高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律素养练含解析新人教B版必修第三册

PAGEPAGE18.1.2向量数量积的运算律课后篇巩固提升基础巩固1.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于()A.43 B.34 C.-43 D答案A2.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满意AP=2PM,则AP·(PB+PC)=(A.49 B.43 C.-43 D答案A3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于()A.7 B.10 C.13 D.4答案C4.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=3,则a2+a·b=()A.10 B.10 C.7 D.7解析a2+a·b=|a|2+|a||b|cos60°=4+2×3×12=7答案C5.设向量a,b,c满意a+b+c=0,且a⊥b,|a|=1,|b|=2,则|c|=()A.1 B.2 C.4 D.5解析∵c=-(a+b),∴c2=a2+b2+2a·b.∵a·b=0,∴c2=5,即|c|=5.故选D.答案D6.(多选)已知向量m,n的夹角为π6,且|m|=3,|n|=2,则|m-n|和m在n方向上的投影的数量分别等于()A.4 B.2 C.1 D.3解析∵|m-n|2=m2-2m·n+n2=3-2×3×2×32+4=∴|m-n|=1.m在n方向上的投影的数量为|m|cosπ6答案CD7.如图,已知△ABC和△AED有一条边在同一条直线上,CB·CA=DA·DE,|CA|=|CB|=|DA|=|DE|,|CA-CB|=22,在边DE上有2个不同的点F,G,则AD解析由题意易知△ABC和△AED为全等的等腰直角三角形,斜边长为22,AD·(BF+BG)=BC·(BF+BG)=2BC答案168.已知向量a,b,c满意a-b+2c=0,且a⊥c,|a|=2,|c|=1,则|b|=.

解析因为a-b+2c=0,所以b=a+2c,b2=a2+4a·c+4c2=8,所以|b|=22.答案229.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?解若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.∵a+b+c=0,c=-a-b,∴|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,∴a·b=152∴9μ-2×25-2μ×152+152=0.∴∴存在μ=-8512,使得μa+b与a-2b垂直10.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若AB=b,AC=a,作△ABC,求△ABC的面积.解(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∴a·b=-6,∴cosθ=a·b|a||b|=(2)|a+b|=(a(3)S△ABC=12|AB||AC|sinA=12×3×4×sin2实力提升1.如图所示,在菱形ABCD中,下列关系式不正确的是()A.ABB.(AB+BC)⊥(C.(AB-AD)·(BA-D.AB答案D2.(多选)设a,b,c是平面内随意的非零向量,且相互不共线,其中是真命题的有()A.(a·b)c-(c·a)b=0B.|a|-|b|<|a-b|C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2解析由b,c是平面内随意向量知A错误;由三角形的三边关系得B正确;由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得C错误;D明显正确.答案BD3.已知O是三角形ABC所在平面内的一点,满意OA·OB=OB·OC=OC·OAA.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点解析∵OB·OC=OC同理OB⊥∴O是△ABC高的交点.答案D4.如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,则AC·A.23 B.32 C.33 D解析方法1:(基底法)∵BC=∴AC=BC-BA=3BD-BA=又∵AD⊥AB,|AD|=1,∴AC·AD=3方法2:(定义法)设BD=a,则BC=3a,如图所示,作CE⊥BA,交BA的延长线于E,易知∠DAC=∠ACE,在△BAD与△BEC中,∠B=∠B,∠DAB=∠CEB=90°,∴△BAD∽△BEC,∴BDBC∴CE=3,∴cos∠DAC=cos∠ACE=ECAC∴AC·AD=|AC||AD|cos∠DAC=3.故选答案D5.定义:|a×b|=|a||b|sinθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于()A.8 B.-8 C.8或-8 D.6解析∵a·b=|a||b|cosθ=2×5cosθ=-6,∴cosθ=-35,∵0≤θ≤π∴sinθ=1-∴|a×b|=|a||b|sinθ=2×5×45=8答案A6.(双空)(原创)已知△ABC中,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面内一点,满意|OA|=|OB|=|OC|,则AO在AB方向上的投影的数量为,AO·BC解析∵|OA|=|OB|=|OC|,∴点O为△ABC的外心,设∠OAB=θ,可得∠OBA=θ,∴AO在AB方向上的投影的数量为|AO|cosθ,BO在AB方向上的投影的数量为|BO|由题意可知|AO|cosθ+|BO|cosθ=|AB|=6.又∵|OA|=|OB|=|OC|,∴|AO|cosθ=3,即AO在AB方向上的投影的数量为∴AO·AB=|AO||AB|cosθ=3|AB|=18,AO∴AO·BC=AO·(AC-AB)=AO·答案3-107.已知a,b是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量c满意(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是.

解析∵a⊥b,且|a|=|b|=1,∴a·b=0,|a+b|=2,又∵(a-c)·(b-c)=a·b+c·c-(a+b)·c=c2-(a+b)·c=0,即|c|2=(a+b)·c=|a+b||c|cos<a+b,c>,∴|c|=|a+b|cos<a+b,c>=2cos<a+b,c>≤2,故|c|的最大值为2.故填2.答案28.已知非零向量a,b满意|a|=1,且(a-b)·(a+b)=12(1)若a·b=12,求向量a,b的夹角(2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值.解(1)∵(a-b)·(a+b)=12∴a2-b2=|a|2-|b|2=12又∵|a|=1,∴|b|=22,cos<a,b>=a故向量a,b的夹角为π4(2)|a-2b|=(a-29.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);(2)求出函数k=f(t)的最小值.解(1)因为a⊥b,所以a·b=0.又x⊥y,所以x·y=0,即[a+(t-3)b]·(-