高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念素养练含解析新人教B版必修第三册

PAGEPAGE6第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念课后篇巩固提升基础巩固1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是32,则a·b为(A.3 B.92 C.2 D.答案B2.(多选)下列命题中是真命题的是()A.|a·b|=|a|·|b|B.a·b=0⇔a=0或b=0C.|λa|=|λ|·|a|D.λa=0⇔λ=0或a=0答案CD3.设非零向量a,b,c满意|a|=|b|=|c|,a+b=c,则<a,b>等于()A.150° B.120° C.60° D.30°解析如图所示.因为|a|=|b|=|c|,所以△OAB是等边三角形.所以<a,b>=120°.答案B4.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是()A.P1P2C.P1P2解析设正六边形的边长为a,则P1P2·P1PP1P2·P1P5答案A5.在△ABC中,已知|AB|=|AC|=4,且AB·AC=8,则△ABC的形态为答案等边三角形6.已知平面对量a,b满意|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为π3,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为.答案37.若四边形ABCD满意AB+CD=0,且AB·BC=0,试推断四边形解因为AB+CD=所以AB=DC,即AB∥DC,且所以四边形ABCD为平行四边形.又因为AB·BC=0,所以AB⊥BC,即所以四边形ABCD为矩形.8.已知在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,若|c|=m,|b|=n,<b,c>=θ.(1)试用m,n,θ表示S△ABC;(2)若c·b<0,且S△ABC=154,|c|=3,|b|=5,则<c,b>为多少解(1)S△ABC=12AB·AC·sin∠CAB=12mnsin(2)因为S△ABC=154=12|b||c|所以154=12×3×5sinθ.所以sinθ=12.因为c·b<0,所以θ为钝角.所以θ=150°,即<c,实力提升1.下列命题中,正确命题的个数是()①AB+BA=0②0·AB=0④0·AB=0A.1 B.2 C.3 D.4解析由两相反向量的和为零向量知命题①正确;由于两向量的数量积结果为一实数知命题②错误,正确结果应为0;由向量的减法运算法则知AB-AC=CB,由向量数乘的意义知0·AB=0,命题④错误,即正确命题的个数是1,故选A.答案A2.有4个式子:①0·a=0;②0·a=0;③0-AB=BA;④|a·b|=|a||b其中正确式子的个数为()A.4 B.3 C.2 D.1解析因为向量乘以实数仍旧为向量,所以0·a=0,式子①正确,②错误;由AB+BA=所以0-AB=BA,式子③由|a·b|=|a||b||cosθ|,得|a·b|=|a||b|不肯定成立,式子④错误.故选C.答案C3.(多选)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是()A.若a·b=b·c,则a=bB.若a⊥b,则a·b=(a·b)2C.若a∥b,则a在b上的投影的数量为|a|D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),则a∥b解析对于选项A,若a·b=b·c,则(a-c)·b=0,故A错误;对于选项B,若a⊥b,所以a·b=0,则a·b=(a·b)2,故B正确;对于选项C,若a∥b,则a在b上的投影的数量为±|a|,故C错误;对于选项D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1·λ2≠0),推出a=-λ2λ1b,由平行向量基本定理可知a∥b,故D正确.综上可知:选项BD正确,答案BD4.以下四个命题中,正确的是()A.若OP=12OA+13OBB.若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底C.|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|D.△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC解析因为OP=1所以P,A,B三点不肯定共线,因为{a,b,c}为空间的一个基底,所以a,b,c不在同一个平面,因此a+b,b+c,c+a也不在同一个平面,从而{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底,因为|(a·b)c|=|a·b||c|=|a|·|b|·|c|·|cos<a,b>|,所以|(a·b)c|=|a|·|b|·|c|不恒成立,因为△ABC为直角三角形时角A不肯定为直角,即AB·AC=0不肯定成立,所以D综上可知选B.答案B5.已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于()A.-4 B.4 C.-125 D.解析向量a在向量b上的投影的数量等于a·b|b|=答案A6.在边长为4的菱形ABCD中∠BAD=120°,则AD在AB方向上的投影的数量为(A.23 B.-23 C.-2 D.2解析由题意知向量AD和AB的夹角为120°,所以AD在AB方向上的投影的数量为|AD|cos120°=4×-12=-2.答案C7.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满意AO=12(AB+AC),且|AB|=A.12 B.-12 C.32 D解析由AO=AB+AC2可知O为BC中点,所以△ABC为直角三角形,由|AB|=1,|BC|=2,可得∠ABC=60°,BA与BC的夹角为θ=60因此BA在BC上的投影的数量为|BA|cos60°=1×12=答案A8.已知|a|=4,e为单位向量,当a,e的夹角为2π3时,a在e上的投影的数量为(A.2 B.-2 C.23 D.-23解析a在e上的投影的数量为|a|cos<a,e>=|a|a·e|a||e|=a·e|答案B9.已知向量b的模为1,且b在a方向上的投影的数量为32,则a与b的夹角为(A.30° B.60° C.120° D.150°解析由题意知|b|cosθ=cosθ=32∵θ∈[0,π],∴θ=30°.故选A.答案A10.已知平面对量a,b的夹角为π3,|a|=4,|b|=2,则a在b方向上的投影的数量为(A.2 B.-2 C.4 D.-4解析由题意得a·b=|a||b|cosπ3=4×2×12=4.a在b方向上的投影的数量为|a|cos<a,b>=4×cosπ3=2.答案A11.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则AC·AE=(A.3 B.3 C.23 D.12解析由题意可知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=23,依据向量数量积的几何意义可得AC·AE故选D.答案D12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则AB·CB=(A.-2 B.0 C.1 D.2解析由向量的投影的几何意义及图像可知:AB在CB方向上的投影的数量为|BC|=1,由向量数量积的几何意义得AB·CB=|BC|2=1答案C13.如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则OA·AB=(A.4 B.-4 C.8 D.-8解析设AB的中点为M,连接OM,则OM⊥AB,OA·AB=2AM·OA=2|AM|·|OA|·cos(π-∠OAB)=-2×2·|AO|·cos∠OAB=-4|AM|=-8答案D14.(双空)已知向量a,b满意|a|=2,|b|=4,且a·b=42,则a与b的夹角为.若向量c,d满意c为单位向量,c·d=4,<c,d>=π3,则|d|=.解析设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=422×4=22,又因为θ∈[0,π],所以θ=π4.因为c为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得c·d=|c|·|d|·cos<c,d>,得答案π415.在四边形ABCD中,AB=DC,且AC·BD=0,则四边形ABCDA.菱形 B.矩形C.直角梯形 D.等腰梯形解析∵AB=∴AB与DC平行且相等,∴四边形ABCD为平行四边形.又AC·BD=0,∴AC⊥即平行四边形ABCD的对角线相互垂直,∴平行四边形ABCD为菱形.故选A.答案A16.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影的数量为-1.(1)求a与b的夹角θ;(2)求(a-2b)·b;(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b相