湖北省黄冈市2024年中考数学模拟试卷(A)(解析版)

湖北省黄冈市2024年中考数学模拟试卷（A）（解析版）

一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）

1.-7的倒数是（）

A.--B.7C.—D.-7

77

2.如图所示的几何体的俯视图是（）

3.一年之中地球与太阳之间的距离随时间血改变，1个大文单位是地球与太阳之间平均距

离，即1.4960亿千米，用科学记数法表示1个天文单位应是（）

A.1.496（）X1（）7千米B.I4.960XU千米

C.1.4960X1（）8千米D.0.14960X109千米

4.下列运算正确的是（）

A.K-3.14=0B.^2+V3=V5C.aa=2aD.a3-ra=a2

5.如图，将一块含有30。角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，假如Nl=27。,

那么/2的度数为（

6.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax?+bx与y=bx+a的图象可能是（)

二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

7.I~^2\=.

8.分解因式：1-x2+4xy-4y2=.

9.使函数y=4访+正看有意义的自变量x的取值范围是

10.如图，AB和。O切于点B,AB=5,OB=3,则tanA二.

11.若关于x的函数y=kx2+2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为.

12.已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm,另一条直角边BC=5cm,则以AB为轴

旋转一周，所得到的圆锥的表面枳是.

13.若关于X的方程，ax小4/+1无解，则a的值是

x-2x—2

14.如图，正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3,点F是边BC上不与点B,

C重合的一个动点，把AEBF沿EF折叠，点B落在B，处.若ACDB，恰为等腰三角形，则

DB，的长为

三、解答题（共10道题，共78分）

卜+3>0

15.解不等式组j2(x-1)〉3’在数轴上表示解集，并推断x=正是否为该不等式组的解.

16.今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增

长30%和20%,去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅

游的人数.

17.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长

线于点F,点G在边BC上，且/GDF=NADF.

（1）求证：△ADEgABFE；

（2）连接EG,推断EG与DF的位置关系并说明理由.

18.如图，反比例函数广氐（kro,x>0）的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A

x

（1,3）作AB_Lx轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD.

（1）求k的值；

（2）求点C的坐标：

（3）在y轴上确定一点M,使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐

标.

y

“BZ

19.“中国梦”关乎每个人的华蜜生活，为进一步感知我们身边的华蜜，呈现黄冈人追梦的风

采，我市小河中学开展了以“幻想中国，逐梦黄冈〃为主题的演讲大赛.为确定演讲依次，在

一个不透亮的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3,加，加+6.从

盒子中随机抽取一张卡片，请干脆写出卡片上的实数是3的概率；

（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数：卡片不放回，再随机抽

取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次抽

取的卡片上的实数之差为有理数的概率.

20.如图，四边形ABCD内接于AB是00的直径,AC和BD相交于点E,且DC?;CECA.

（1）求证：BC=CD：

（2）分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF_LCD交CD的延长线于点F,若PB=OB,

CD=2加，求DF的长.

21.青少年“心理健康〃问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理

健康状况，实行了一次“心理健康”学问测试，并随即抽取了部分学牛•的成果（得分取正整数,

满分为100分）作为样本，绘制了下面未完成的频率分布表和频率分布直方图.请回答下列

问题：

分组频数频率

50.5〜60.540.08

60.5-70.5140.28

70.5〜80.516

80.5〜90.5

90.5〜100.5100.20

合计1.00

（1）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图：

（2）若成果在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好

的人数占总人数的70%以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，，否则就须要加强心里

辅导.请依据上述数据分析该校学生是否须要加强心里辅导，并说明理由.

22.如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，

他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30。，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，

在A处测得大树顶端B的仰角是48。.若斜坡FA的坡匕i=l：立，求大树的高度.（结果

保留整数,参考数据:sin48°^0.74,cos48°^0.67,tan48°^l.ll,加21.73）

B

EAY=========7C

23.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往日地，两车同时动身，设客车离甲地

的距离为山千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，W、y2关于

x的函数图象如图所示：

（1）依据图象，干脆写出yi、y?关于x的函数图象关系式；

（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；

(3)甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车

恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离.

24.如图，抛物线y=|x2--1x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交

于点C.

(1)求点A、B的坐标；

(2)设D为已知抛物线内对称轴上的随意一点，当4ACD的面积等于AACB的面积时，

求点D的坐标；

(3)若直线I过点E(4,0),M为直线1上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三

备用图1备用图2

2024年湖北省黄冈市中考数学模拟试卷（A）

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）

1.-7的倒数是（）

A.--B.7C.—D.-7

77

【考点】倒数.

【分析】依据倒数的定义解答.

【解答】解：设-7的倒数是x,则

-7x=l,

解得x=-,

故选A.

【点评】主要考查倒数的概念及性质.倒数的定义：若两个数的乘积是I,我们就称这两个

数互为倒数.

【考点】简洁组合体的三视图.

【分析】依据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：从上面看左边一个正方形，右边一个正方形，

故选：B.

【点评】本题考查了简洁组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，留意全部看到的

线的都用实线表示.

3.一年之中地球与太阳之间的距离随时间而改变，I个天文单位是地球与太阳之间平均距

离，即1.4960亿千米，用科学记数法表示1个天文单位应是()

A.1.4960X1()7千米B.14.960XI()7千米

C.1.4960X108千米D.0.14960X1()9千米

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aXI()n的形式，其中lW|a|VI0,n为整数.确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同.当

原数肯定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数.

【解答】解：将1.4960亿千米用科学记数法表示为：1.4960X1为千米.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中1

WlalVlO,n为整数，表示时关键要正确确定a的伯.以及n的值.

4.下列运算正确的是()

A.n-3.14=0B.C.aa=2aD.a34-a=a2

【考点】同底数塞的除法；实数的运算；同底数鞋的乘法.

【分析】依据是数的运算,可推断A,依据二次根式的加减，可推断B,依据同底数冢的乘

法，可推断C,依据同底数耳的除法，可推断D.

【解答】解；A、n^3.14,故A错误；

B、被开方数不能相加，故B错误；

C、底数不变指数相加，故C错误；

D、底数不变指数相减，枚D正确；

故选：D.

【点评】本题考查了同底数塞的除法，同底数塞的除法底数不变指数相减.

5.如图，将一块含有30。角的直角三角板的两个顶点置放在矩形的两条对边上，假如Nl=27。,

那么N2的度数为()

O'

D.60°

【考点】平行线的性质.

【分析】依据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出N3,再依据两直线平

行，同位角相等可得N2=N3.

【解答】解：由三角形的外角性质，

N3=30°+N1=30°+27°=57°,

•・•矩形的对边平行，

:.Z2=Z3=57°.

评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性

质，熟记性质是解题的关禳.

6.在同,平面直角坐标系中，函数y=ax?+bx与y=bx+a的图象可能是（)

【分析】首先依据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质

推断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，依据选项逐一探讨解析，即川解决问题.

【解答】解：A、对于直线产bx+a来说，由图象可以推断，a>(),b>0；而对于抛物线y=ax2+bx

来说，对称轴x=-?<0,应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误.

2a

B、对于直线产bx+a来说，由图象可以推断，a<0,b<0；而对于抛物线y=ax?+bx来说，

图象应开口向下，故不合题意，图形错误.

C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以推断，aVO,b>0；而对于抛物线y=ax?+bx来说，

图象开口向下，对称轴x=-?位于y轴的右侧，故符合题意，

D、对于直线丫4*+2来说，由图象可以推断，a>0,b>0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，

图象开口向下，a<0,故不合题意，图形错误.

故选：C.

【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先依

据其中次函数图象确定“、b的符号，进而推断另个函数的图象是否符合题意；解题的

关键是敏捷运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、推断、解答.

二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分)

7.I-V^-2|=2-^/3.

【考点】实数的性质.

【分析】依据去肯定值的方法可以解答本题.

【解答】解：-泥+2|=2-正，

故答案为：2-

【点评】本题考查实数的性质，解题的关键是明确去肯定值的方法.

8.分解因式：］-x2+4xy-4y2=(l+x-2y)(l-x+2y).

【考点】因式分解-分组分解法.

【分析】首先将后三项分组，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解即可.

【解答】解：1・x?+4xy-4y2

=1-(x2-4xy+4y2)

=1-(x-2y)2

=(1+x-2y)(1-x+2y).

故答案为：(l+x-2y)-1-x+2y).

【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组再结合公式分解因式是解题关键.

9.使函数y=J就+冒,三有意义的自变量x的取值范围是」.

【考点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围.

【分析】依据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.

【解答】解：由题意得，K+220,x-1^0,

解得x2・2且xWl,

故答案为：2-2且x/l.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，驾驭二次根式中的被开

方数必需是非负数、分式分母不为0是解题的关键.

10.如图，AB和。O切于点B,AB=5,OB=3,则tanA二).

【考点】切线的性质.

【分析】由于直线AB与。O相切于点B,则NOBA=90。，AB=5,0B=3,依据三角函数定

义即可求出（anA.

【解答】解：:直线AB与。0相切于点B,

贝|JNOBA=90。.

VAB=5,0B=3,

故答案为:

5

【点评】本题主要考查了利用切线的性质和锐角三角函数的概念解直角三角形的问题.

11.若关于x的函数y=k/+2x-1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为0或-I.

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】令y=0,则关于x的方程kx2+2x・1=0只有一个根，所以k=0或根的判别式A=0,

借助于方程可以求得实数k的值.

【解答】解：令y=0,贝ijkx2+2x-1=0.

.・•关于x的函数y=kx2+2x-I与x轴仅有一个公共点，

工关于x的方程kx2+2x-I=0只有一个根.

①当k=0时，2x-1=0,即x=,,・••原方程只有一个根，...kR符合题意：

②当k¥0时，△=4+4k=0,

解得，k=-1.

综上所述，k=0或-1.

故答案为：0或-1.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点.解题时，须要对函数y=kx2+2x-1进行分类探讨:

次函数和二次函数时，满意条件的k的值.

12.已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12cm,另一条直角边BC=5cm,则以AB为轴

旋转一周，所得到的圆锥的表面积是一90ncm2.

【考点】圆锥的计算；点、线、面、体.

【分析】依据圆锥的表面积=侧面积+底面积计算.

【解答】解：圆锥的表面积二卷X10nX13+nX52=90ncm2.

故答案为：9071cm2.

【点评】本题考查了圆锥的表面面积的计算.首先确定圆锥的底面半径、母线长是解决本题

的关键.

13.若关于x的方程产ax产一4^+1无解，则a的值是2或1.

x-2x-2-------------

【考点】分式方程的解..

【分析】把方程去分母得到•个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值.

【解答】解：x-2=0,解得：x=2.

方程去分母，得：ax=4+x-2,即(a-1)x=2

当a-1#0时，把x=2代入方程得：2a=4+2-2,

解得:a=2.

当a-1=0,BPa=l时，原方程无解.

故答案是：2或1.

【点评】首先依据题意写出a的新方程，然后解出a的值.

14.如图，正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3,点F是边BC上不与点B,

C重合的一个动点，把4EBF沿EF折叠，点B落在出处.若△CDB，恰为等腰三角形，则

DBf的长为16或4次.

【考点】翻折变换(折叠问题).

【分析】依据翻折的性质，可得B，E的长，依据勾股定理，可得CE的长，依据等腰三角形

的判定，可得答案.

【解答】解：⑴当BD=B，C时,

过B，点作GH〃AD,则NB'GE=90",

当B'C=B'D时，AG=DH=^-DC=8,

由AE=3,AB=16,得BE=13.

由翻折的性质,得B，E=BE=13.

/.EG=AG-AE=8-3=5,

22=22=12

；・E-EG713-5，

ABfH=GH-BJG=I6-12=4,

:，DB，=VByH2+DH2=742+82=4V5

(ii)当DB・CD时，则DB』I6(易知点F在BC上且不与点C、B重合).

(iii)当CB'=CD时，

VEB=EB\CB=CB/,

，点E、C在BB'的乖直平分线h,

・・・EC垂直平分BB1

由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去.

综上所述，DB，的长为16或4加.

故答案为：16或4%.

【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定.

三、解答题（共10道题，共78分）

x+3>0

15.解不等式组_,在数轴上表示解集，并推断x=加是否为该不等式组的解.

乙\Xx//尹0

【考点】解一元一次不等式组：在数轴上表示不等式的解集.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，依据口诀：同大取大确定不等式组的解集，将两个

不等式解集表示在数轴上，由的即可推断.

fx+3>0①

【解答】解：解不等式组7

(2(x-1)>3②

由①得，x>-3,

由②得,x沾，

故此不等式组的解集为：

将不等式解集表示在数轴上如图：

-4-3-2....-.1...0.....1....2..5..3....4.^>

2

,•,V3<y

・・・x;夷不是该不等式组的解.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则得到不等式组解集是解答此

题的关键.

16.今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增

长30%和20%,去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅

游的人数.

【考点】二元一次方程组的应用.

【分析】设该市去年外来人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，依据总人数为226万人,

去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人，列方程组求解.

【解答】解：设该市去年外来人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，

x-y=20

由题意得，

(l+30%)x+(l+20%)y=22€，

\=100

解得:

y=80

则今年外来人数为：100X（1+30%）=130（万人），

今年外出旅游人数为：80X（1+20%）=96（万人）.

答：该市今年外来人数为130万人，外出旅游的人数为96万人.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找

出合适的等量关系，列方程组求解.

17.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长

线于点F,点G在边BC上，且NGDF=NADF.

（1）求证：ZXADE丝ZXBFE：

（2）连接EG,推断EG与DF的位置关系并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【分析】（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一

对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出4ADE04BFE；

（2）ZGDF=ZADE,以及（1）得出的NADE二NBFE.等量代换得到NGDF=NBFE,利

用等角对等边得到GF二GD,即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE二FE,即GE

为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直.

【解答】（I）证明：VAD/7BC,/.ZADE=ZBFE,

•・・E为AB的中点，・・・AE=BE,

在ZkADE和△BFE中,

rZADE=ZBFE

<NAED=NBEF，

AE=BE

AAADE^ABFE(AAS)；

(2)解：EG与DF的位置关系是EG垂直平分DF,

理由为：连接EG,

VZGDF=ZADE,ZADE=ZBFE,

AZGDF=ZBFE,

由（1）AADE04BFE得：DE=FE,即GE为DF上的中线,

・,・GE垂直平分DF.

【点评】此撅考杏了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性

质，娴熟驾驭判定与性质是解本题的关键.

18.如图，反比例函数y=K(k#0,x>0)的图象与直线y=3x相交于点C,过直线上点A

x

(1,3)作ABJ_x轴于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=3BD.

(1)求k的值；

(2)求点C的坐标；

(3)在y轴上确定一点M,使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐

标.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路途问题.

【分析】(1)依据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值:

(2)直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；

(3)作C关于y轴的对称点C\连接CD交y轴于M,则d=MC+MD最小，得到0(-

近)，求得直线C，D的解析式为y=-无x+l+无，直线与y轴的交点即为所求.

【解答】解：⑴VA(1,3),

AAB=3,OB=1,

VAB=3BD,

ABD=1,

AD(1,1)

将D坐标代入反比例解析式得：k=I；

(2)由(1)知，k=l,

・•・反比例函数的解析式为；y=L,

X

ry=3x

解：1,

y=—

X

fx/『一返

解得：J3或3,

尸Fy="V3

Vx>0,

，c(殍■，M)；

(3)如图，作C关于y轴的对称点C\连接CZD交y轴于M,最小,

.•C(-亚,,

3

设直线CT)的解析式为：y=kx+b,

.行-券k+b.>3-2V3

ll=k+b-1-2+26'

Ay=(3-2V3)x+2«-2,

当x=0时，y=2^/3-2,

AM(0,2V3-2).

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的学问有：坐标与图形性质，

待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，娴熟驾驭待定系数法是解本题

的关键.

19.“中国梦”关乎每个人的华蜜生活，为进一步感知我们身边的华蜜，呈现黄冈人追梦的风

采，我市小河中学开展了以“幻想中国，逐梦黄冈”为主题的演讲大赛.为确定演讲依次，在

一个不透亮的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3,血，V2+6.从

盒子中随机抽取一张卡片，请干脆写出卡片上的实数是3的概率；

（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽

取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次抽

取的卡片上的实数之差为有理数的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【分析】（1）干脆依据概率公式求解；

（2）画树状图展示全部6种等可能的结果，再找出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数

的结果数，然后依据概率公式求解.

【解答】解：（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请干脆写出卡片上的实数是3的概率

（2）画树状图为:

共有6种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的2种状况,

・・・P（两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数）

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示全部等可能的结果求出

n,再从中选出符合事务A或B的结果数目m,然后依据概率公式求出事务A或B的概率.

20.如图，四边形ABCD内接于。0,AB是。O的直径,AC和BD相交于点E,且DC-CECA.

（1）求证：BC=CD；

（2）分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF_LCD交CD的延长线于点F,若PB=OB,

CD=2近,求DF的长.

【考点】相像三角形的判定与性质：勾股定理：圆周角定理.

【分析】（1）求出△CDEs4CAD,NCDB=NDAC得出结论.

（2）连接OC,先证AD"OC,由平行线分线段成比例性质定理求得PC=4^，再由割线

定理PCPD=PBPA求得半径为4,依据勾股定理求得AC=2g,再证明△AFDs/XACB,

得落嗡=^^=77,则可设FD=x,AF二小x,在Rt^AFP中，利用勾股定理列出关

于x的方程，求解得DF.

【解答】（1）证明：•・・DC2=CECA,

•,•—DC_~CA,

CEDC

△CDE^ACAD,

.\ZCDB=ZDAC,

•・•四边形ABCD内接于GO,

.\BC=CD；

（2）解：方法一：如图，连接OC,

D

C

,/BC=CD,

/.ZDAC=ZCAB,

XVAO=CO,

AZCAB=ZACO,

・•・NDAC:NACO,

・・・AD〃OC.

.PC_PO

**PD~PA，

VPB=OB,CD=2近,

PC2

・•・西司TW

・・・PC=4M

又・.・PCPD:PBPA

.•.4亚（4亚+2。=OB3OB

.\OB=4,即AB=2OB=8,PA=3OB=12,

在Rl^ACB中，

AC=JAB2-BC2=近2―（275）2=2

VAB是直径，

AZADB-ZACB-900

AZFDA+ZBDC=90°

ZCBA+ZCAB=90°

VZBDC=ZCAB,

AZFDA=ZCBA,

又•・・NAFD=NACB=90°,

/.△AFD^AACB

.AFAC2仍Nr

,•而百记方二泣

在RtZXAFP中，设FD=x,则AF=J7X,

・••在RSAPF中有,（V7X）2+（X+6V2）2=122>

求得DF=^1

2

方法二；连接0C,过点0作0G垂直于CD,

PCpn

易证△PCOSAPDA,可得点=受，

PDPA

△PGO-APFA,可得票里，

PFPA

可得‘奇喑’由方法-中^^代入pc品->■黑!D厂

即可得出DF=3返.

2

【点评】本题主要考查相像三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关学问的综合运用

实力，关键是找准对应的角和边求解.

21.青少年“心理健康〃问题越来越引起社会的关注，某中学为了了解学校600名学生的心理

健康状况，实行了一次"心理健康''学问测试，并随即抽取了部分学生的成果（得分取正整数,

满分为100分）作为样本，绘制了下面未完成的频率分布表和频率分布直方图.请【可答下列

问题：

分组频数频率

50.5〜60.540.08

60.5〜70.5140.28

70.5〜80.5160.32

80.5〜90.560.12

90.5-100.5100.20

合计501.00

（1）填写频率分布表中的空格，并补全频率分布直方图；

（2）若成果在70分以上（不含70分）为心理健康状况良好，同时，若心理健康状况良好

的人数占总人数的70%以上，就表示该校学生的心理健康状况正常，否则就须要加强心里

辅导.请依据上述数据分析该校学生是否须要加强心里埔导，并说明理由.

【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表.

【分析】（1）由50.5〜60.5的频数除以对应的频率求出样本的总人数，进而求出70.5〜80.5

的频率，90.5〜100.5的频数,以及80.5〜90.5的频率与频数，补全表格即可;

（2）该校学生须要加强心理辅导，理由为：求出70分以上的人数，求出占总人数的百分比,

与70%比较大小即可.

【解答】解：（1）依据题意得：样本的容量为4+0.08=50（人），

贝I」70.5〜80.5的频率为41=0.32,80.5〜90.5的频率为I-（0.08+0.28+0.32+0.20）=0.12,

50

频数为50X0.12=6；

分组频数频率

50.5〜60.540.08

60.5〜70.5140.28

70.5〜80.5160.32

8().5〜90.560.12

90.5-100.5100.20

合计50l.(X)

（2）该校学生须要加强心理辅导，理由为：

依据题意得：70分以上的人数为16+6+10=32（人），

;心理健康状况良好的人数占总人数的百分比为警义100%=64%<70%,

50

・•・该校学牛须要加强心理辅导.

【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，弄清题意是解本题的关键.

22.如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，

他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30。，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，

在A处测得大树顶端B的仰角是48。.若斜坡FA的坡匕i=l：立，求大树的高度.（结果

保留整数,参考数据:sin48°^0.74,cos48°^0.67,tan480^l.ll,近k1.73）

【考点】解直角三角形的应用•仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】首先过点D作DMJ_BC于点M,DNJ_AC于点N,由FA的坡比i=l：遂，DA=6,

可求得AN与DN的长，然后设大树的高度为x,乂由在斜坡上A处测得大树顶端B的仰

角是48。，可得AOrX，又由在4ADM中，管二在，可得x・3=（3丘泠不）中,

1.11DM31.113

继而求得答案.

【解答】解：过点D作DM_LBC于点M,DN_LAC于点N,

则四边形DMCN是矩形,

•・・DA=6,斜坡FA的坡比i=l：的,

.•・DNRAD=3,AN=ADcos3（T=6X^=3&,

22

设大树的高度为x,

•・・在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48。,

.5148。=与"11,

AC

・•・DM=CN=AN+AC=3V347^7

X•XX

•・•在aADM中，翌♦■，

DM3

.•…(3生米冬

解得：X^13.

答：树高BC约13米.

B

ENAV=========7C

【点评】本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形,

并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.

23.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往日地，两车同时动身，设客车离甲地

的距离为yi千米，出租车离甲地的距离为丫2千米，两车行驶的时间为x小时，yi、y2关于

x的函数图象如图所示：

（1）依据图象，干脆写Ulyi、丫2关于x的函数图象关系式；

（2）若两车之间的距离为S千米，请写出S关于x的函数关系式；

（3）甲、乙两地间有A、B两个加油站，相距200千米，若客车进入A加油站时，出租车

恰好进入B加油站，求A加油站离甲地的距离.

【分析】（I）干脆运用待定系数法就可以求出yi、y2关于x的函数图关系式；

（2）分别依据当OWxV与时，当与WxV6时，当6WxW10时，求出即可；

44

（3）分A加油站在甲地与B加油站之间，B加油站在甲地与A加油站之间两种状况列出

方程求解即可.

【解答】解：（1）设yi=k|x,由图可知，函数图象经过点（10,600）,

A10k|=600,

解得：k|=60,

Ayi=60x（OWxWlO）,

设y2=k2x+b,由图可知，函数图象经过点（0,600）,（6,0）,则

rb=600

'6k2+b=0'

fk=-100

解得：?2

lb二600

Ay2=-IOOx+600（0WxW6）；

（2）由题意，得

60x=-100x+600

_15

1R

当OWxV皆时，S=y2->­1=-I60X-600；

当与WxV6时,S=yi-y2=160x-600；

当6WxW10时,S=60x；

-160x+600（0<x<—）

4

160x-600（-^<x<6）：

4

60x（64x410）

（3）由题意，得

①当A加油站在甲地与B加油站之间时，（-100x+60。）-60x=200,

解得x=5，

此时，A加油站距离甲地：60X-^-=150km,

②当B加油站在甲地与A加油站之间时,60x-（-lODx+600）=200,

解得x=5,此时，A加油站距离甲地:60X5=300km,

综上所述,A加油站到甲地距离为150km或300km.

【点评】本题考查了分段函数，函数自变量的取值范围，用待定系数法求一次函数、正比例

函数的解析式等学问点的运用，综合运用性质进行计算是解此题的关键，通过做此题培育了

学生的分析问题和解决问题的实力，留意：分段求函数关系式，题H较好，但是有肯定的难

度.

22

24.如图，抛物线y=-^x2-jx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交

于点C.

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的随意一点，当4ACD的面积等于4ACB的面积时，

求点D的坐标；

（3）若直线1过点E（4,0）,M为直线1上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三

【分析】⑴通过解方程率小+3=°可得到A点和B点坐标;

(2)AC与直线x=-I交于点E,如图1,先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=*+3,

则可确定E(-1,^)，利用三角形面积公式得到BD〃AC,再求出直线BD的解析式，

则可确定D点坐标；然后利用点平移的坐标规律，把点D向上平移9个单位得到D，，则点

D到直线AC的距离等于点D到直线AC的距离，此时点D，满意条件，接着写出D，的坐标

即可；

(3)易得以点A和以B点为直角顶点的AABM肯定有2个，则以M为直角顶点的AABC

只能有I个，利用圆周角定理得到点M在以AB为直径的圆上，于是可推断当直线1与以

AB为直径的圆相切于M点时，在直线I上只有一个点M满意NAMB=90。，如图2,抛物

线的对称轴交AB于G点，连结GM,作MH_Lx轴于H,接着求出