第08讲 有理数的乘方（5个知识点+7个考点+易错分析）原卷版

第08讲有理数的乘方

（5个知识点+7个考点+易错分析）

模块一思维导图串知识1.理解有理数的乘方的意义,并能进行乘方运算

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.掌握有理数的混合运算顺序,并能熟练、正确地进行计算

模块三核心考点举一反三3.借助生活进一步感受较大的数,并能用科学记数法表示绝对值大

模块四小试牛刀过关测于10的数

4.了解近似数的意义,能按要求取近似数

知识点1.有理数乘方的意义（重点）

1、求n个相同因数a的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。a叫底数，n叫指数，an读作：a的n次幂(a

的n次方)。

2、乘方的意义：an表示n个a相乘。

n个a

n

aaaaa

3、写法的注意：

当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．

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2222

如：()2＝()×()，表示两个相乘．

3333

2222

而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数．

33

4、an与－an的区别．

(1)an表示n个a相乘，底数是a，指数是n，读作：a的n次方．

(2)－an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数．

如：(2)3底数是2，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．

(2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．

23底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．23＝－(2×2×2)＝－8．

注：(2)3与23的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。

【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．

(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；

222222

(2)×××××；

555555

【变式1-1】（1）根据有理数乘方的意义，算式55555可表示为．

4

（2）在3中指数是，底数是．

5

【变式1-2】（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）2表示（）

A．2乘5B．5个2相加C．5个2相乘D．2个5相加

【变式1-3】（2022秋•黄山期末）﹣25表示的意义是（）

A．5个﹣2相乘B．5个2相乘的相反数

C．2个﹣5相乘D．2个5相乘的相反数

知识点2.有理数乘方运算的符号规律（重点）

乘方运算的符号规律．

(1)正数的任何次幂都是正数．

(2)负数的奇次幂是负数．

(3)负数的偶次幂是正数．

(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．

所以，任何数的偶次幂都是正数或0。

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32

【例2】计算：(1)－(－3)3;(2)(－)2；(3)(－)3;(4)(－1)2015.

43

4

【变式2-1】计算：1，14．

33

æ2öæ2ö23

【变式2-2】计算：ç÷；ç÷；．

è3øè3ø3

【变式2-3】计算：

323

æ1ö2æ1ö2

(1)ç÷；(2)3；(3)ç1÷；(4)．

è2øè2ø3

知识点3.有理数的混合运算（难点）

1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号

外面的。

2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即

(ab)ab，(ab)ab

11

【例3】计算：(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)；

1010

21

(2)－1－{(－3)3－[3＋×(－1)]÷(－2)}．

32

【变式3-1】计算：973422．

12

【变式3-2】计算：141262

4

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【变式3-3】计算：

4

101

éæ1öù21æ1ö5

(1)1ê1ç10.5÷6ú；(2)8¸(2)|6|ç÷(2)．

ëè3øû2è2ø

知识点4.科学记数法（重点）

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，

这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此

规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是

前面多一个负号．

【例4】我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨，

将167000用科学记数法表示为()

A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．1.6710×106

【变式4-1】2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市

域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市

快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（）

A．0.22819×1010B．0.22819×1011

C．2.2819×1010D．2.2819×1011

【变式4-2】用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（）

A．4315B．431.5C．43.15D．4.315

【变式4-3】已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：

(1)2.01×104；(2)6.070×105；(3)－3×103.

知识点5.近似数（难点）

（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前

者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．

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【例5.1】下列数据中，不是近似数的是()

A．某次地震中，伤亡10万人B．吐鲁番盆地低于海平面155m

C．小明班上有45人D．小红测得数学书的长度为21.0cm

【例5.2】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）

A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到千分位）

C．0.05（精确到百分位）D．0.0502（精确到0.0001）

【例5.3】近似数1.70所表示的准确值a的范围是()

A．1.700＜a≤1.705B．1.60≤a＜1.80

C．1.64＜a≤1.705D．1.695≤a＜1.705

【变式5-1】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？

(1)25.7;(2)0.407；(3)4000万；(4)4.4千万．

【变式5-2】下列说法正确的是()

A．近似数4.60与4.6的精确度相同B．近似数5千万与近似数5000万的精确度相同

C．近似数4.31万精确到0.01D．1.45×104精确到百位

【变式5-3】用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数．

(1)0.6328(精确到0.01)；(2)7.9122(精确到个位)；

(3)47155(精确到百位)；(4)130.06(精确到0.1)；

(5)4602.15(精确到千位)．

易错点：含乘方运算时符号考虑不全产生漏解

11

【例6】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：(1)2023(2)36¸()时，步骤如下：

23

11

解：原式2023(6)6¸6¸⋯⋯（1）

23

202361218⋯⋯（2）

2023⋯⋯（3）

(1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）

(2)请给出正确的解题过程．

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考点1：有理数的混合运算

22æ11öæ1ö

1.计算：432ç÷¸ç1÷．

è32øè3ø

342

2.计算：2¸312．

5

42æ3ö

3.计算：1[43)ûù3¸ç÷2．

è4ø

2

4.计算：(1)2022(18)4¸(2)．

9

考点2：用科学记数法表示数

5．“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒9.31016次，它工作1h可进行多少次运算？（结果用科学记

数法表示）

6.在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问

我们行驶的路程为多少m？

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7.已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平

均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为

90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）

考点3：按要求取近似值

8.由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（）

A．精确到十分位B．精确到个位

C．精确到百位D．精确到千位

9．小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为（）

A．1.675≤a＜1.685B．1.675＜a≤1.685

C．1.675≤a≤1.685D．1.675＜a＜1.685

10.数3.303105精确到位．

11.下列问题中出现的数，哪些是精确值?哪些是近似值?

(1)某院校的某专业计划招生200人；

(2)小明的立定跳远成绩是2.31m；

(3)若尘的这次数学考试成绩是96分；

(4)据统计，公园门口每月的车流量大约是30000辆．

考点4:有理数乘方与其他知识的综合应用

2

æ1ö2023

12．（23-24七年级上·重庆江津·期中）若a2çb÷0，则ab．

è2ø

2

13．（22-23七年级上·广东湛江·期末）若x6y20，则xy．

22023

14．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若x3y20，则xy的值为．

考点5：有关乘方的规律探究问题

15．观察下列等式：212，224，238，2416，…．通过观察，用你发现的规律确定22023的个位数

字是（）

A．2B．4C．8D．6

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16．观察下列等式：313，329，3327，3481，35243，36729，解答下列问题：33233××××××32022

的末尾数字是

17．观察下列算式：

①313，②329，③3327，④3481，⑤35243，⑥36729，⑦372187，⑧386561，…那

么32023的个位数字是．

18．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：

(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？

(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？

考点6：利用有理数乘方解决实际问题

19．（22-23七年级上·浙江温州·期中）小明的Word文档中有一个如图1的实验中学Logo，他想在这个Word

文档中用1000个这种Logo，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中Logo，右

键点击“复制”，然后在本Word文档中“粘贴”)的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（）

A．9次B．10次C．11次D．12次

20．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积

是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依

次类推，阴影部分的面积为（）

1111

A．1B．1C．D．

27282728

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21．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比

第一个正方体纸盒的体积大127cm3．

(1)求第二个正方体纸盒的棱长；

(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？

考点7：有关乘方的拓展创新题

22．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，

根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，

并使得运算结果等于24．

（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；

（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．

23．阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运

算．

b

定义：如果aN（a>0，a¹1，N>0），则b叫做以a为底N的对数，记作logaNb．

32

例如：因为5125，所以log51253；因为11121，所以log111212．

(1)填空：log66，log381

(2)如果log3m23，求m的值．

(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“logaMNlogaM×logaN（a>0，a¹1，M>0，N>0）”，他的说法

正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．

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24.概念学习：

现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2¸2¸2，3¸3¸3¸3

等，类比有理数的乘方，我们把2¸2¸2写作2③，读作“2的圈3次方”，3¸3¸3¸3写作

3④，读作“3的圈4次方”，一般地把a14444444244444443¸a¸a¸......¸aa¹0写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．

n个a

初步探究：

③

②æ1ö

(1)直接写出计算结果：3=；ç÷；

è3ø

(2)下列关于除方说法中，错误的有；（在横线上填写序号即可）

A．任何非零数的圈2次方都等于1

B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数

C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数

D．圈n次方等于它本身的数是1或-1．

深入思考：

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运

算如何转化为乘方运算呢？

(3)归纳：请把有理数aa¹0的圈nn³3次方写成幂的形式为：aⓝ=；

⑩⑩

(4)比较：24；（填“＞”“＜”或“=”）

①④

③2æ1ö⑥æ1ö

(5)计算：114¸ç÷748¸ç÷．

è2øè7ø

25．（本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．

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定义：am与an（a¹0，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am¸an．

运算法则如下：

ì

ï当m>n时，am¸anamn

mnïmn

a¸aí当mn时，a¸a1

ï1

ï当m<n时，am¸an

îanm

3

æ1öæ1ö25

(1)填空：ç÷¸ç÷______，5¸5______；

è3øè3ø

1

(2)如果x>0，且2x4¸22x5，求出x的值；

8

2x2x7

(3)如果x2¸x21，请直接写出x的值______．

一、单选题

1．（23-24七年级上·福建南平·期末）2023年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共

接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（）

A．1.3106B．1.3107C．0.13108D．13106

2．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各组数中，其值相等的是（）

232

A．32和23B．2和22C．3和33D．32和3222

3．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（）

A．2.1（精确到0.1)B．2.06（精确到百分位）

C．2.0（精确到十分位）D．2.0603（精确到0.0001)

4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来

记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩

子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：47127030），那

么由图2可知，孩子出生后的天数是（）天

A．510B．511C．513D．520

5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）为了纪念著名的数学家苏步青及其卓越贡献，国际上将一颗距地球约

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218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（）

A．0.218109B．2.18109C．2.18108D．218106

二、填空题

4

æ3ö

6．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在ç÷中底数是，指数是．

è2ø

7．（23-24七年级上·天津宁河·期中）用四舍五入法将30.1755精确到百分位约为．

8．（22-23七年级上·江西宜春·期中）3.14（精确到十分位）»．

2

222

9．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算：2，2，．

3

10．（23-24七年级上·重庆黔江·期中）下列说法正确的有

①倒数为本身的数是0，±1；②绝对值为它的相反数的数一定是负数；

③若a2b2，则ab；④任何一个有理数的平方为非负数．

11．（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：313，329，3327，3481，35243，36729，

372187，386561，…，通过观察，用你所发现的规律确定20232023的个位数字是．

12．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）如图（单位：个），甲、乙、丙三只袋中装有球29个、74个、38

个，先从甲袋中取出3x个球放入乙袋，再从乙袋中取出(3x3y)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出3y个球放

入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则xy的值等于．

a×a......a

13．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）一般地，n个相同因数a相乘：123记为an，如238，此时，

n个

21

3叫做以2为底的8的对数，记为log8（即log83），那么log81log64．

22332

14．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头

捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出根细面条．

15．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）数a乘60，积是一个完全平方数，则a的最小值为．

16．（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意

思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后

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木棍剩余的长度是．

三、解答题

12

17．（23-24七年级上·湖南岳阳·期末）计算：227¸73．

9

34æ1ö

18．（23-24七年级上·广东珠海·阶段练习）计算：2