第08讲 有理数的乘方（5个知识点+7个考点+易错分析）解析版

第08讲有理数的乘方（5个知识点+7个考点+易错分析）

模块一思维导图串知识1.理解有理数的乘方的意义,并能进行乘方运算

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.掌握有理数的混合运算顺序,并能熟练、正确地进行计算

模块三核心考点举一反三3.借助生活进一步感受较大的数,并能用科学记数法表示绝对值大

模块四小试牛刀过关测于10的数

4.了解近似数的意义,能按要求取近似数

知识点1.有理数乘方的意义（重点）

1、求n个相同因数a的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。a叫底数，n叫指数，an读作：a的n次幂(a

的n次方)。

2、乘方的意义：an表示n个a相乘。

n个a

n

aaaaa

3、写法的注意：

当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．

2222

如：()2＝()×()，表示两个相乘．

3333

2222

而＝，表示2个2相乘的积除以3的相反数．

33

第1页共29页.

4、an与－an的区别．

(1)an表示n个a相乘，底数是a，指数是n，读作：a的n次方．

(2)－an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数．

如：(2)3底数是2，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．

(2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．

23底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．23＝－(2×2×2)＝－8．

注：(2)3与23的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。

【例1】把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．

(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；

222222

(2)×××××；

555555

解析：首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么．

解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底数是－3.14，指数是

5；

22222222

(2)×××××＝()6，其中底数是，指数是6；

55555555

方法总结：乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括

起来再写指数．

【变式1-1】（1）根据有理数乘方的意义，算式55555可表示为．

4

（2）在3中指数是，底数是．

【答案】5543

【分析】（1）根据题意写成有理数乘方的形式即可；

（2）根据幂的概念即可求解．

5

【详解】解：（1）555555；

4

（2）在3中指数是4，底数是3．

故答案为：55；4；3；

【点睛】本题主要考查有理数乘方的应用、幂的概念，掌握幂的概念是解题的关键．

5

【变式1-2】（2022秋·浙江金华·七年级校联考阶段练习）2表示（）

A．2乘5B．5个2相加C．5个2相乘D．2个5相加

【答案】C

【分析】根据乘方的意义：表示n个数相乘，即可．

第2页共29页.

5

【详解】解：2表示5个2相乘；

故选C．

【点睛】本题考查有理数的乘方．熟练掌握an表示n个a相乘，是解题的关键．

【变式1-3】（2022秋•黄山期末）﹣25表示的意义是（）

A．5个﹣2相乘B．5个2相乘的相反数

C．2个﹣5相乘D．2个5相乘的相反数

【分析】原式利用乘方的意义判断即可．

【解答】解：﹣25表示的意义是5个2相乘的相反数，

故选：B．

【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．

知识点2.有理数乘方运算的符号规律（重点）

乘方运算的符号规律．

(1)正数的任何次幂都是正数．

(2)负数的奇次幂是负数．

(3)负数的偶次幂是正数．

(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．

所以，任何数的偶次幂都是正数或0。

32

【例2】计算：(1)－(－3)3;(2)(－)2；(3)(－)3;(4)(－1)2015.

43

解析：可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确

定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值．

解：(1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27；

3339

(2)(－)2＝×＝；

44416

22228

(3)(－)3＝－(××)＝－；

333327

(4)(－1)2015＝－1.

方法总结：乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；－1

的奇数次幂是－1，－1的偶数次幂是1.

4

【变式2-1】计算：1，14．

【答案】11

【详解】解：141，

141，

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33

æ2öæ2ö23

【变式2-2】计算：ç÷；ç÷；．

è3øè3ø3

888

【答案】

27273

【变式2-3】计算：

323

æ1ö2æ1ö2

(1)ç÷；(2)3；(3)ç1÷；(4)．

è2øè2ø3

198

【答案】(1)(2)9(3)(4)

843

【分析】根据有理数乘方计算即可．

æ1öæ1öæ1ö1

【详解】（1）解：原式ç÷ç÷ç÷；

è2øè2øè2ø8

（2）解：原式339；

æ3öæ3ö9

（3）解：原式ç÷ç÷；

è2øè2ø4

2228

（4）解：原式

33

【点睛】本题主要考查有理数乘方运算，掌握有理数乘方运算的意义是解题的关键．

知识点3.有理数的混合运算（难点）

1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号

外面的。

2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即

(ab)ab，(ab)ab

11

【例3】计算：(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)；

1010

21

(2)－1－{(－3)3－[3＋×(－1)]÷(－2)}．

32

解析：(1)题是含有减法、乘法、除法的混合运算，运算时，一定要注意运算顺序，尤其是本题中的乘除运

算．要从左到右进行计算；(2)题有大括号、中括号，在运算时，可从里到外进行．注意要灵活掌握运算顺

序．

111

解：(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)＝(－5)－(－5)××10×(－5)＝(－5)－25＝－30；

101010

21

(2)－1－{(－3)3－[3＋×(－1)]÷(－2)}

32

23

＝－1－{－27－[3＋×(－)]÷(－2)}＝－1－{－27－2÷(－2)}＝－1－{－27－(－1)}＝－1－(－26)

32

＝25.

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方法总结：有理数的混合运算可用下面的口诀记忆：混合运算并不难，符号第一记心间；加法需取大值号，

乘法同正异负添；减变加改相反数，除改乘法用倒数；混合运算按顺序，乘方乘除后加减．

【变式3-1】计算：973422．

【答案】20

【详解】解：973422

23162

6162

20．

12

【变式3-2】计算：141262

4

【答案】0

5

【详解】解：原式144

4

154

0．

【变式3-3】计算：

4

101

éæ1öù21æ1ö5

(1)1ê1ç10.5÷6ú；(2)8¸(2)|6|ç÷(2)．

ëè3øû2è2ø

【答案】(1)3

(2)3

éæ1öù

【详解】（1）原式1ê1ç1÷6ú

ëè6øû

æ5ö

1ç16÷

è6ø

115

14

3；

11

（2）原式8¸4632

216

232

3

【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算

的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号

里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．

知识点4.科学记数法（重点）

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（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，

这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此

规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是

前面多一个负号．

【例4】我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨，

将167000用科学记数法表示为()

A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．1.6710×106

解析：根据科学记数法的表示形式，先确定a，再确定n，解此类题的关键是a，n的确定.167000＝1.67×

105，故选C.

方法总结：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值

以及n的值．

【变式4-1】2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市

域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市

快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（）

A．0.22819×1010B．0.22819×1011

C．2.2819×1010D．2.2819×1011

【解答】解：228.19亿＝22819000000＝2.2819×1010．

故选：C．

【变式4-2】用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（）

A．4315B．431.5C．43.15D．4.315

【解答】解：用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是4315，

故选：A．

【变式4-3】已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：

(1)2.01×104；(2)6.070×105；(3)－3×103.

解析：(1)将2.01的小数点向右移动4位即可；(2)将6.070的小数点向右移动5位即可；(3)将－3扩大

1000倍即可．

解：(1)2.01×104＝20100；

(2)6.070×105＝607000；

(3)－3×103＝－3000.

方法总结：将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所

得到的数．

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知识点5.近似数（难点）

（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．

（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．

（3）规律方法总结：

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前

者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．

【例5.1】下列数据中，不是近似数的是()

A．某次地震中，伤亡10万人B．吐鲁番盆地低于海平面155m

C．小明班上有45人D．小红测得数学书的长度为21.0cm

解析：A.某次地震中，伤亡10万人中的10为近似数，所以A选项错误；B.吐鲁番盆地低于海平面155m中

的155为近似数，所以B选项错误；C.小明班上有45人中45为准确数，所以C选项正确；D.小红测得数

学书的长度为21.0cm中的21.0为近似数，所以D选项错误，故选C.

方法总结：经过“四舍五入”得到的叫近似数，一般用工具量出来的数都是近似数；能表示原来物体或事

件的实际数量的数是准确数，一般通过计数数出来的数都是准确数．

【例5.2】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）

A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到千分位）

C．0.05（精确到百分位）D．0.0502（精确到0.0001）

【解答】解：A、0.05019≈0.1（精确到0.1），所以此选项正确，故A不符合题意；

B、0.05019≈0.050（精确到千分位），所以此选项错误，故B符合题意；

C、0.05019≈0.05（精确到百分位），所以此选项正确，故C不符合题意；

D、0.05019≈0.0502（精确到0.0001），所以此选项正确，故D不符合题意；

故选：B．

【例5.3】近似数1.70所表示的准确值a的范围是()

A．1.700＜a≤1.705B．1.60≤a＜1.80

C．1.64＜a≤1.705D．1.695≤a＜1.705

解析：若是向前进1得到的，那么a≥1.695；若是舍去下一位得到的，那么a＜1.705，∴1.695≤a＜1.705.

故选D.

方法总结：此题不是由准确数求近似数，而是由近似数求准确数的范围，这是对逆向思维能力的考查．

【变式5-1】下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？

(1)25.7;(2)0.407；(3)4000万；(4)4.4千万．

解析：精确度由最后一位数字所在的位置确定，一般来说，近似数四舍五入到哪一位，就精确到哪一位．

解：(1)25.7(精确到十分位)；

(2)0.407(精确到千分位)；

(3)4000万(精确到万位)；

第7页共29页.

(4)4.4千万(精确到百万位)．

方法总结：若是汉字单位为“万”、“千”、“百”类的近似数，精确度依然是由其最后一位数所在的数

位确定，但必须先把该数写成单位为“个”的数，再确定其精确度．

【变式5-2】下列说法正确的是()

A．近似数4.60与4.6的精确度相同B．近似数5千万与近似数5000万的精确度相同

C．近似数4.31万精确到0.01D．1.45×104精确到百位

解析：选项A.近似数4.60精确到百分位，4.6精确到十分位，故错误；选项B.近似数5千万精确到千万位，

近似数5000万精确到万位，故错误；选项C.近似数4.31万精确到百位．故错误；选项D.正确．故选D.

方法总结：解答此题应掌握数的精确度的知识，保留整数精确度为1，一位小数表示精确到十分之一，两位

小数表示精确到百分之一等．

【变式5-3】用四舍五入法将下列各数按括号中的要求取近似数．

(1)0.6328(精确到0.01)；(2)7.9122(精确到个位)；

(3)47155(精确到百位)；(4)130.06(精确到0.1)；

(5)4602.15(精确到千位)．

解析：(1)把千分位上的数字2四舍五入即可；(2)把十分位上的数字9四舍五入即可；(3)先用科学记数法

表示，然后把十位上的数字5四舍五入即可；(4)把百分位上的数字6四舍五入即可；(5)先用科学记数法

表示，然后把百位上的数字6四舍五入即可．

解：(1)0.6328≈0.63(精确到0.01)；

(2)7.9122≈8(精确到个位)；

(3)47155≈4.72×104(精确到百位)；

(4)130.06≈130.1(精确到0.1)；

(5)4602.15≈5×103(精确到千位)．

方法总结：按精确度找出要保留的最后一个数位，再按下一个数位上的数四舍五入即可．

易错点：含乘方运算时符号考虑不全产生漏解

11

【例6】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）小明同学在计算：(1)2023(2)36¸()时，步骤如下：

23

11

解：原式2023(6)6¸6¸⋯⋯（1）

23

202361218⋯⋯（2）

2023⋯⋯（3）

(1)小明的计算过程中开始出现错误的步骤是________；（填序号）

(2)请给出正确的解题过程．

【答案】(1)（1）

(2)过程见解析

第8页共29页.

【分析】

本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键；

（1）由乘方计算错误与除法计算错误可得答案；

（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号计算括号内的运算即可；

【详解】（1）解：第（1）步就出现错误；

11

（2）(1)2023(2)36¸()

23

1

186¸

6

1866

1836

43；

考点1：有理数的混合运算

22æ11öæ1ö

1.计算：432ç÷¸ç1÷．

è32øè3ø

29

【答案】

2

æ1ö3

【详解】解：原式1634ç÷

è6ø4

13

1612

64

3

16

2

29

．

2

342

2.计算：2¸312．

5

【答案】1

4

【详解】解：原式8¸314

5

5

833

4

109

1．

42æ3ö

3.计算：1[43)ûù3¸ç÷2．

è4ø

第9页共29页.

【答案】1

42æ3ö

【详解】解：1[43)ûù3¸ç÷2

è4ø

æ4ö

1493ç÷2

è3ø

1542

542

1．

2

4.计算：(1)2022(18)4¸(2)．

9

【答案】1

20222

【详解】1184¸2

9

2

1182

9

142

1

考点2：用科学记数法表示数

5．“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒9.31016次，它工作1h可进行多少次运算？（结果用科学记

数法表示）

【答案】它工作1h可进行3.3481020次运算

【详解】解：1h=3600s，

9.3101636003348010163.34810410163.3481020（次），

答：它工作1h可进行3.3481020次运算．

6.在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问

我们行驶的路程为多少m？

【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．

答：行驶的路程为1.08×1012m．

7.已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平

均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为

90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB＝1024MB，1MB＝1024KB）

【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，

答：还可以存文章的最多篇数是5.12×104．

考点3：按要求取近似值

8.由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中正确的是（）

第10页共29页.

A．精确到十分位B．精确到个位

C．精确到百位D．精确到千位

【解答】解：近似数8.8×103精确到百位．

故选：C．

9．小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为（）

A．1.675≤a＜1.685B．1.675＜a≤1.685

C．1.675≤a≤1.685D．1.675＜a＜1.685

【解答】解：小明的身高为1.68m，表示他实际身高a的范围为1.675≤a＜1.685．

故选：A．

10.数3.303105精确到位．

【答案】百

【详解】解：数3.303105330300精确到百位，

11.下列问题中出现的数，哪些是精确值?哪些是近似值?

(1)某院校的某专业计划招生200人；

(2)小明的立定跳远成绩是2.31m；

(3)若尘的这次数学考试成绩是96分；

(4)据统计，公园门口每月的车流量大约是30000辆．

【答案】(1)准确数

(2)近似数

(3)准确数

(4)近似数

【详解】（1）解：某院校的某专业计划招生200人，是准确数；

（2）小明的立定跳远成绩是2.31m，是近似数；

（3）若尘的这次数学考试成绩是96分，是准确数；

（4）据统计，公园门口每月的车流量大约是30000辆，是近似数．

考点4:有理数乘方与其他知识的综合应用

2

æ1ö2023

12．（23-24七年级上·重庆江津·期中）若a2çb÷0，则ab．

è2ø

【答案】1

【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，平方的非负性，解题的关键是求出a、b的值，准确进行计

算．先根据绝对值和平方的非负性求出a、b的值，然后再代入ab2023中计算即可．

2

æ1ö

【详解】Qa2çb÷0，

è2ø

第11页共29页.

2

æ1ö

\a20，çb÷0，

è2ø

1

\a2，b，

2

12023

将a2，b代入ab中得：

2

2023

2023æ1ö2023

abç2÷11，

è2ø

故答案为：1．

2

13．（22-23七年级上·广东湛江·期末）若x6y20，则xy．

【答案】36

【分析】利用非负数的性质求出x，y的值，再代入计算即可．

2

【详解】解：∵x6y20，

2

∴x60，y20，

∴x60，y20，

∴x6，y2，

2

∴xy636，

故答案为：36．

【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，初中阶段有三种类型的非负数：①绝对值；②偶次方；③

二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．

22023

14．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）若x3y20，则xy的值为．

【答案】1

【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，掌握绝对值、平方数的非负性，有理数的乘方运算是解题的关

键．

根据绝对值、平方数的非负性可求出x,y的值，代入求值即可．

【详解】解：在x3y220中，

2

∵x3³0，y2³0，

∴x3,y2，

202320232023

∴xy3211，

故答案为：1．

考点5：有关乘方的规律探究问题

15．观察下列等式：212，224，238，2416，…．通过观察，用你发现的规律确定22023的个位数

第12页共29页.

字是（）

A．2B．4C．8D．6

【答案】C

【详解】解：继续计算：2532,2664,27128,28256，…，

显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，

而202345053，所以22023的个位数字是8；

故选：C．

16．观察下列等式：313，329，3327，3481，35243，36729，解答下列问题：33233××××××32022

的末尾数字是

【答案】2

【详解】解：∵313，329，3327，3481，35243，36729，

∴末尾数，每4个一循环，

∵2022¸4＝505¼2，

232022

∴3333的末位数字相当于：3971¼397139715053910112的末

尾数为2．

17．观察下列算式：

①313，②329，③3327，④3481，⑤35243，⑥36729，⑦372187，⑧386561，…那

么32023的个位数字是．

【答案】7

【详解】已知313，末位数字为3，

329，末位数字为9，

3327，末位数字为7，

3481，末位数字为1，

35243，末位数字为3，

36729，末位数字为9，

372187，末位数字为7，

386561，末位数字为1，

…

由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，

又2023¸4505×××3，

所以32023的末位数字与33的末位数字相同是7．

18．如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：

第13页共29页.

(1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？

(2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？

【答案】(1)16

(2)3

【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成2416个细胞，

\经过2小时后，可分裂成16个细胞；

（2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即21个细胞；

第2个30分钟分裂成4个，即22个；

…

依此类推，第n个30分钟分裂为2n个细胞；

\2n=64，解得n6，

\经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞．

考点6：利用有理数乘方解决实际问题

19．（22-23七年级上·浙江温州·期中）小明的Word文档中有一个如图1的实验中学Logo，他想在这个Word

文档中用1000个这种Logo，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中Logo，右

键点击“复制”，然后在本Word文档中“粘贴”)的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（）

A．9次B．10次C．11次D．12次

【答案】B

【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2

的幂运算．

109

【详解】解：Q21024>1000，2512<1000，

故选：B

20．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图，将面积为1的长方形纸片分割成8个部分，部分①的面积

是原长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依

次类推，阴影部分的面积为（）

第14页共29页.

1111

A．1B．1C．D．

27282728

【答案】C

【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和图

形，可以得到阴影部分的面积．

1

【详解】解：由图可得，阴影部分的面积是，

27

故选：C．

21．（22-23七年级上·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体积比

第一个正方体纸盒的体积大127cm3．

(1)求第二个正方体纸盒的棱长；

(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？

【答案】(1)第二个正方体纸盒的棱长为7cm

(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多78cm2

【分析】本题主要考查了有理数乘方运算的应用，解题的关键熟练掌握正方体的体积公式和表面积公式．

（1）先求出第一个正方体的体积，再求出第二个正方体的体积，得出其棱长即可；

（2）根据正方体的表面积公式列出算式进行计算即可．

【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为：63216cm3，

第二个正方体纸盒的体积为：216127343cm3，

∵73343，

∴第二个正方体纸盒的棱长为7cm；

（2）解：67266278cm2，

答：第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多78cm2．

考点7：有关乘方的拓展创新题

22．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，

根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，

并使得运算结果等于24．

（1）小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式；

第15页共29页.

（2）请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式．

【解答】解：（1）5×6﹣2×3＝24；

（3+5）×（6÷2）＝24；

（5﹣3）×2×6＝24；

（2）如抽到黑桃3、红桃4、方块6、梅花10，

则有：3×6+10﹣4＝24．

23．阅读下面的材料：我们已经学习过“乘方”和“开方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运

算．

b

定义：如果aN（a>0，a¹1，N>0），则b叫做以a为底N的对数，记作logaNb．

32

例如：因为5125，所以log51253；因为11121，所以log111212．

(1)填空：log66，log381

(2)如果log3m23，求m的值．

(3)对于“对数”运算，小明同学认为有“logaMNlogaM×logaN（a>0，a¹1，M>0，N>0）”，他的说法

正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．

【答案】(1)1；4

(2)29

(3)不正确，理由见解析，logaMNlogaMlogaN

【详解】（1）解：∵616，

∴log661，

∵3481，

∴log3814，

故答案为：1，4；

（2）∵log3m23，

∴33m2，

∴m29；

（3）不正确，理由如下：

设axM，ayN，

第16页共29页.

则logaMx，logaNy（a>0，a¹1，M>0，N>0），

∵ax×ayaxy，

∴axyMN，

∴logaMNxy，

即logaMNlogaMlogaN．

24.概念学习：

现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2¸2¸2，3¸3¸3¸3

等，类比有理数的乘方，我们把2¸2¸2写作2③，读作“2的圈3次方”，3¸3¸3¸3写作

3④，读作“3的圈4次方”，一般地把a14444444244444443¸a¸a¸......¸aa¹0写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．

n个a

初步探究：

③

②æ1ö

(1)直接写出计算结果：3=；ç÷；

è3ø

(2)下列关于除方说法中，错误的有；（在横线上填写序号即可）

A．任何非零数的圈2次方都等于1

B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数

C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数

D．圈n次方等于它本身的数是1或-1．

深入思考：

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运

算如何转化为乘方运算呢？

(3)归纳：请把有理数aa¹0的圈nn³3次方写成幂的形式为：aⓝ=；

⑩⑩

(4)比较：24；（填“＞”“＜”或“=”）

①④

③2æ1ö⑥æ1ö

(5)计算：114¸ç÷748¸ç÷．

è2øè7ø

【答案】(1)1，-3

(2)D

n2

æ1ö

(3)ç÷

èaø

(4)>

9

(5)

49

第17页共29页.

【详解】（1）3②=3¸3=1；

③

æ1öæ1öæ1öæ1öæ1ö

ç-÷=ç-÷¸ç-÷¸ç-÷=ç-÷´(-3)´(-3)=-3；

è3øè3øè3øè3øè3ø

故答案为：1；3；

（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故A不符合题意；

B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故B不符合题意；

C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C不符合题意；

D．圈n次方等于它本身的数是1，1的圈偶数次方等于1，1的圈奇数次等于1，故D符合题意；

故选：D；

n-2

ⓝ111æ1ö

（3）a=a¸a¸a¸a=a××=ç÷，

aaaèaø

n2

æ1ö

故答案为：ç÷；

èaø

88

⑩æ1ö1⑩æ1ö111

（4）∵-2=ç-÷=，4，>

()ç÷8ç÷888

è2ø2è4ø424

⑩⑩

∴(-2)>(-4)，

故答案为：>；

①④

③2æ1ö⑥æ1ö

（5）114¸ç÷748¸ç÷

è2øè7ø

4

2æ1öæ1ö2

=-1+14¸ç-÷´ç-÷-(-48)¸(-7)

è2øè7ø

4

2æ1ö2

=-1+14´(-2)´ç-÷-(-48)¸(-7)

è7ø

848

=-1-+

4949

9

=-

49

25．（本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．

定义：am与an（a¹0，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am¸an．

运算法则如下：

ì

ï当m>n时，am¸anamn

mnïmn

a¸aí当mn时，a¸a1

ï1

ï当m<n时，am¸an

îanm

3

æ1öæ1ö25

(1)填空：ç÷¸ç÷______，5¸5______；

è3øè3ø

第18页共29页.

1

(2)如果x>0，且2x4¸22x5，求出x的值；

8

2x2x7

(3)如果x2¸x21，请直接写出x的值______．

11

【答案】(1)，；

9125

(2)x2；

(3)x5，x3，x1．

3312

æ1öæ1öæ1öæ1ö1

【详解】（1）解：ç÷¸ç÷ç÷ç÷，

è3øè3øè3øè3ø9

11

52¸55，

552125

11

故答案为：，；

9125

（2）解：因为x>0，

所以x4<2x5，

11

所以2x4¸22x5，

22x5x42x1

11

因为，

823

所以x13，

解得：x2；

（3）由题意知，①2x2x7，

解得：x5；

②x21，

解得：x3；

③x21且2x2与x7为偶数，

解得：x1；

综上，x5，x3，x1．

一、单选题

1．（23-24七年级上·福建南平·期末）2023年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共

接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（）

A．1.3106B．1.3107C．0.13108D．13106

【答案】B

【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成a10n的形

式，其中1≤a＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得到答案．

第19页共29页.

【详解】解：130000001.3107，

故选：B．

2．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）下列各组数中，其值相等的是（）

232

A．32和23B．2和22C．3和33D．32和3222

【答案】C

【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，熟练应用有理数的乘方运算法则是解题关键；分别利用有理

数的乘方运算法则求出进而比较得出即可；

【详解】解：A、329,238，故不符合题意；

2

B、24，224故不符合题意；

3

C、327，3327故符合题意；

2

D、3236，32229436故不符合题意；

故选：C．

3．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（）

A．2.1（精确到0.1)B．2.06（精确到百分位）

C．2.0（精确到十分位）D．2.0603（精确到0.0001)

【答案】C

【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应

当对下一位的数字进行四舍五入．

【详解】解：A．2.06032»2.1（精确到0.1)，正确，不符合题意；

B．2.06032»2.06（精确到百分位），正确，不符合题意；

C．2.06032»2.1（精确到十分位），原说法错误，符合题意；

D．2.06032»2.0603（精确到0.0001)，正确，不符合题意；

故选C．

4．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来

记录数量，即“结绳计数”，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩

子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：47127030），那

么由图2可知，孩子出生后的天数是（）天

A．510B．511C．513D．520

第20页共29页.

【答案】A

【分析】

本题考查了计数方法，有理数的混合运算．类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：

千位上的数73百位上的数72十位上的数7个位上的数，再列式计算即可．

【详解】解：173372276510（天），

答：孩子自出生后的天数是510天．

故选：A．

5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）为了纪念著名的数学家苏步青及其卓越贡献，国际上将一颗距地球约

218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（）

A．0.218109B．2.18109C．2.18108D．218106

【答案】C

【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1£a<10，n

为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，