第05讲 有理数的乘法（人教版）（原卷版）

第05讲有理数的乘法

【人教版】

·模块一有理数的乘法法则

·模块二多个有理数的乘法法则

·模块三有理数的乘法运算律

·模块四课后作业

模块一有理数的乘法法则

有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数与零相乘都得零；

（3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正.

【考点1有理数的乘法法则】

【例1.1】（2023·江苏徐州·七年级阶段练习）计算(−4)×−1的结果等于（）

2

11

A．−4B．−2C．D．2

22

【例1.2】（2023七年级·江苏徐州·期末）下列算式中，积为负数的是（）

A．0×(−5)B．4×(−5)C．(−1.5)×(−2)D．2×3

【例1.3】（2023七年级·江苏徐州·阶段练习）如图，数轴上两点对应的数a、b，则(푎+푏)(푎−푏)0

（用“>”“<”或“=”填空）

【变式1.1】（2023七年级·江苏徐州·期末）计算：

(1)(+3)×(−2)；

(2)0×(−4)；

(3)−1×(−1)；

6

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(4)(−15)×−1；

3

(5)−11×−4；

45

(6)−|−3|×(−2)．

5657

【变式1.2】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较大小，××（填“<”，“>”，或“=”）．

9796

【变式1.3】（2023七年级·吉林长春·期末）如图，沿正方形对角线对折，互相重合的两个小正方形里面的

数字的积为．

【考点2倒数】

31

【例】（七年级黑龙江绥化阶段练习）8×=×=2.5×=×=1

2.12023··76.

【例2.2】（2023·四川南充·中考真题）如果6푎=1，那么푎的值为（）

11

．．．．−

A6B6C-6D6

1

【例】（七年级宁夏银川期中）已知的倒数的相反数是5，则푎=；的绝对值的倒数

2.32023··a7b

1

是2，则푏=．

3

【变式2.1】（2023七年级·江苏徐州·期末）写出下列各数的倒数：

22

−4，−，0.125，1，−1.4．

33

【变式2.2】（2023七年级·山东德州·阶段练习）点퐴在数轴上的位置如图所示，则点퐴表示的数的倒数是

（）

11

．．．−3．−

A3B3CD3

【变式2.3】（2023七年级·重庆·期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·广东佛山·期末）数学运算其妙无穷，小明在学习有理数时发现，存在两个有理数

33

之和等于这两个有理数之积，如+3=×3，请你再找两个满足以上规律且不相等的有理数，这两个有理

22

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数可以是．（一组即可）

【题型2】（2023七年级·四川绵阳·期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一

个数，使得其中任意三个相邻格子中数的和都相等，则푥푦的值为．

2푥−2푦−1−22……．

1

【题型】（七年级浙江金华期中）已知是不等于−1的数，我们把称为的和倒数．如：的和

32023·a1+푎a2

11

倒数为=，已知푎=1,푎是푎的和倒数，푎是푎的和倒数，푎是푎的和倒数，，依此类推，则푎⋅푎

1+231213243…12

⋅푎3…푎12=．

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·陕西渭南·期中）在数轴上，点A表示的数在−2的右边，且到−2的距离为3，则

点A表示的数的倒数是（）

．．．．1

A1B-1C5D5

【题型2】（2023七年级·黑龙江牡丹江·期中）如果两个有理数的和等于零，那么这两个有理数的积是

（）

A．负数B．正数C．非负数D．非正数

【题型3】（2023七年级·重庆开州·期中）在有理数−2，2，3，−5中，任意取两个数相乘，最大的积为a，

最小的积为b，则푎−푏=

模块二多个有理数的乘法法则

【考点1多个有理数相乘】

【例1.1】（2023七年级·江苏徐州·期末）几个不是0的有理数相乘，它们的积的符号（）

A．由因数的个数决定B．由正因数的个数决定

C．由负因数的个数决定D．由负因数的大小决定

【例1.2】（2023七年级·河北沧州·期中）下列算式中，积为负数的是（）

A．(−2)×(−5)B．2×(−3.5)×(−6.5)

C．(−1.5)×(−2)×(−3)D．(−1)×−3×0

2

【例1.3】（2023七年级·甘肃定西·阶段练习）绝对值小于2023的所有整数的积是（）

A．2023B．−2023C．0D．±1

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【变式1.1】（2023七年级·江苏·专题练习）计算：

(1)3×(−1)×−1．

3

(2)−1.2×5×(−3)×(−4)．

4

(3)−5××−3×(−6)．

12152

5

(4)×(−1.2)×−1．

49

【变式1.2】（2023七年级·河北唐山·阶段练习）计算(−5)×(−25)×(−2)×4的结果是（）

A．−100B．100C．−1000D．1000

【变式1.3】（2023七年级·江苏连云港·期中）如图，数轴上有①②③④四个部分，已知푐>0，푎푏푐<0，

则原点所在的部分是（）

A．①B．②C．③D．④

【考点2有理数乘法的实际应用】

【例2.1】（2023七年级·山西大同·阶段练习）杜师傅攀登一座山峰，他每登高1km，气温的变化量为

−6℃，当杜师傅攀登6km后，那么气温将会（）

A．下降36℃B．上升36℃C．下降6℃D．上升6℃

【例2.2】（2023七年级·北京·期末）小昕爷爷去年在银行里存入50000元，存定期两年，年利率是2.70%，

到期时可以得到利息元．

【例2.3】（2023·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道

题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个

不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织

了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？

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A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺

【变式2.1】（2023七年级·广东肇庆·开学考试）小猴子真真开垦了一块近似于三角形的地种香蕉，如果每

平方米收3千克香蕉，这块儿地大约能收多少千克香蕉？

【变式2.2】（2023七年级·山东济南·阶段练习）一件商品的成本是200元，提高30%后标价，然后打九折

销售，则这件商品的利润为元．

【变式2.3】（2023七年级·天津武清·阶段练习）七年级生进行乒乓球比赛，在女子单打中，每一个选手都

和其他选手进行一场比赛，现有12名选手参加比赛，则一共要进行场比赛．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·浙江绍兴·阶段练习）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，

正数有（）

A．1个B．2个C．3个D．1个或3个

【题型2】（2023七年级·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为

40t，2021年增产10%，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产20%，

若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破60t的年份是（）

A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年

【题型3】（2023七年级·江苏淮安·期中）在数−5，1，−3，5，−2，2中任取三个数相乘，其中最大的积

是．

【拓广探究创新练】

3

【题型1】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵

4

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数是苹果树的4，梨树有（）棵．

5

A．144B．180C．60D．96

【题型2】（2023七年级·江苏徐州·期末）计算2023×1−1×1−1×1−1×⋅⋅⋅×1−1的结果

2342023

为．

【题型3】（2023七年级·山西大同·阶段练习）如果4个不等的整数푚,푛,푝,푞满足(5−푚)(5−푛)(5−푝)(5−푞)

=9，那么푚+푛+푝+푞等于．

模块三有理数的乘法运算律

有理数的乘法运算律:

（1）乘法的交换律：ab=ba；

（2）乘法的结合律：(ab)c=a(bc)；

（3）乘法的分配律：a(b+c)=abc+bc.

【考点1有理数的乘法运算律】

【例1.1】（2023七年级·江苏徐州·期末）填空：

（1）10×(−6)=×10；

（2）[6×(−2)]×(−5)=6×[×(−5)]；

（3）(−24)×1−1=(−24)×+(−24)×．

68

【例1.2】（2023七年级·福建泉州·期中）在算式：−3×8−11=−3×8+−3×−4中，运用了

43443

（）

A．乘法结合律B．乘法交换律C．分配律D．加法交换律

【例1.3】（2023七年级·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（）这一运算规律

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A．加法交换律B．乘法结合律C．乘法交换律D．乘法分配律

100

【变式】（七年级重庆万州阶段练习）计算：100×101=．

1.12023··101

【变式1.2】（2023七年级·江苏徐州·期末）在算式1.25×−3×（－8）＝1.25×（－8）×−3＝[1.25×（－

44

8）]×−3中，应用了（）

4

A．分配律

B．分配律和乘法结合律

C．乘法交换律和乘法结合律

D．乘法交换律和分配律

【变式1.3】（2023七年级·山东德州·阶段练习）下列变形不正确的是（）

A．3×(−2)=(−2)×3

1111

B．(−)×(−12)=(−12)×(−)

4242

1111

．(−+)×(−4)=(−4)×(−)+×4

C6363

D．(−25)×(−16)×(−4)=[(−25)×(−4)]×(−16)

【考点2有理数乘法运算律的应用】

43

【例2.1】（2023七年级·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算：999×118+333×−3−999×18

555

=．

【例2.2】（2023·浙江丽水·三模）如图，运算中的（）处，填写的理由是（）

55

(−12)×(−37)×=37×12×（乘法交换

66

律）

=37×12×5（）

6

=37×10=370．

A．乘法交换律B．乘法结合律C．分配律D．加括号

【例2.3】（2023·浙江金华·二模）对于有理数푎，푏，定义新运算“△”，规则如下：푎△푏=푎푏−푎−푏+4，

如3△5=3×5−3−5+4=11．

(1)求3△(−4)的值．

(2)请你判断交换律在“△”运算中是否成立？并给出证明．

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【变式2.1】（2023七年级·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．

17×25−6×25+7×(−2)−13×25

解：原式=17×25−6×25−13×25+7×(−2)①

=(17−6−13)×25+7×(−2)②

=(−2)×25+7×(−2)③

=−50−14④

=−36⑤

(1)上述计算过程，在第步出现错误，本题运算的正确结果是．

4

(2)结合上述解法给你的启发，计算：5×−3−(−9)×−2+(−5)×．

737

【变式2.2】（2023七年级·江苏南京·期末）计算2×1+1+1+1+4×1+1+1+(−6)×1+1的结

234534545

果是．

【变式2.3】（2023七年级·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复

习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算−1÷2−1.

636

1111

刘聪和他的小伙伴选择常规解法：−1÷2−1=−1÷4−1=−1÷=−×=−;张明开动脑

63666662623

筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数：=2−1÷−1

366

=2−1×(−6)=−4+1=−3

36

1

所以，原式=−.

3

(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？

(2)请选择你喜欢的解法计算：−7÷13−7−7.

84812

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·江苏徐州·期末）用运算律巧算：

3

（1）−10−−35−−83+−21（2）−24×7−5+3−2

565612643

（3）49×(−2.5)×−1×−1（4）−8×−22+12×−22+6×−22

72777

【题型2】（2023七年级·江苏徐州·期末）17.48×（-37）-174.8×1.9-8.74×8.8=．

【题型3】（2023七年级·吉林长春·阶段练习）若2022×98=푚，则2022×99的值可表示为（）

A．푚+1B．푚+98C．푚+2022D．푚−2022

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【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·上海杨浦·期中）2023×1−1+1011×1+1−1012×1−1

101110121012202310112023

【题型2】（2023七年级上海·假期作业）怎样简便就怎样算．

(1)9999×7778+3333×6666

(2)765×64×0.5×2.5×0.125

【题型3】（2023七年级·福建厦门·期中）已知a＝20192019×999，b＝20182018×1000，则a与b的大小关

系：ab．

模块四课后作业

1．（2023·天津河西·二模）计算−1×(−3)的结果等于（）

3

12

．．．−．−1

A6B1C3D

2．（2023七年级·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（）

A．(−1)×3×4×(−2)B．(−5)×(−3)×4×(−2)

C．2×(−6)×(−8)×(−4)D．2024×(−13)×(−14)×0

3．（2023七年级·甘肃平凉·期末）某服装店在十周年店庆之际，所有衣服一律8折酬宾，那么买一件标价

为150的衣服只需要付（）钱．

A．142元B．130元C．120元D．110元

333

．（七年级山东青岛阶段练习）87×=86×+，这是运用了（）运算律．

42023··868686

A．加法结合律B．乘法交换律C．乘法分配律

5．（2023七年级·湖北·周测）七个有理数的积为负数，其中负因数的个数一定不可能是（）

A．1B．3C．6D．7

6．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）3.14×0.28的积有位小数．

7．（2023七年级·江苏盐城·阶段练习）计算：(−6)×1−3=．

62

8．（2023七年级·河北沧州·期中）绝对值小于50的所有整数的乘积为．