第05讲 有理数减法（2个知识点+7个考点+易错分析）解析版

第05讲有理数减法（2个知识点+7个考点+易错分析）

模块一思维导图串知识1.掌握有理数减法的运算法则,理解减法法则与加法法

模块二基础知识全梳理（吃透教材）则的关系,体会转化的思想方法

模块三核心考点举一反三2.能熟练地进行有理数的减法运算,会进行有理数的加

模块四小试牛刀过关测减混合运算,会解决简单的实际问题，

3.能将和式中的括号和加号省略,并利用加法运算律进

行相关计算

知识点1.有理数的减法法则（重点）

（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即：a﹣b＝a+（﹣b）

（2）方法指引：

①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；

②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号

（减数变相反数）；

【注意】：

在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．

减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．

【例1】计算：(1)(－32)－(+5)；(2)(+2)－(－25)．

【答案与解析】法一：

法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27

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11

【变式1-1】计算：(1)7.2－(－4.8)；(2)－3－5.

24

解析：先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可．

解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；

1111113

(2)－3－5＝－3＋(－5)＝－(3＋5)＝－8.

2424244

方法总结：进行有理数减法运算时，将减法转化为加法，再根据有理数加法法则进行计算．要特别注意减数

的符号．

【变式1-2】上海某天的最高气温为6℃，最低气温为－1℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为()

A．5℃B．6℃C．7℃D．8℃

解析：由题意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故选C.

方法总结：要根据题意列出算式，再运用有理数的减法法则解答．

【变式1-3】已知有理数a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定a－b的符号．

解析：判断a，b差的符号，可能不好理解，不妨把它转化为加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法则进行判定．

解：因为b＜0，所以－b＞0.又因为a<0，a－b＝a＋(－b)，所以a与－b是异号两数相加，那么它们和的

符号由绝对值较大的加数的符号决定，因为|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符号，而a＜0，因此a－

b的符号为负号．

方法总结：此类问题如果是填空或选择题，可以采用“特殊值”法进行判断，若是解答题，可以将减法转化

为加法通过运算法则来解答．

知识点2.有理数的加减混合运算（难点）

（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．

（2）方法指引：

①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的

形式．

②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．

12

【例2】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；

55

2222

(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；

315315

2113

(3)－－(－)＋(－)．

3838

解析：本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运

算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分

母或易通分的各数先结合．

12

解：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－

55

9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；

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222222222222

(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)＝－14＋11＋12－14－11＝(－14＋12)＋(11－11)

315315315315331515

－14＝－2＋0－14＝－16；

21132113211311

(3)－－(－)＋(－)＝－＋－＝(＋)＋(－－)＝1＋(－)＝.

38383838338822

方法总结：(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符

号一起交换．(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．(3)当一个算

式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．

【变式2-1】计算：+1−+1+−3−−63.

5454

【答案】6.1

【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解．

【详解】解：+1−+1+−3−−63

5454

1133

=−−+6

5454

1331

=−+6+−

5544

21

=−+6+

52

=−0.4+6+0.5

=6.1．

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减的运算法则是解题的关键．

【变式2-2】．计算下列各式：

1111

(1)(−3)+(+7)−8(2)3+(−0.5)+(−3.2)+5．

2352

25

【答案】(1)−，(2)5

6

【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算，即可解答；

（2）利用加法的结合律和交换律，即可解答．

11125

【详解】（1）原式=(−3)+(+7)−8+(−)+=−4−=−；

2366

（2）原式=3.2+(−3.2)+(−0.5)+5.5=5．

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算．

【变式2-3】列式计算：

1

（1）−3减去−5与2.5的和所得差是多少？

2

（2）3，−5，−6的和比这三个数和的绝对值大多少？

【答案】（1）0；（2）-16

【分析】（1）先列出算式，再根据有理数的加法和有理数的减法运算法则进行计算即可得解；

（2）先列出算式，再根据有理数的加法和有理数的乘方的定义以及有理数的减法运算法则和绝对值的性质

进行计算即可得解．

【详解】解：（1）(−3)−−51+2.5

2

第3页共33页.

=(−3)−(−3)

=(−3)+3

=0；

（2）[3+(−5)+(−6)]−|3+(−5)+(−6)|

=(−8)−8

=(−8)+(−8)

=−16．

【点睛】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，有理数的加法，熟记运算法则并准确列出算式是解题

的关键．

【变式2-4】计算：

（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；

（2）11－12+13－15+16－18+17；

111

（3）3.76-39-5+68-4.76-2+1

362

5113

（4）3.46+4--3.87-2+1.54+3.37+

6344

1355

（5）-3+5+4-6；

24618

13

（6）2.25+3-2+1.875

84

【解析】（1）观察各个加数，可以发现－3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；

4.18、－2.93与－1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．

解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72

＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23

＝0+0－1.23＝－1.23

（2）把正数和负数分别分为一组．

解：11－12+13－15+16－18+17

＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)

＝57+(－45)＝12

（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是－1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故

把整数、分数、小数分别分为一组．

111

解：3.76-39-5+68-4.76-2+1

362

111

=(3.76-4.76)+(5-2+1)+(-39+68)=-1+(-6)+29=22

362

第4页共33页.

5

（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；－3.87与3.37的和为－0.5，把它们分为一组；4与

6

113

-易于通分，把它们分为一组；-2与同分母，把它们分为一组．

344

5113

解：3.46+4--3.87-2+1.54+3.37+

6344

5113

=(3.46+1.54)+(-3.87+3.37)+(4-)+(-2+)

6344

11

=5+(-0.5)+4+(-1)=4.5+3=7.5

22

（5）先把整数分离后再分组．

1355

解：-3+5+4-6

24618

1355

=-3-+5++4+-6-

24618

1355

=(-3+5+4-6)+(-++-)

24618

-18+27+30-10

=0+

36

29

=

36

注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如

11

-3=-3-．

22

（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．

13

解：2.25+3-2+1.875

84

=(2.25-2.75)+(3.125+1.875)

=-0.5+5=4.5

知识点3.省略加号的和式的写法读法

（1）把算式中的减法转化为加法；

（2）去括号时注意符号，能省掉的“+”号要省掉；

（3）多观察，巧妙利用运算律简便计算．

【例3】将下列式子写成省略括号和加号的形式，并用两种读法将它读出来．

(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)

解析：先把加减法统一成加法，再省略括号和加号；读有理式，式子中第一项的符号，要作为这一项的符

第5页共33页.

号读出正负来，式子中的符号就读作加或减．

解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.

读法①：负13、正7、负21、负9、正32的和；

读法②：负13减去负7减去21减去9加上32.

方法总结：注意掌握括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号去掉，括号内各项都不变；括号前

是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号．

【变式3-1】有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，如算式“−20−(−9)+(−8)+10”可以看成

________这4个数的和．

【答案】−20+9+(−8)+10

【分析】根据减法运算法则进行解答即可．

【详解】解：−20−(−9)+(−8)+10=−20+9+(−8)+10．

故答案为：−20+9+(−8)+10．

【点睛】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是熟练掌减去一个数等于加上这个数的想法．

【变式3-2】把(−4)−(+13)+(−5)−(−9)写成省略加号和括号的形式是___________；读作：___________

或___________．

【答案】−4−13−5+9﹣4﹣13﹣5+9负4减13减5加9负4、负13、负5、9的和

【分析】首先把减法改为加法，省略括号和前面的加号即可．

【详解】解：(−4)−(+13)+(−5)−(−9)

=(−4)+(−13)+(−5)+(+9)

=−4−13−5+9；

读作：负4减13减5加9或负4、负13、负5、9的和．

故答案为：−4−13−5+9﹣4﹣13﹣5+9；负4减13减5加9；负4、负13、负5、9的和．

【点睛】此题考查有理数的加减混合运算混合运算的简写方法，注意简写前后符号的变化，读法按两种意

义去读．

易错点1:混淆有理数减法中的运算符号和性质符号

【例4】.计算：-7-5-11．

莉莉的解法如下：

-7-5-11

=-(7-5)-11

=-2-11

=-(2-11)

=-(-9)

=9．

请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请写出正确解法．

【答案】莉莉的解法不正确，详见解析，-23

第6页共33页.

【分析】错误，运算法则运用错误，写出正确的解题过程即可．

【详解】莉莉的解法不正确．

正确解法：-7-5-11=(-7)+(-5)+(-11)=(-12)+(-11)=-23．

【点睛】此题考查了有理数的减法法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键

易错点2：错用运算律

【例5】．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）错用运算律，可能会导致计算的结果出错

例如有同学计算5-3.2+0.2时，得到的结果为1.6，这位同学的计算过程如下：

解：5-3.2+0.2①

=5-3.2+0.2②

=5-3.4③

=1.6④

以上计算过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是.

【答案】②

【分析】根据有理数的加减运算和添括号法则可作出判断．

【详解】解：5-3.2+0.2

=5-3.2-0.2

=5-3

=2，

第②步括号内没变符号导致错误，即开始出现错误的那一步对应的序号是②，

故答案为：②．

【点睛】本题考查有理数的加减，添括号法则，解题的关键是掌握添括号法则：所添括号前面是“+”号，括

到括号里的各项都不改变正负号；所添括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变正负号，添括号和去括

号的过程正好相反，添括号是否正确，可以用去括号检验一下．

考点1：有理数的加减混合运算

1．计算：

æ1öæ1ö

(1)-2.125+ç+3÷+ç+5÷+-3.2；

è5øè8ø

2æ1öæ2öæ1ö

(2)0-21+ç+3÷-ç-÷-ç+÷；

3è4øè3øè4ø

æ1ö1

(3)ç-7÷+-3.37+6+2.125+-0.25+-2.63．

è8ø4

【答案】(1)3；

第7页共33页.

(2)-18；

(3)-5．

æ1öæ1ö

【详解】（1）解：-2.125+ç+3÷+ç+5÷+-3.2

è5øè8ø

=-2.125+5.125+3.2-3.2

=3；

2æ1öæ2öæ1ö

（2）解：0-21+ç+3÷-ç-÷-ç+÷

3è4øè3øè4ø

æ22öæ11ö

=ç-21+÷+ç3-÷

è33øè44ø

=-21+3

=-18；

æ1ö1

（3）解：ç-7÷+-3.37+6+2.125+-0.25+-2.63

è8ø4

=-7.125+2.125+-3.37-2.63+6.25-0.25

=-5-6+6

=-5．

2．计算：

(1)-15++7--3；

æ3öæ1öæ2ö

(2)+0.125-ç-3÷+ç-3÷-ç-10÷-+1.25．

è4øè8øè3ø

【答案】(1)-5

1

(2)10

6

【详解】（1）解：原式=-15+7+3

=-5；

312

（2）解：原式=0.125+3-3+10-1.25

483

13121

=+3-3+10-1

84834

æ11öæ31ö2

=ç-3÷+ç3-1÷+10

è88øè44ø3

12

=-3+2+10

23

1

=10．

6

3．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下面的计算过程，体会“拆项法”

第8页共33页.

5æ2ö3æ1ö

计算：-5+ç-9÷+17+ç-3÷

6è3ø4è2ø

æ5231öæ3ö3

解：原式=-5-9+17-3+ç--+-÷=0+ç-1÷=-1

è6342øè4ø4

æ3öæ1ö3æ1ö

启发应用，用上面的方法完成下列计算：ç-3÷+ç-1÷+2-ç2÷

è10øè2ø5è2ø

7

【答案】-4

10

3131

【分析】将原式利用“拆项法”得出原式=-3-1+2-2+(--+-)，再根据有理数的加减运算法

10252

则计算可得．

æ3öæ1ö3æ1ö

【详解】解：ç-3÷+ç-1÷+2-ç2÷

è10øè2ø5è2ø

3131

=-3-1+2-2+(--+-)

10252

7

=-4+(-)

10

7

=-4．

10

【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算，理解题干中的“拆项法”是解题关键．

考点2：绝对值与有理数的减法的综合问题

4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简式子：a-c-a-b+2a=______．

【答案】-c-b

【详解】由数轴可得：c＜a＜0＜b，

∴a-c＞0，a-b＜0，2a＜0，

∴|a-c|-|a-b|+|2a|

=a-c+a-b-2a

=-c-b．

故答案为：-c-b．

5.已知|x-4|+|y+2|=0，求x-y的值．

【答案】x-y=6

【详解】∵|x-4|+|y+2|=0，|x-4|³0，|y+2|³0，

∴x-4=0，y+2=0，

解得x=4，y=-2，

∴x-y=4-(-2)=6．

第9页共33页.

6.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：

6+7=6+7，6-7=7-6，7-6=7-6，-6-7=6+7．

(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；

①|7-21|=______；

1

②|-+0.8|=______；

2

77

③-=______；

1718

115015011

(2)用合理的方法计算：-+---.；

555755722

11111111

(3)用简单的方法计算：-+-+-+¼+-．

32435420212020

177

【答案】(1)①21-7；②0.8-；③-；

21718

1

(2)-

5

2019

(3)

4042

【详解】（1）①|7-21|=21-7；

11

②-+0.8=0.8-；

22

7777

③|-|=-；

17181718

177

故答案为：①21-7；②0.8-；③-；

21718

150111501

（2）原式=-+--

557525572

150150111

=(-)+(-)-

557557225

1

=-；

5

11111111

（3）原式=-+-+-+...+-

23344520202021

11

=-

22021

2019

=．

4042

7.某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中十

次行驶纪录如下（单位：km）．

第10页共33页.

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次

-10-3+4-2-8+16-2+12+8-5

(1)最后他们是否回到出发点A？若没有，则他们停留在A地的什么方向？距离A地多远？

(2)在第_________次纪录时距A地最远．

(3)若每千米耗油0.08升，问共耗油多少升？

【答案】(1)他们没有回到出发点A，停留在A地东边10km处

(2)五

(3)共耗油5.6升

【详解】（1）解：-10-3+4-2-8+16-2+12+8-5=10km．

答：他们没有回到出发点A，停留在A地东边10km处；

（2）解：第一次：-10=10；

第二次：-10-3=13；

第三次：-10-3+4=9；

第四次：-10-3+4-2=11；

第五次：-10-3+4-2-8=19；

第六次：-10-3+4-2-8+16=3；

第七次：-10-3+4-2-8+16-2=5；

第八次：-10-3+4-2-8+16-2+12=7；

第九次：-10-3+4-2-8+16-2+12+8=15；

第十次：-10-3+4-2-8+16-2+12+8-5=10．

∴在第五次纪录时距A地最远．

故答案为：5；

（3）解：ëé-10+-3++4+-2+-8++16+-2++12++8+-5ûù´0.08

=70´0.08

=5.6（升）．

答：共耗油5.6升．

考点3.利用有理数减法求数轴上两点间的距离

8．“数形结合”是重要的数学思想．如：|3-(-2)|表示3与-2差的绝对值，实际上也可以理解为3与-2在

数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，B所对应的数分别用a，b表示，那么A，

B两点之间的距离表示为AB=|a-b|．利用此结论，回答以下问题：

第11页共33页.

(1)数轴上-2和5这两点之间的距离为．

(2)若x表示一个实数，|x+2|+|x-4|的最小值为．

(3)直接写出所有符合条件的x，使得|x-2|+|x+5|=9，则x的值为．

【答案】(1)7

(2)6

(3)-6或3

【详解】（1）|(-2)-5|=7．

故答案为：7；

（2）|x+2|+|x-4|表示x到-2和4的距离之和，

当x<-2时，|x+2|+|x-4|>6；

当-2£x£4时，|x+2|+|x-4|=6；

当x>4时，|x+2|+|x-4|>6，

故|x+2|+|x-4|最小值为6．

故答案为：6；

（3）|x-2|+|x+5|=9表示x到-2和4的距离之和等于9，

-5£x£2时，|x-2|+|x+5|=7，

当x<-5时，x=-5-1=-6；

当x>2时，x=2+1=3．

故答案为-6或3．

9.已知数轴上A、B两点所对应的数分别是1和3，P为数轴上任意一点，对应的数为x．

（1）则A、B两点之间的距离为________；

（2）式子|x-1|+|x-3|+LL+|x-2017|+|x-2019|的最小值为________．

【答案】2；510050．

【详解】（1）A、B两点之间的距离为3-1=2，

故答案为：2；

（2）由已知条件可知，|x-a|表示数x到数a的距离，

只有当x到1的距离等于x到2019的距离时，式子即可取最小值，

1+2019

\当x==1010时，|x-1|+|x-3|++|x-2017|+|x-2019|取最小值，

2LL

最小值为：|1010-1|+|1010-3|+LL+|1010-2017|+|1010-2019|

=1009+1007+1005+L1+1+L+1005+1007+1009

=2´(1009+1007+1005+L1)

第12页共33页.

(1009+1)´505

=2´

2

=510050

10.数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B

两点之间的距离AB＝|a﹣b|；利用数形结合思想回答下列问题：

①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是．

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为．数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为．

③若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|的最小值＝．

④若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣4|＝5，则满足条件的所有整数x的和是．

⑤若x表示一个有理数，且|x﹣3|+|x+1|＝8，则满足条件的x的所有值是．

【分析】①利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；

②利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；

③利用数形结合思想和题干中的结论解答即可；

④利用数形结合思想和题干中的结论将满足条件的所有整数一一列举，并把它们相加即可得出结论；

⑤利用数形结合思想和题干中的结论结合绝对值的意义解答即可．

【解答】解：①数轴上表示1和﹣5的两点之间的距离是|1﹣（﹣5）|＝6，

故答案为：6；

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|，

数轴上表示x和7的两点之间的距离表示为|a﹣7|，

故答案为：|x+2|；|x﹣7|；

③∵|x﹣2|+|x+4|是表示x的点到表示2，﹣4两点的距离之和，

∴当x在2和﹣4之间时，|x﹣2|+|x+4|的值最小，最小值为|2﹣（﹣4）|＝6，

故答案为：6；

④∵|x+1|+|x﹣4|＝5是表示x的点到表示﹣1，4两点的距离之和为5，

又表示﹣1，4两点的距离之和为5，

∴数x在﹣1和4之间，

∵x为整数，

∴满足条件的所有整数x的值为：﹣1，0，1，2，3，4，

∴满足条件的所有整数x的和是﹣1+0+1+2+3+4＝9，

故答案为：9；

⑤∵|x﹣3|+|x+1|＝8是表示x的点到表示﹣1，3两点的距离之和为8，

又∵3﹣（﹣1）＝4，

∴表示x的点可能在3的右侧或在﹣1的左侧，

即x＞3或x＜﹣1．

第13页共33页.

当x＞3时，

∵|x﹣3|+|x+1|＝8，

∴x﹣3+x+1＝8，

解得：x＝5；

当x＜﹣1时，

∵|x﹣3|+|x+1|＝8．

∴3﹣x﹣x﹣1＝8，

解得：x＝﹣3，

综上，满足条件的x的所有值是5和﹣3．

故答案为：5和﹣3．

【点评】本题主要考查了有理数的减法，绝对值，数轴，利用数形结合的方法解答是解题的关键．

考点4：利用数轴信息进行有理数的加减运算

11．邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2km到达A村，继续向西骑行3km到达B村，然后向东骑行9km

到达C村，最后回到邮局．

(1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，以1个单位表示1km，在该数轴上表示A，B，C三个村庄的位置；

(2)C村离A村有多远？

(3)邮递员一共骑行了多少千米？

【答案】(1)答案见解析

(2)6千米

(3)18千米

【详解】（1）解：

（2）解：C村离A村的距离为4--2=6(km)；

（3）解：邮递员一共行驶了2+3+9+4=18（千米）．

12.如图，是北京S1线地铁的分布示意图，其中桥户营、四道桥、金安桥、苹果园四站在同一条直线上．如

果在图中以正东为正方向建立数轴，桥户营站、苹果园站表示的数分别是-4，2，那么金安桥站表示的数

是___________．

第14页共33页.

【答案】0

【详解】∵桥户营站、苹果园站表示的数分别是-4，2，

∴桥户营站与苹果园站的距离是2-（-4）=6，

∵桥户营站与苹果园站之间共有三个单位长度，

∴每个单位长度表示6¸3=2，

∴金安桥表示的数是2-2=0，

故答案为：0．

13．A，B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的

数记录如表．

(1)根据题意，填写下列表格：

时间（秒）057

A点在数轴上的位置100___________

B点在数轴上的位置___________1220

(2)A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________；

(3)在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一

直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）．

①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？

②A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出第二次提示？

【答案】(1)见解析

(2)3；4

55

(3)①A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；②A、B两点开始运动后，

36

经过3.5秒感应器开始发出第二次提示

【分析】（1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B在0秒

时的位置即可；

（2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点在0秒时的位置，

结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可；

（3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次

提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可；

②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出时间即可．

【详解】（1）解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10，

5秒时，点A在数轴上的位置为0，

10-0

∴点A向左运动，且运动速度为=2个单位/秒，

5

第15页共33页.

∴7秒时，点A在数轴上的位置为10-2´7=-4；

∵5秒时，点B在数轴上的位置为12，

7秒时，点B在数轴上的位置为20，

20-12

∴点B向右运动，且运动速度为=4个单位/秒，

7-5

∴0秒时，点B在数轴上的位置为20-4´7=-8，

时间（秒）057

A点在数轴上的位置100-4

B点在数轴上的位置-81220

（2）解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，

则A、B两点相遇时间为：

10--8

=3（秒）；

2+4

相遇时A、B两点对应的数为10-2´3=4；

故答案为：3；4．

（3）解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示，

10--8-85

∴感应器开始发出提示的时间为：=（秒）；

2+43

∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示，

∴持续8-3=5个单位，

55

∴第一次提示持续时间为=（秒），

2+46

55

即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；

36

②∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示，

10--8+3

∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：=3.5（秒），

2+4

A、B两点开始运动后，经过3.5秒感应器开始发出第二次提示．

【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解题的关键是根据表格中的数据得

出A、B两点运动的速度和方向．

考点5：新定义运算问题

第16页共33页.

14．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）规定符号a,b表示两个数中较小的一个，规定符号a,b表示两

é23ù

个数中较大的一个，例如：2,1=1，2,1=2，则-2,3+-,-的值为（）

ëê34ûú

81179

A．-B．-C．D．

3434

【答案】A

【分析】

本题考查了新定义，有理数的加减；

é23ù2

根据新规定求出-2,3=-2,-,-=-，然后计算即可．

ëê34ûú3

é23ù2

【详解】解：由题意得：-2,3=-2,-,-=-，

ëê34ûú3

é23ù28

∴-2,3+-,-=-2-=-，

ëê34ûú33

故选：A．

15．阅读材料寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n可以使（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝

n﹣2c，如果1⊕1＝2，那么2020⊕2020＝．

【答案】﹣2017

【详解】解：由（a+c）⊕b＝n+c，a⊕（b+c）＝n﹣2c可得出，（a+c）⊕b＝a⊕b+c＝n+c，a⊕（b+c）＝

a⊕b﹣2c＝n﹣2c，

∵1⊕1＝2，

∴（1+2019）⊕1＝1⊕1+2019＝2+2019＝2021，即2020⊕1＝2021．

又∵2020⊕（1+2019）＝2020⊕1﹣2×2019＝2021﹣2×2019＝2021﹣4038＝﹣2017，

∴2020⊕2020＝﹣2017．

16.设x表示不大于x的最大整数，如3.2=3,-2=-2，

（1）6.9=___________；

（2）-7.1--3=__________；

【答案】6-5

【详解】解：（1）由：x表示不大于x的最大整数，

可得：6.9=6；

故答案为：6；

（2）解：-7.1=-8,-3=-3，

∴-7.1--3=-8--3=-5；

故答案为：-5．

第17页共33页.

考点6：有理数的加减在实际生活中的应用

17．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现

金社会发展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是

（）

微信转账+50.00

扫二维码付款-75.00

微信红包+66.00

便民菜站-18.00

A．收入23元B．支出23元C．收入116元D．支出93元

【答案】A

【分析】根据收入记作“+”，支出记作“-”，收入与支出之和就是结余钱数，然后计算得出结果．

【详解】解：50-75+66-18

=-25+66-18

=23（元），

∴元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是收入23元．

故选：A．

【点睛】本题考查了正负数的表示方法以及有理数的加减运算．正确理解正数与负数的相反意义是解题的

关键．

18．小明同学将2B铅笔笔尖从原点O开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成

第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操

作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留

在点P处，则点P对应的数是（）．

A．0B．-10C．-25D．50

【答案】D

【详解】解：规定正方向为正、负方向为负，则

1-2+3-4+L+99=1-2+3-4+L+97-98+99=-49+99=50，

故选：D．

19．某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表

示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数）：

城市伦敦北京东京多伦多纽约

国际标准时间0+8+9-4-5

第18页共33页.

(1)伦敦时间中午12点时，北京的当地时间是_________点，纽约的当地时间是_________点：

(2)某人在北京首都机场乘坐中午12点整的航班飞往伦敦，若飞行时间为12小时，则此人到达伦敦时，伦

敦的当地时间是几点?（以上时刻均用24小时制作答）

【答案】(1)20，7

(2)16点

【详解】（1）12+8=20（时），12+(-5)=7（时）；

答：北京的当地时间是20点，纽约的当地时间是7点；

（2）12+12-8

=16（时）；

答：伦敦的当地时间是16点．

20．为了庆祝中华人民共和国成立72周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，

其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km，－1.2km，+1.1km，－1.4km．

(1)求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度；

(2)已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在做完这四个表

演动作过程中，一共消耗了多少升燃油？

【答案】(1)1.5km

(2)25.8升

【详解】（1）解：0.5+2.5-1.2+1.1-1.4=1.5（千米）；

答：飞机完成这四个表演动作后离地面的高度1.5千米；

（2）解：(2.5+1.1)´5+(1.2+1.4)´3

=3.6´5+2.6´3

=18+7.8

=25.8（升)，

答：一共消耗了25.8升燃油．

21．小颖大学暑假期间在某玩具厂勤工俭学．厂里规定每周工作6天，每人每天需生产A玩具30个，每周

生产180个．下表是小颖某周实际的生产情况（增产记为正、减产记为负）：

星期一二三四五六

增减产值＋9-7-4＋8-1＋6

(1)根据记录的数据可知小颖星期二生产玩具___________个；

(2)根据记录的数据可知小颖本周实际生产玩具___________个；

(3)该厂规定：每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元，少生产一个则

倒扣2元；工资采用“每日计件工资制”或“每周计件工资制”．小颖本周应选择哪种工资形式更合算？请说明

理由．

第19页共33页.

【答案】(1)23

(2)191

(3)选择每日计件工资制更合算，见解析

【详解】（1）小颖星期二生产玩具30-7=23（个）；

故答案为：23；

（2）本周实际生产玩具：30´6+(+9-7-4+8-1+6)=191（个）；

故答案为：191；

（3）每日计件工资制：

5´191+(9+8+6)´3-(7+4+1)´2

=955+69-24

=1000（元），

每日计件工资制，小颖本周的工资总额是1000元；

每周计件工资制：

5´191+(191-180)´3=988（元），

每周计件工资制，小颖本周的工资总额是988元；

988<1000，

∴小颖应选择每日计件工资制更合算．

考点7:规律探究创新题

22．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结

果为（）

A．-3B．-5C．5D．9

【答案】D

【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得

到答案．此题考查了有理数的加减混合运算，根据图形，发现规律是解题的关键．

【详解】解：由题意可得，

1+4-2+3=5-5=0，

2+4--2+3=6-1=5，

-3+5--1+6=2-5=-3，

∴-3+5--1-6=2+7=9，

故选：D．

第20页共33页.

1111

23．观察下列各式的特征：|7-6|=7-6；|6-7|=7-6；-=-；

2525

1111

-=-，根据规律，解决相关问题：

5225

（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）；

①|7-21|=_____________；

77

②-=___________．

1718

（2）当a>b时，|a-b|=___________；当a<b时，|a-b|=__________．

（3）有理数a在数轴上的位置如图，则化简|a-2|的结果为___________

A．a-2B．a+2C．2-a