第01讲 正数和负数、有理数5个知识点+3个考点+5个易错分析（原卷版）

第01讲正数和负数、有理数

(5个知识点+3个考点+5个易错分析）

模块一思维导图串知识1.借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用

模块二基础知识全梳理（吃透教材）正、负数表示生活中具有相反意义的量。

模块三核心考点举一反三2.会判断一个数是正数是负数

模块四小试牛刀过关测3.理解有理数的意义，并能对有理数进行分类。

4.能用正、负数解决有关实际问题，增强应用意识。

知识点1：正数、负数的定义（重点）

1.正数

像2%,4,3.5这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如+2,+0.7。

2.负数

像-3,-2.7%,-4.5这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数

3.“0”的特性

0既不是正数,也不是负数.0是正数与负数的分界

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【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？

12549

3.2，-，，-1，+2.009，-108，+，81．

23625

【变式】任意写出个正数和个负数，并分别把它们填入相应的集合里．

方法总结：对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本

质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数，后面会学到＋(－3)不是正数，－(－2)不是负数．

知识点2：用正数和负数表示具有相反意义的量（重点）

1.日常生活中,表示相反意义的量的常用词语:

收入盈利上升零上增加向东(南)…

支出亏损下降零下减少向西(北)…

2.具有相反意义的量的规定

为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意

选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支

出、零下”等规定为负.

【例2】.下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（）

A购进50kg苹果与卖出-50kg苹果

B高出海平面786m与低于海平面230m

C向东走-9m和向西走10m

D飞机上升100m与飞机前进100m

【变式】如果某水库警戒水位150米记作0米，那么151米记作，148米记作．

方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为

“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量

表示为负．

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知识点3：对“0”的认识

1.表示没有

例如,0个苹果,意思是没有苹果

2.表示数时起到占位的作用

如10605中的两个0,分别占的是十位和千位

3.表示某种量的基准

例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度

4.表示某些数量的分界

0既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界

5.表示起点

例如,在米尺上,刻度的起点为“0”

【例3】下列对“0”的说法正确的个数是()

①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；

⑤0是自然数．

A．3B．4C．5D．0

【变式】判断题

（l）0是自然数，也是偶数（）。

（2）0可以看成是正数，也可以看成是负数（）。

（3）温度0℃就是没有温度（）。

方法总结：“0”的意义不要单纯地认为表示“没有”的含义，其实“0”表示的意义非常广泛，比如：冰水

混合物的温度就是0℃，0是正、负数的分界点等．

知识点4：有理数的相关概念（重点）

1.整数

正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等

2.分数

正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有

限小数和限循环小数又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数.

3.有理数

整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式，

4.几个常用数学名词的含义

(1)正整数:既是正数,又是整数的数

(2)负整数:既是负数,又是整数的数

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(3)正分数:既是正数,又是分数的数

(4)负分数:既是负数,又是分数的数

(5)非负数:正数和0.

(6)非正数:负数和0.

(7)非负整数(也叫自然数):正整数和0.

(8)非正整数:负整数和0.

(9)正有理数:正整数和正分数

(10)负有理数:负整数和负分数

(11)非正有理数:0、负整数和负分数

(12)非负有理数:0、正整数和正分数

452

【例4】下列各数：－，1，8.6，－7，0，，－4，＋101，－0.05，－9中，()

563

A．只有1，－7，＋101，－9是整数

B．其中有三个数是正整数

C．非负数有1，8.6，＋101，0

44

D．只有－，－4，－0.05是负分数

55

方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数．

【变式】下列说法中正确的是（）

A．0不是有理数B．有理数不是整数就是分数

C．在有理数中有最小的数D．若a是有理数，则-a一定是负数

知识点5：有理数的分类（重点、难点）

1.有理数的分类：

ìì正整数ìì正整数

ïïï正有理数í

ï整数í零ïî正分数

ïïï

按意义分：有理数íî负整数；按符号分：有理数í零．

ïï

ì正分数ì负整数

ï分数ï负有理数

ïíïí

îî负分数îî负分数

注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；

（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．

（3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环

小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理

数．

2.集合

把满足一定条件的所有数放在一起,就组成了一个集合,简称数集

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1333

【例5】把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－7，3，－10%，，2，0，3.14，－67，，0.618，

241017

－1，0.3080080008…

正数集合{…}；

负数集合{…}；

整数集合{…}；

分数集合{…}．

1522

【变式1】把以下各数填入相应的集合里：-3.14，4.3，+72，0，，-6，-7.3，-12，0.4，-，，

367

26．

(1)正数集合：{…}；

(2)负数集合：{…}；

(3)正整数集合：{…}；

(4)负整数集合：{…}；

(5)非负数集合：{…}．

122

【变式2】把下列的数填入相应的集合中：7，0.618，-3，-1，0，30%，+1006，

27

正分数集合：（）；

非负整数集合：（）；

负分数集合：（）．

【变式3】把下列各数分别填入相应的集合里．

1

1，－0.20，3，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004．

5

非正数集合：{…}；

非负数集合：{}；

非正整数集合：{…}；

非负整数集合：{}；

非正有理数集合：{…}；

非负有理数集合：{}．

方法总结：在填数时要注意以下两种方法：

(1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一集合；(2)逐个填写相应集合，从给出的数中找

出属于这个集合的数，避免出现漏数的现象．

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易错点01对“0”的含义理解不准确

小学阶段开始学习数的时候,0表示没有,学习了负数后,0除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界

易错点02对负数表示的意义理解不清

具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示

易错点03用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位

易错点04误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数

正数前面的“+”号有时可以省略,省略“+”号后仍是正数;但是带有“+”号或省略“+”号的数不一定是

正数,带有“-”号的数不一定是负数.

易错点05不能正确理解有理数的分类而出错

有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略0而引起

考点一：正数、负数的实际应用

考查题型一：用正数、负数记录成绩

例1.某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，

不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣

8、+1、5、+10．这10名同学中，

【变式1-1】某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为

负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名

同学中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

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【变式1-2】某班级抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为

负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这10名同学

中，

(1)最高分是多少？

(2)最低分是多少？

(3)10名同学的平均成绩是多少？

【变式1-3】下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题：

姓名王芳刘兵张沂李聪江文

成绩8984

与全班平均分之差+20-6-2

(1)把表格补充完整；

(2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率?

考查题型二：用正数、负数表示误差范围

例2.如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±0.02表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实

际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）

A．30mmB．30.03mmC．30.3mmD．30.04mm

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【变式2-1】一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”，则下列面粉中合格的是（）

A．25.30kgB．24.80kgC．25.51kgD．24.70kg

【变式2-2】“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“500±30mL”字样，其中500表示标准容量是500m

L，+30表示最多不超过30mL，那么-30表示．

【变式2-3】某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含

义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查产品的容量是否

合格？

方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即500是标准，“＋”表示比标准多，

“－”表示比标准少．

考点二：与正数、负数相关的表格信息题

例3.某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下：

美国德国英国中国日本意大利

-3.4%-0.9%-5.3%2.8%-7.3%7.0%

这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪

国增长率最低？

【变式3-1】（2023秋•台州期末）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能

减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以20km为基

准，超出记为正，不足记为负），如表：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

路程(km)-3-4+20+7+35+23

（1）该汽车行驶路程最多的一天是，这一天的实际行驶路程是km．

（2）若该新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电约为0.5元，求王老师这一星期开新能源汽车的

电费．

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【变式3-2】今年的“十•一”黄金周是7天的长假，徐州市吕梁风景区在7天假期中每天旅游人数变化如

表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少）

日期1日2日3日4日5日6日7日

人数变化+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4﹣0.2+0.4﹣0.5

单位：万人

若9月30日的游客人数为0.1万人，问：

（1）10月4日的旅客人数为万人；

（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多万人？

（3）如果每万人带来的经济收入为50万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？

【变式3-3】“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业

额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为26万元：

10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日

+4+3+20﹣1﹣3﹣5

（1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？

（2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元）

考点三：正数、负数的规律探究题

例4.观察下列数列，填上空缺的数．

（1）1，-1，2，-2，3，______，______，______；

（2）1，-2，3，-4，5，______，______，______．

14．桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转次能使所有硬币都反面朝

上．

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【变式4-1】．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数．

（1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，，；

（2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16，，；

（3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，，.

【变式4-2】（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的3个数分别

是，，；

1234

（2）有一列数：，，，，…．那么接下来的第7个数是．

251017

【变式4-3】观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、

第2015个数吗？

(1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…；

111

(2)一列数：－1，，－3，，－5，，____，____，____，….

246

方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列

的特征．

一、单选题

2

1．（23-24七年级上·广东汕头·期末）在-2，+3.5，0，-，-0.7中分数有（）个．

3

A．1B．2C．3D．4

2．（23-24七年级上·河南许昌·期中）在十月份结束的杭州亚运会女子举重49公斤级比赛中，朝鲜选手

李盛金创造该组赛会记录和世界记录，以总成绩216公斤夺冠，中国选手蒋惠花以总成绩213公斤拿到银

牌，泰国选手素乍龙以总成绩199公斤获得铜牌．若将216公斤记为+1，则199公斤可记为（）

A．+1B．-17C．-16D．+17

3．（23-24七年级上·广东广州·期中）初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，个数为54个记为+4

个，则个数为46个应记为（）

A．-8个B．-4个C．4个D．+46个

二、填空题

4．大米包装袋上10±0.1kg的标识表示此袋大米重量的范围是．

5．（23-24七年级上·广东肇庆·期末）某厂家生产一种袋装食品的标准重量是500克，质检员把每袋超

出的部分记作正数，不足的部分记作负数，质检员随机测得袋食品质量为501克，则记作．

6．（23-24七年级下·福建福州·期中）某蓄水池的标准水位记为0m，若+0.08m表示水面高于标准水位

0.08m，则水面低于标准水位1.2m，可记为m．

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三、解答题

2

7．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从-3，9，0，-10%，3.14，，1300这些数中，选择适

7

当的数填入图中相应的位置．

3

8．把下列各数按要求分类填在相应的大括号内：-11，-，-9，0，+12，-6.2，-p，-4%．

5

(1)整数集合：｛｝

(2)分数集合：｛｝

(3)非负整数集合：｛｝

(4)负有理数集合：｛｝

9．（2023秋•荔湾区期末）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平

均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并

将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值．

棒次123456789101112

里程波动值26-53-2