第04讲 有理数的加法（2个知识点+5个考点+易错分析）原卷版

第04讲有理数的加法

（2个知识点+5个考点+易错分析）

模块一思维导图串知识1.掌握有理数加法的运算法则,能熟练进行有理数的加

模块二基础知识全梳理（吃透教材）法运算,体会分类和归纳的思想方法，

模块三核心考点举一反三2.理解并灵活运用有理数的加法运算律简化运算

模块四小试牛刀过关测3.在利用有理数的加法解决实际问题的过程中,提高分

析问题和解决问题的能力

知识点1.有理数的加法法则（重点）

①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．

②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数

的两个数相加得0．

③一个数同0相加，仍得这个数．

（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法

则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）

【例1】下列说法中正确的是（）

A．两数相加，其和大于任何一个加数

B．异号两数相加，其和小于任何一个加数

C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零

D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号

方法总结：本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键．

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【变式1-1】若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（）

A．相等B．都是零

C．互为相反数D．有一个数是零

【变式1-2】两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是（）

A．同号且为正B．互为相反数C．异号D．同号且为负

【例2】计算：

51

(1)(－0.9)＋(－0.87)；(2)(＋4)＋(－3)；

62

1

(3)(－5.25)＋5；(4)(－89)＋0.

4

方法总结：两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值．

【变式2-1】下列各式计算正确的是（）

A．(−3)+(−3)=0B．0+(−5)=−5

C．(−10)+(+7)=+17D．(−3)+(−7)=−4

【变式2-2】计算：

æ1öæ2ö

(1)(+20)+(+12)；(2)ç-÷+ç-÷；(3)(+2)+(-11)；

è2øè3ø

(4)(-3.4)+(+4.3)；(5)(-2.9)+(+2.9)；(6)(-5)+0．

【例3】已知|a|＝5，b的相反数为4，则a＋b＝________．

方法总结：本题涉及绝对值和相反数的定义，在解决绝对值问题时要注意考虑全面，避免造成漏解．

【变式3-1】若一个数的绝对值等于2，另一个数是−1的相反数，则这两个数的和是（）

A．3B．−1C．3或−1D．±3或±1

【变式3−2】|푎|=5，|푏|=3，且푎<푏，则푎+푏的值为______．

知识点2.有理数加法的运算律（难点）

交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．

【例4】运用加法交换律和结合律计算：

（1）3+(−10)+7=3________7________(−10)=_________；

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（2）(−6)+12+(−3)+(−5)=[(−6)_______(−3)_______(−5)]_______12=_______．

方法总结：本题主要考查了有理数的加法运算规律，熟记有理数的加法交换律和结合律是解决本题的关键．

【变式】利用加法的交换律和结合律，将＋2＋－1－1写成

4-137155737

_____________________________________，可以使运算简便．

【变式4-2】在()里写出每一步变形过程的依据．

(－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2)

＝(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2)(_______)

＝[(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)]

(________)

＝(－19)＋(＋21)(________)

＝2．(________)

【例5】计算：

(1)31＋(－28)＋28＋69；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)；

3222

(3)(＋6)＋(－5)＋(4)＋(1＋1)．

5353

方法总结：合理地运用有理数的加法运算律可使计算简化．在进行多个有理数相加时，在下列情况下一般可

以用加法交换律和加法结合律简化运算：①有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加；②有互为相反

数的两数可以互相消去，和为0，可以先行相加；③有许多正数和负数相加时，可以先把符号相同的数相加，

即正数和正数相加，负数和负数相加，再把一个正数和一个负数相加．

3

【变式5-1】计算6+−51+−63+(+1.2)+(−2.75)+1.8，所得的结果是()

444

A．－3B．3C．－5D．5

【变式5-2】计算：

32

(1)(−3)+12+(−17)+(+8)(2)2+5+(−2.75)+−51

433

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易错点：拆分带分数时出现符号错误

【例6】阅读下面文字：

5231

对于(-5)＋(-9)＋17＋(-3)，

6342

可以按如下方法计算：

5231

原式＝[(-5)+(-)]＋[(－9)＋(-)]＋(17+)＋[(-3)+(-)]

6342

5231

＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[(-)＋(-)＋＋(-)]

6342

1

＝0＋(-1)

4

1

＝－1.

4

上面这种方法叫拆项法．

521

仿照上面的方法，请你计算：(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036.

632

【变式6-1】拆项法计算：

æ5öæ2ö2æ1ö

ç-2000÷+ç-1999÷+4000+ç-1÷

è6øè3ø3è2ø

æ7öæ5öæ1ö

【变式6-2】拆项法．计算：ç-2022÷+ç-2021÷+ç-1÷+4044．

è24øè8øè6ø

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æ3öæ2ö2æ1ö

【变式6-3】折项法计算：ç-55÷+ç-44÷+100+ç-1÷．

è4øè3ø3è4ø

考点1：利用数轴信息进行有理数的加法运算

1．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a+b___0．（填“＞”、“＜”或“＝”）

2．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是．

3．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A

到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A，B，C所对应的数的和是m．

(1)若以点A为原点，则数轴上点B所表示的数是__________；若以点B为原点，则m=_________；

(2)若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为4，求m的值．

考点2：有理数与相反数、绝对值的综合考查

4．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）已知a是最大的负整数的相反数，|b+4|=2，且

|c-5|+|d-3|=0．式子a-b-c+d的值为__________．

12

5．（1）求3的相反数与-2的绝对值的和；

33

（2）若|a-2|与|b+5|互为相反数，求a+b的值．

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6．以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C刚好对着直尺上的刻度2，刻度8和刻

度10，如图所示．设点A，B，C所表示的数的和是p，该数轴的原点为O．

(1)若点A所表示的数是-1，则点C所表示的数是___________；

(2)若点A，B所表示的数互为相反数，则数轴的原点O对应直尺上的刻度为___________，此时p的值为

___________；

(3)若点C，O之间的距离为4，求p的值；

(4)该数轴的单位长度不变，在（2）的基础上移动原点O．

①将原点沿数轴向左移动1厘米，p的值为___________，再将原点O向左移动1厘米，p的值为

___________；

②猜想原点O沿着数轴每向左移动1厘米，p的值将会如何变化．

考点3：有理数的加法在实际生活中的应用

7.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为

正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km)

＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.

(1)B地在A地何方，相距多少千米？

(2)若汽车行驶1km耗油aL，求该天耗油多少L?

方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反

意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，其次是要正确理解题目意图，选择正确的方式解

答．

8.某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．某天自A地出发到收工时所走路线（单

位：千米）为：-10，-3，+4，+7，-8，+13，-2，-12，+8，+5．

(1)问收工时距A地多远？在哪个方向？

(2)若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？

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9.小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段

路程依次为：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（单位：cm）

(1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？

(2)小虫离开O点最远时是多少？

(3)在爬行过程中，如果每爬行1cm奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？

10.在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约

定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，-9，+8，-7，13，-6，+10，-5，

(1)B地在A地的哪边？距A地多少千米？

(2)救灾过程中，最远处离出发点A有多远？

(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱原油量为29升，求途中还需补充多少升油？

考点4：幻方计算题

11．在﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4，m这9个数中，m代表一个数，你认为m是多少时，能够使这9

个数分别填入图中的9个空格内，使每行的3个数、每列3个数、斜对角3个数个数相加均为零．

(1)我认为m＝_______．

(2)按要求将这9个数填入如图的空格内．

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12．如图是3×3的三阶幻方，将2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数分别填入下列两个方格中，使

得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．

(1)方格正中间位置的数是_______．

(2)将两个幻方补充完整．

13．（1）如图1，请你在圆圈内填上恰当的不同有理数，使每条线上的3个数和为0．

（2）如果将中心处的0改为-5，使每条线上的3个数之和为-15呢？请在图2中试一试．

考点5：新定义运算

14.设x表示不超过x的最大整数，计算：ëé-2.3+6.5ûù=______．

15．（23-24七年级上·福建南平·阶段练习）对于有理数a，b定义新运算：“V”，a△b=b，则关于该运算，

下列说法正确的是．（请填写正确说法的序号）

①-5V7=-5；②5V7=-9V7；③若a△b=b△a，则a=b；④该运算满足交换律．

16．（23-24七年级上·陕西宝鸡·期末）数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算*，叫做‘星加’运算．”

然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：(+3)*(+6)=(+9)；(+5)*(-3)=(-8)；

(-2)*(+4)=(-6)；(-4)*(-3)=(+7)；0*(+8)=8；(-6)*0=6．根据上述材料，回答下列问题：

(1)归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，______特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0

进行“*”运算，______；

(2)计算(-7)*0*(-2)=______；

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(3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“*”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子

即可）

一、单选题

1．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）绝对值大于2而小于5的所有整数的和是（）

A．-7B．0C．7D．10

2．（22-23七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）气温由-5°C上升2°C后是（）

A．1°CB．3°CC．-3°CD．-7°C

3．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果a+b的值是负数，则a与b的值（）

A．一定都是正数B．一定都是负数

C．一定是一个正数，一个负数D．至少有一个是负数

4．（23-24七年级上·浙江·期末）计算-7+3的结果是（）

A．-4B．-10C．4D．10

5．（23-24七年级上·广东潮州·期中）若两个数之和为正数，则这两个数（）

A．都是正数B．只有一个正数

C．至少有一个是正数D．以上都不对

6．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果|x-3+y+1|＝0，那么x+y等于（）

A．-4B．4C．2D．-2

7．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点A，B表示的数分别是a，b，且满足a+b=2，则下

列各式的值一定是正数的是（）

A．aB．bC．-aD．-b

8．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如果a>0，b<0，a+b<0，则下列各式中大小关系正确的是

（）

A．-b<-a<b<aB．-a<b£a<-b

C．b<-a<-b<aD．b<-a<a<-b

二、填空题

9．（22-23七年级上·吉林·期末）比-8大2的数是．

10．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a+b的值

0（填“大于”、“小于”或“等于”）．

11．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，-2，

3，-4，5，-6，7，-8分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，

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他已经将-4、5、7、-8这四个数填入了圆圈，则图中a+b的值为．

12．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）用符号a,b表示a，b两数中的较大者，用符号a,b表示a，b

é1ùæ3ö

两数中的较小者，则-1,-+ç0,-÷的值为．

ëê2ûúè2ø

13．（23-24七年级上·北京昌平·期中）绝对值小于2023的所有整数的和为．

14．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算

1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+L+2013+(-2014)+(-2015)+2016+2017+(-2018)=．

15．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）a、b、c三个数的位置如图所示：则a+b0，b+c0(填>

或<)

三、解答题

16．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算

æ1öæ1ö

(1)-2.2+3.8；(2)ç-÷+ç-÷．

è2øè3ø

17．（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法计算：

(1)-51++12+-7+-11++36

æ5öæ3öæ3ö

(2)ç-4÷+7.75+ç-1÷+ç-2÷

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