朝阳区高三期末试题及答案(数学理)

北京市朝阳区高三年级第一学期期末数学试卷(理科)

姓名:班级:得分:

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.设全集。=区，A={x\x(x-2)<0},8={x|y=ln(l-%)},则AI(弓8)是

(A)(一2,1)(B)[1,2)(C)(一2,1](D)(1,2)

2.要得到函数y=sin(2x-()的图象，只要将函数y=sin2x的图象

(A)向左平移工单位..(B)向右平移巴单位

44

TT

(C)向右平移一单位(D)向左平移工单位

88

3.设a,b,g是三个不重合的平面,/是直线，给出下列命题

①若a八b,b八g,则a_l.y；②若/上两点到。的距离相等，则〃/a；

③若"a,lllb,则aAb；④若a〃力，lEb,且〃/a,则〃/h.

其中正确的命题是

(A)@@(B)(2X3)(C)②®(D)③④

4.下歹山函数中，在(-1,1)内有零点且单调递增的是

21

(A)y=log)x(B)y=2X-1(C)y=-(D)y=-X

22

5.已知数列{〃“}的前。项和为S“，且2,则〃2等于

(A)4(B)2(C)1(D)-2

xW0,

6.若A为不等式组y20,表示的平面区域，则。从-2连续变化到1时，动直线=a扫过A中的那部分

y-x^2

区域的面积为

7

(A)9a(B)3713(C)I(D)7

7.在MBC中,M是3c的中点,AM=1,点P在AM上且满足4P=2PM,则P4•(尸5+PC)等于

4(B)(C4

(A)——44(D)-

9

8.如图，正方体ABC。-AgGR中，E,尸分别为Di

棱OR,AB上的点.已知下列判断：

①A。八平面4七五；②D必后尸在侧面ecc；4上

的正投影是面积为定值的三角形；③在平面

4用£A内总存在与平面与石厂平行的直线；④平

面4E/与平面A8CO所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点尸的位

置无关.

其中正确判断的个数有

（A）L个（B）2个

（C）3个（D）4个

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.

9.已知cos（4+x）=一,工£（万，2%），则tanx=.

10.如图，A3是。。的直径，CE切。。于点8,CO切。。于

点、D,CO交B4的延长线于点E.若4B=3,ED=2,则

BC的长为.

x—cosCt

11.曲线J(a为参数)与曲线/'2-2rcsq=0的直角坐标方程分别

y=1+sina

为:,两条曲线的交点个数为个.

12.已知一个正三棱锥的正视图如图所示，贝J此正三棱锥的

侧面积等于.

22

13.已知点尸一居分别是双曲线0-%"=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，过&且垂直于

ab

x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若A48K是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是.

14.已知数列N")满足：%=log“+](〃+2)(〃wN*),定义使qqy

为整数的数%（左cN*）叫做企，盼数，则区间［1,2011］内所有的企盼数的和为

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知AABC中，2sinAcos3=sinCcosB+cosCsin8.

（I）求角3的大小：

1O

（II）设向量机=（cosA,cos2A）,/i=（----,1）,求当m・〃取最小值时，tan（A-—）

54

值.

16.（本小题满分13分）

如图，在三棱锥尸—ABC中，AC=BC=2,?ACB90°,侧面R43为等边三角形，侧棱2>/5.

(I.)求证：PC1AB；

(II)求证：平面R48八平面ABC；

(III)求二面角5—AP—C的余弦值.

17.（本小题满分13分）

已知函数/(%)=~--1(aeR).

X

（I）当。=一1时，求曲线y=/（%）在点（2,/（2））处的切线方程;

（n）当o<々<g时，讨论/（X）的单调性.

18.（本小题满分13分）

fWx>0,

已知函数/（X）=以2+法+1（4,人为实数，。工0,R）,F（x）=<

-/(x)x<0.

(I)若/(-1)=0,且函数/3)的值域为［0,+00),求产&)的表达式；

(H)在(I)的条件下，当入仪一2,2］时，g(x)=/(x)-丘是单调函数，求实数攵

的取值范围：

(HI)设"皿＜0,m+〃＞0,。＞0,且函数/")为偶函数，判断尸(6)+尸(/1)是

否大于0?

19.(本小题满分14分)

22

设椭圆C：■+多=的左、右焦点分别为6,鸟，上顶点为4,过点.A与垂直的直线交

ab

UUUUUUUf—

X轴负半轴于点。，且2月旦+鸟。=0,若过A,Q,尸2三点的圆恰好与直线/：x-Qy-3=0相切.过定

点”(0,2)的直线4与椭圆C交于G,”两点(点G在点M,〃之.间.).

(I)求椭圆。的方程：

(H)设直线4的斜率0,在工轴上是否存在点

P(，几0),使得以PG,尸月为邻边的平行四

边形是菱形.如果存在，求出〃7的取值范围，

如果不存在，请说明理由；

(HI)若实数/满足=求4的取值范围.

20.(本小题满分14分)

已知函数/*)=要吆(a,b,c为常数，〃。()).

ex2+\

(I)若。=0时，数列｛/｝满足条件：点(〃，%)在困数/。)=笔劲的图象上，求｛%｝的前〃项和S”；

CX+1

(II)在(I)的条件下，若6=7,54=24,p,qwN*1p丰q).

证明：5^<1(S2P+S29)；

(HI)若c=l时，/(幻是奇函数，/(1)=1,数列｛5｝满足x„+1=/(x„),

2

求证：(^-x2)^(x2-x3y++(>-%用广<2.

中2x2x33用16

北京市朝阳区2010-2011学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（理科）参考答案

一.选择题：

题号12345678

答案BCDBADAB

二.填空题:

题号91011121314

42222

答案3x+(y-1)=1,(x-I)+y=1,29^3(L1+扬2026

3

三.解答题：

15.(本小题满分13分)

解：(I)因为2sinAcosN=sinCcos3+8sCsin3,

2sinAcosB=sin(B+C)=sin(n-A)=sinA...............3分

因为0v4v〃，所以sinA10.

所以cos8='........................................5分

2

7T

因为0vBv〃，所以B=1.............................7分

12

(II)因为/72•〃=---cosA+cos2A,............................8分

5

12343

所以•〃=----cosA+2cos2A-\=2(cosA—)2----............10分

5525

3

所以当cosA=一时，/〃・〃取得最小值.

44

此时sinA=—(0<A<p),于是tanA=—.....................12分

z4乃、tanA-11

mtAian(zi)——............................................................1JOzJ\T>

4tanA+17

16.（本小题满分13分）

解：（I）设48中点，为。，连结PO,CD,.......1分

因为AP=BP,所以尸。八AB.

又AC=BC,所以CD八AB.............2分

因为PDICD=D,所以他人平面PCD

因为PCi平面PC。，所以尸。八AB.......4分

(H)由已知？90°,AC=BC=2,A

所以AO=80=8=后，AB=2也.

又DPAB为正三角形,且PD人AB,所以PD=#.8分

因为PC=2JL所以PC?=czy+尸。2.

所以？COP90°.

由(I)知DCOP是二面角P・AB-。的平面角.

所以平面P45八平面ABC.....................8分

(Ill)方法1：由(H)知CD八平面PAR

过。作。七八PAT.E,连结CE,则CE人PA.

所以f)DEC是二面角8-AP-C的平面角......10分

易求得OE二更

在R/DCDE中,

2

CD2G

因为co=J5,所以tan?OEC—12分

DE

叵

所以cos?QEC

7

即二面角3-AP-C的余弦值为X—13分

7

方法2：由(I)(II)知OC,DB,OP两两垂直.9分

以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

易知D(0,0,0),C忠,0,0),4(0,・V2,0).,P(0,0,V6).

所以股=(>/2,血，0),PC=(及，0,-向.

10分

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),

：uun、

M?4c0®&y=0,

则iuin即1厂l

\nlPC0.fV2x-V6z=0.

令x=1,则y=-

所以平面尸AC的一个法向量为〃=(1,-11分

UUU1

易知平面Q48的一个法向量为£>C=(72,0,0).

uini

所以cosvzi,DC>=12分

\n\\DC\7

由图可知，二面角3-AP-。为锐角.

所以二面角B-AP-C的余弦值为且

13分

7

17.(本小题满分13分)

2

(I)解：当〃=・1时，/(x)=lnx+x+—1,x?(0,?).

x

jr*+r-2

所以广(x)=^-1，x?(0,?)..........(求导、定义域各一分)2分

X

，因此尸(2)=1.即曲线)，=/(幻在点(2,/(2))处的切线斜率为1.............3分

又/(2)=山2+2,....................................................................4分

所以曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程为x-ln2=0...........5分

(II)因为f(x)=In+~--1,

X

"x1a-1cix2-x+1-a-Ac、-八

所以/(x)=--a+——=---------------------,x?(0,?).，..............7分

Xx~X

2

令g(x)=ax-x+afx?(0,?),

①当a=0时，g(x)=-x+1,x?(0.?),

当;d(0,1)时，g(x)>0,此时/(r)<0,困数/(%)单调递减；...8分

当彳£(l,+oo)时，g*)<0,此时尸(x)>0,函数/(%)单调递增.……9分

②当0va<，时，由/'(x)=0即ar?一/+1一。=。解得％=1,x2=--1.

2a

此时2・1>1>0,

a

所以当xi(0,1)时，g(x)>o,此时八工)<0,函数/(幻单调递减；…io分

xe(l,L—1)时，g(x)vO,此时/(幻>0,函数/(幻单调递增；……11分

a

xe(--l,+8)时，g(x)>0,此时/(x)<0,函数/3)单调递减.…12分

a

综上所述：

当。=0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+?)上单调递增；

当0<。<!时，函数/(x)在(0,1)上单调递减，在(1,工-1)上单调递增；在(,-1,+?)上单调递

2aa

减..........................................13分

18.(本小题满分13分)

解：(I)因为/(-1)=0,所以。一匕+1=0.

a>0,

因为f(x)的值域为［0,+8),所以，..................2分

A=人-4。=0.

所以从一43-1)=0.解得b=2,a=l.所以f(x)=(x+l)2.

LL(x+l)2X>0,、

所以r(x)=-'.........“.....................................4分

—(x+1)~x<0.

(II)因为g(x)=f(x)-kx=x2+2x+l-kx=x2+(2-2)x+l

,2-2、2I(2-62

=(x+------)+1--........-,.................................6分

24

k-2k-2

所以当号*22或£手〈一2时g(x)单调.

即k的范围是(・？，2］或［6,+?)时，g(x)是单调函数...........8分

(DI)因为/(幻为偶函数，所以/。)=公2+］

“ax2x>0,、

所以F(x)=1.............................................................10分

-axx<0.

因为w?v0,依条件设相>0,贝iJ〃<0.

又加+〃>0,所以机>一〃>0.

所以同习一”..............................................12分

此时F(/w)+产(〃)=f(m)-f(n)=am2+1—an2-1=a(m2-n2)>0.

即尸(㈤+尸5)>0.................................................................13分

19.(本小题满分14分)

UUUUUUU

(I)解：因为246+F2Q=0.,

所以K为工。中点.

设。的坐标为(一3c,0),

因为AQ_LAK，

22

所以/=3cxc=3c2,a=4cxc=4c,且过A,。，居三点的圆的圆心为耳(—c,0),半径为

2c...........................................................2分

因为该圆与直线/相切，所以！一心斗=2c.

2

解得c=l,所以。=2,b=£

22

故所求椭圆方程为上+汇=1...........................................................4分

43

(II)设L的方程为y=履+2(女＞0),

iy=kx+2,

由2得(3+4左2)工2+16履+4=0.

1—+^-=1

f43

164

设G($,y),H(x,y),则不+占=-------r-.............，…5分

223+44~

LILM1L1LU1

所以PG+PH=(%・"?，乂)+(%・m,y2)=(X]+/-2m，乂+y2).

=(工]+x2-2myk(x、+x2)+4)

GH=（%一%,%一,）=（9一西，然王一方））.

由于菱形对角线互相垂直，则（PG+P〃）・G//=0..............6分

所以[电-斗)[(内+x2)-2m]+k(x2-玉)伏(玉+/)+4]=0.

故(天-%)[(%+%)-2/w+&I5+%)+4灯=0.

因为k>0,所以々-玉？0.

所以a+x2A2m+左2(%+w)+4女=0

即(1+&2)(%+/)+4&-2m=0.

2

所以。+k)(-16k)+4k_2加=0

3+4y

2笈2

解得用=-------即加=一吃——

3+牧3+公

因为上>0,所以----W/〃<0.

6

故存在满足题意的点尸且加的取值范围是［-且，0）................8分

6

（III）①当直线（斜率存在时,

设直线4方程为y=Ax+2,代入椭圆方程卷+号=1

得(3+422优+16"+4=0.

由△>(),得公〉J...................................

9分

4

设G(X1,y),H(X29y2)t

1624

贝|]玉+x=-

23+4左2中2:W

又MG=2MH,所以(％,y-2)="G，%一2).所以司=应10分

所以再+/=(1+A)X2,xxx2=Zr；.

./-16攵、24

所以R~自产二芯二号,所以3+4&2)_3+4/.

1+22(1+-)2—

整理得=...................................11分

因为它>_1,所以4<Y—<16.即4<妇互<16.所以4<4+工+2<16.

4%%入

解得7-46<4<7+4石.

又0<4vl,所以7-4疗</<1......................................................13分

②又当直线4斜率不存在时，直线4的方程为％=(),

此时G(0,6),H(0,一百),MG=(0,>/3-2),MH=(0,—石—2),

MG=^^MH,所以4=7—46.

2+△

所以7—即所求4的取值范围是［7-4JI1).......................14分

20.(本小题满分14分)

(I)解：依条件有/(%)=公+4

因为点(〃，在函数f(x)=ar+力的图象上，所以q=f(n)=an+h.

因为%+i一可=a(n+\)-^b-(an+b)=a,

所以《凡｝是首项是q=〃+6,公差为d=a的等差数列.................1分

g/7xn(n-l).愉+1)

所以S”=〃(〃+/?)+-----------a=nb-\---------------a.

n22

即数列｛4｝的前〃项和S*二〃人........................2分

2

(a+b)+2a=7,

3a+b=7,,。=2,

(II)证明：依条，件有14x3即<解得1

4(。+b)-\———•a=24.10a+4b=24.b=l.

所以许=2〃+1.

所以s，，5=i