，

∴푃푄=(24−6)÷3=6，

∴A点表示的数为6+6=12，

B点表示的数为24−6=18；

（3）如图：

爷爷和小明的年龄差为：(116+40)÷3=52（岁），

∴爷爷的年龄为116−52=64（岁），

小明的年龄为64−52=12（岁），

∴小明12岁，爷爷64岁．

模块五课后作业

1．（2023七年级·湖南长沙·阶段练习）把有理数a，b在数轴上表示如图所示，那么则下列说法正确的是

（）

A．푏>0B．푎<0C．푎>푏D．푏>푎

【答案】C

【分析】根据数轴可以判断a、b的正负以及a、b的大小，从而可以解答本题．

【详解】解：由数轴可得，a＞0，b＜0，a＞b，故A，B，D答案错误

第18页共29页.

故选：C．

【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于

0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．同时考查了数轴的特

征，以及在数轴上表示数的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是：当数轴方向朝右时，右边的数总比左

边的数大．

2．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上，若퐴，퐵表示互为相反数的两个点，퐴在퐵的左边，并且

这两点的距离为6，则点퐴所表示的数是（）

A．−3B．3C．6D．−6

【答案】A

【分析】本题考查了数轴上的点及互为相反数、两点之间的距离的概念，由相反数的含义及两点之间距离

的表示方法，点퐴与点퐵到原点的距离相等即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

【详解】解：∵퐴，퐵表示互为相反数的两个点，两点的距离为6，

∴点퐴和点퐵到原点的距离为3，

∵퐴在퐵的左边，

∴点퐴表示的数为−3，

故选：A．

3．（2023·河北石家庄·二模）如图，数轴上被遮挡住的整数的绝对值是（）

A．1B．−3C．−1D．0

【答案】A

【分析】本题考查数轴以及绝对值的定义，根据数轴上点的特征可知遮住的点表示的数是−1，再根据绝对

值的定义求解即可．

【详解】解：根据数轴上点的特征可知遮住的点表示的数是−1，

−1的绝对值是1，

故选A．

4．（2023七年级·浙江·期中）如图，四个数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若

푛+푞=0，则下列说法正确的是（）

第19页共29页.

A．푝+푚>0B．푚푛<0C．푚−푝<0D．|푝|<푞

【答案】B

【分析】根据푛+푞=0可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，然后观察数轴得出

푝<푛<0<푚<푞，|푝|>|푚|，|푝|>|푞|，即可解答．

【详解】解：∵푛+푞=0，

∴n和q互为相反数，O在线段푁푄的中点处，

如图，

∴푝<푛<0<푚<푞，|푝|>|푚|，|푝|>|푞|，

∴푝+푚<0，푚푛<0，푚−푝>0，|푝|>푞，

故选：B．

【点睛】本题考查了实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．

5．（2023七年级·辽宁鞍山·期中）若有理数a，b在一条不完整的数轴上的位置如图所示，则下列各式：

11푎

−=2푎；−>0；3>3；<0；푏<−푎<0<푎<−푏．其中正确的有（）

①|푎+푏||푎−푏|②푎푏③푏푎④푏⑤

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【分析】本题考查根据数轴上点的位置，判断式子的符号．熟练掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解

题的关键．根据数轴，得出푏<0<푎，|푎|<|푏|，再逐一判断式子的符号即可．

【详解】解：由图可知푏<0<푎，|푎|<|푏|，

∴푎+푏<0,푎−푏>0，

∴|푎+푏|−|푎−푏|=−(푎+푏)−(푎−푏)=−2푎，故①不正确，不符合题意；

∵푏<0<푎，

11

∴>0,<0，

푎푏

11

∴−>0，故正确，符合题意；

푎푏②

∵푏<0<푎，

∴푏3<0,푎3>0，

第20页共29页.

∴푏3<푎3，故③不正确，不符合题意；

∵푏<0<푎，

푎

，故正确，符合题意；

∴푏<0④

∵푏<0<푎，|푎|<|푏|，

∴푏<−푎<0<푎<−푏，故⑤正确，符合题意；

综上：正确的有②④⑤，共3个，

故选：C．

6．（2023·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点퐴表示的数与点퐵表示的数互为相反数，则点퐶

表示的数是．

【答案】−4

【分析】本题主要考查数轴上数的表示及相反数，根据A、B所表示的数互为相反数可得原点的位置，然后

求解C即可．

【详解】由数轴的单位长度为1，点퐴、퐵所表示的数互为相反数，可得数轴的原点在点A和点B的中点处，

如图所示，

点C表示的数为−4；

故答案为：−4．

7．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数轴上퐴、퐵两点对应数分别为−2，4，푃为数轴上一动点，

对应数为푥，若푃点到퐴、퐵距离和为12，则푥的值为.

【答案】−5或7；

【分析】本题考查数轴上两点间距离，分푃点在퐴点左侧与퐵点右侧两类讨论即可得到答案；

【详解】解：当푃点在퐴点左侧时，

∵若푃点到퐴、퐵距离和为12，

∴|−2−푥|+|4−푥|=12，

解得：푥=−5，

当푃点在퐵点右侧时，

∵若푃点到퐴、퐵距离和为12，

第21页共29页.

∴|푥−(−2)|+|푥−4|=12，

解得：푥=7，

故答案为：−5或7．

8．（2023七年级·福建厦门·阶段练习）数轴上的点퐴和点퐵所表示的数互为相反数，且点퐴对应的数是−2，

푃是到点퐴或点퐵距离为3的数轴上的点，则所有满足条件的点푃所表示的数的和为．

【答案】0

【分析】因为点퐴对应的数为−2，点퐴和点퐵所表示的数互为相反数，所以点퐵对应的数为2，分两种情况讨

论：当点푃到点퐴的距离为3时；当点푃到点퐵的距离为3时．

【详解】因为点퐴对应的数为−2，点퐴和点퐵所表示的数互为相反数，

所以点퐵对应的数为2．

当点푃到点퐴的距离为3时，

点푃对应的数为1或−5．

当点푃到点퐵的距离为3时，

点푃对应的数为−1或5．

所以，所有满足条件的点푃所表示的数的和为：1+(−5)+(−1)+5=0．

故答案为：0．

【点睛】本题主要考查数轴和相反数，牢记相反数的概念是解题的关键．

9．（2023七年级·内蒙古呼和浩特·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、|푎|、

−푏按从大到小的顺序排列，并用“>”号连接，结果为．

【答案】푏>|푎|>푎>−푏

【分析】本题主要考查了数轴上点表示数，解题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的有理数越向右越大．

【详解】解：∵根据有理数a、b在数轴上的位置可知，푎<0<푏，且|푎|<|푏|，

∴−푏<0，

∴푏>|푎|>푎>−푏．

故答案为：푏>|푎|>푎>−푏．

13

10．（2023七年级·全国·假期作业）已知实数a满足=，若a对应如图所示的数轴上A，B，C三点

|푎−2|2

中的一个点表示的数，则这个点是．

第22页共29页.

【答案】B

13

【分析】由=,可求出a值,对应数轴上的点即可得出结论.

|푎−2|2

13

【详解】解:∵=，

|푎−2|2

∴a=-1或a=2，

故答案为B.

【点睛】本题考查了实数与数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程,解方程求出a值是解题的关键.

11．（2023七年级·全国·课堂例题）在如图所示的数轴上用字母퐴,퐵,퐶,퐷,퐸分别表示出以下各数：

1

2.5,4,−3,−1，，并回答问题：在这个点中，表示最大数与最小数的两点之间相距多少个单位长度？

205

【答案】数轴见解析；表示最大数与最小数的两点之间相距7个单位长度

【分析】根据数轴上点的特点将这些数在数轴上表示出来，根据数轴上两点之间的距离求出最大数与最小

数的两点之间距离即可．

【详解】解：把各数在数轴上表示出来，如图所示：

这5个数中最大的数为4，最小的数为−3，

∴表示最大数与最小数的两点之间的距离为|4−(−3)|=7．

【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数和根据数轴比较有理数的大小，数轴上两点之间的距离，熟练

掌握各知识点是解题的关键．

12．（2023七年级·贵州遵义·期中）以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示互为相反数的点

A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8．

第23页共29页.

(1)点A表示的数为________，点B表示的数为________；

(2)在数轴上有一点P，它到퐴퐵中点的距离为8，则点P表示的数的倒数为________．

【答案】(1)−3；3

11

点表示的数的倒数为−或

(2)P313

【分析】本题考查数轴上两点间距离，相反数等知识；

（1）根据A，B两点在数轴上的位置判断即可；

（2）根据题意先求出퐴퐵的中点，然后根据两点间距离公式求出点P表示的数即可．

熟练掌握数轴上两点间距离公式，数形结合是解题的关键．

【详解】（1）解：∵퐴퐵=8−2=6，点A和点B互为相反数，

∴点A表示−3，点B表示3；

故答案为：−3；3．

（2）解：∵퐴퐵的中点为5，点P到퐴퐵中点的距离为8，

∴点P为-3或13，

11

点表示的数的倒数为−或．

∴P313

11

故答案为：−或．

313

13．（2023七年级·全国·假期作业）如图：

(1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；

(2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为|푂퐶|，有|푂퐶|=5，则|퐶퐷|=___________；

(3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则|푀푁|=___________(结果不含绝对值符号)．

【答案】(1)−3，2.5

(2)11

(3)푦−푥

第24页共29页.

【分析】本题主要考查了数轴的认识及两点间距离的计算，绝对值的意义；

（1）由图可知，数轴上퐴、퐵所表示的数，分别为：−3，2.5；

（2）由图知，|푂퐶|=点퐶的坐标−原点，|퐶퐷|=点퐶的坐标−点퐷的坐标；

（3）由（2）可得，|푀푁|=点푁的坐标−点푀的坐标；

【详解】（1）解：由图可知，(1)数轴上点퐴表示的数是−3；点퐵表示的数是2.5；

（2）由图可得，点퐶表示的点为5，所以，|푂퐶|=5−0=5，

又点퐷表示的点为−6，所以|퐶퐷|=5−(−6)=11；

（3）由图可得，数轴上푀、푁两点所表示的数分别为푥、푦，则|푀푁|=푦−푥．

14．（2023七年级·河北沧州·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成

①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知푏푐<0．

(1)请直接写出原点在第几部分；

(2)已知点A与点C之间的距离为5，点B与点C之间的距离是3．

①若푏=−1，求푎+푏+푐的值；

②若a，c互为相反数，求푎푏푐的值；

(3)设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在这三点中，当相邻两点的距离相等时，

直接写出d的值．

【答案】(1)第③部分

25

−2；

(2)8

(3)푑=6或1.5或−3

【分析】本题主要考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，有理数的加减法运用，熟练掌握分类讨论

是解题的关键．

（1）由푏푐<0可得푏、푐异号，从而得出圆点的位置；

（2）①由푏=−1分别求出푎,푐的值即可得到答案．

②a，c互为相反数，故푎=−푐，再由点A与点C之间的距离为5，点B与点C之间的距离是3求出值计算．

（3）分三种情况讨论，当点퐶是푂퐷的中点时，当点퐷是푂퐶的中点时，当点푂是퐶퐷的中点时，分别求解．

第25页共29页.

【详解】（1）解：∵푏푐<0，

∴푏、푐异号，

∴原点在퐵，퐶之间，即第③部分；

（2）解：①：∵点B与点C之间的距离是3，푏=−1，

∴푐=−1+3=2，

∵点A与点C之间的距离为5，

∴푎=2−5=−3，

∴푎+푏+푐=−3−1+2=−2；

②∵a，c互为相反数，故푎=−푐，

∵点A与点C之间的距离为5，

∴푎=−2.5,푐=2.5，

∵点B与点C之间的距离是3，

∴푐−푏=3，

1

∴푏=−，

2

51525

∴푎푏푐=−×−×=；

2228

（3）解：①当点퐶是푂퐷的中点时，푂퐶=퐶퐷=3，

∴푂퐷=6，得푑=6，

②当点퐷是푂퐶的中点时，푂퐷=퐶퐷=1.5，

∴푑=1.5，

③当点푂是퐶퐷的中点时，푂퐶=푂퐷=