第21章一元二次方程（知识点及常考题型专题复习）-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章一元二次方程【学习目标】1．回顾一元一次方程相关知识；并了解一元二次方程及相关概念；2．掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3．掌握依据实际问题建立一元二次方程数学模型的方法．知识网络知识网络知识点知识点一一元二次方程的相关概念一元二次方程：化简后，只含一个未知数（一元★），且未知数的最高次数是2（二次★）的整式方程．一般式：（a≠0★）；其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，也叫一元二次方程的根．小试牛刀小试牛刀1．下列关于x的方程：①ax2＋bx＋c＝0；②；③x²－4＋x⁵＝0；④3x＝x²；⑤4x2＋3x－2＝（2x－1）。其中是一元二次方程的是_________________．2、下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2＋bx＋c＝0B．x2﹣x﹣2＝0C．﹣2＝0D．x2＋2x＝x2﹣13、将方程3x（x—1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式为____________________，其中二次项系数是__________，一次项系数是__________，常数项是______________。4、方程是关于x的一元二次方程，则m＝_________。5、一元二次方程（m＋3）x²＋3x＋m²－9＝0有一个根为0，则m的值为___________。6、若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝____________．7、若a，b，c满足，则关于x的方程的解是（

）A．1，0B．－1，0C．1，－1D．无实数根8、已知a是一元二次方程x2－2017x＋1＝0的一个根，求代数式的根？9、关于x的方程x²—6x—2021＝0的一个根是m，则m²—6m＋1＝___________，＝___________。知识点知识点二一元二次方程的解法一、基本思想：一元二次方程一元二次方程一元一次方程降次二、基本解法（一）直接开方法概念：利用平方根的定义，直接开平方，求一元二次方程的解的方法。适用形式：x2＝p、（x＋n）2＝p或（mx＋n）2＝p；表示：表示：x2＝pp>0有两个不等的实数根：p＝0有两个相等的实数根：x1＝x2＝0p<0无实数根步骤：小试牛刀小试牛刀1．方程的根是_______________．2、若（a2＋b2﹣3）2＝25，则a2＋b2＝（

）【整体思想/换元法】A．8或﹣2B．﹣2C．8D．2或﹣83、直接开方法求下列方程：（1）x²—8＝0；（2）25x²—36＝0．（3）9（x－1）2﹣4＝0（4）（2y—3）²—64＝0；（5）4（2x—1）²—36＝0；（6）x2﹣4x﹢4＝24、已知一元二次方程（x—3）²＝1的两个解分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长？（二）配方法概念：将方程左边配成完全平方式，右边配成非负常数，进而直接开平方求解的方法。套用公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2步骤：第1步：第1步：移项：将含有未知数的项移到左边，常数项移到右边；第2步：化1：两边同除以二次项的系数；第3步：配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方★；第4步：开方：将方程变成的形式；若n≥0，直接开方求解；若n<0，原方程无解第5步：求解：解所得到的一元一次方程，得出原方程的根。小试牛刀小试牛刀1．用配方法解关于x的一元二次方程x²—2x＝4，配方后的方程是（）A．（x—1）²＝4B．（x＋1）²＝4C．（x—1）²＝5D．（x＋1）²＝52．填空：（1）x²＋6x＋_________＝（x＋_________）²；（2）x²－x＋_________＝（x－_________）²；（3）4x²＋4x＋_________＝（2x＋_________）²；（4）。3．已知，求a，b，c的值。4．用配方法解下列方程：（1）x2﹣8x＋1＝0（2）3x2﹣6x＋4＝0（3）2x2＋1＝3x5．二次三项式的值（）A、小于1B、大于1C、大于等于1D、不大于16．用配方法求2y2﹣7y＋2的最小值？（三）公式法判别式：概念概念：一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式希腊字母“Δ”表示，即Δ>0有2个不等实数根：，Δ＝0有2个相等实数根：Δ<0无实数根注意：当a、c异号时，方程一定有两个不等实数根！求根公式：当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根为，这个式子叫求根公式。公式法：解一元二次方程时，将各系数直接代入求根公式，直接得出根的方法。小试牛刀小试牛刀1．关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不等的实根，则k的取值范围是（）A．k>－1B．k>－1且k≠0C．k<1D．k<1且k≠02．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（）A．B．C．且D．且3．直线不经过第二象限，则关于x的方程实数解的个数是（

）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个4．不解方程，判断下列方程根的情况（1）x2＋9＝6x（2）x2＋3x＝－15．已知关于x的方程x²＋（m＋2）x＋2m＝0．求证：不论m取任意实数，该方程总有两个实数根：6．求证：关于x的一元二次方程总有实数根．（提示：c＝m²＋m—1）7．已知关于x的一元二次方程x²＋kx—3＝0．（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k＝4时，用配方法解此方程。8．用公式法解一元二次方程：ax²＋bx＋c＝0（a≠0）．解：移项，得________________．二次项系数化为1，得x²＋_______＝________．配方得：即∵a≠0，∴4a²>0.（1）即（2）当b²—4ac<0时，原方程无解．9．用公式法解下列方程：（四）因式分解法因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫多项式的因式分解，也叫把这个多项式分解因式。因式分解法：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次的方法（x＋a）（x＋b）＝0，则：x＋a＝0或x＋b＝0★★因式分解的方法提公因式法：pa＋pb＋pc＝p（a＋b＋c）平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）完全平方公式：x2±2bx＋b2＝（x±b）2“十”字相乘法：x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）★★因式分解法的一般步骤第1步：移项，使一元二次方程等式右边为0；第2步：分解，将左边分解为两个一次因式的积；第3步：赋值，令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；第4步：求解，解两个一元一次方程，即方程的解（x＋q）【归纳】：右化零，左分解，两因式，各求解！小试牛刀小试牛刀1．方程x（x＋3）＝0的根是（）A、x＝3B、x＝0C、x1＝0，x2＝﹣3D、x1＝0，x2＝32．方程2x2＝3x的解为（）A、0B、1.5C、﹣1.5D、0或1.53．若等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则三角形的周长为（）【分类讨论】A．9B．12C．9或12D．不能确定4．若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，则a＋b＝_____________．【换元法】5．设a，b是直角三角形两条直角边的长，且，则直角三角形的斜边长为____________.6．已知，且．则的值是_________．7．已知，则____________．8．解方程：（2）（5）x2＋4x﹣5＝0（6）（x﹣3）2＝2（3﹣x）知识点知识点三一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程的两个实数根是，则：韦达定理△≥0【注意使用条件为：a≠0，Δ≥0】韦达定理△≥0小试牛刀小试牛刀1．求下列方程两根x1，x2的和与积：（1）（2）（3）2．已知关于x的方程x2＋4x＋q＝0的一个根为－4，求它的另一个根及q的值．3．已知关于x的一元二次方程2x²＋ax—4＝0的一个根是1，求a的值及该方程的另一根．4．已知关于x的方程x²＋ax＋a－1＝0．（1）若该方程的一个根为4，求a的值及方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根．5．已知的两根是x1，x2。求：6．若两根是m，n。则：。7．若a≠b，且则＝。8．设x1，x2是关于x的方程的两个实数根，且。则m＝。9．已知关于x的一元二次方程.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程两实根为，，且，求m的值．10．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）若x＝﹣1是方程的根，判断△ABC的形状；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC的形状；（3）若△ABC是等边三角形，求一元二次方程的根．知识点知识点四列一元二次方程解实际问题一、解题步骤第1步：审题第1步：审题，分清已知量、未知量、等量关系等；

第2步：设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；

第3步：列方程。根据题目中等量关系，列出方程；

第4步：解方程。注意分式方程需检验；第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意；

第6步：解答.二、常考题型❶传播/握手问题：a表示传播前的人数，x表示每轮每人传播的人数，n表示传播轮数，b表示总人数，则：b＝a（1＋x）n❷增长率问题：a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数：增长率公式：b＝a（1＋x）n降低率公式：b＝a（1－x）n❸几何图形问题：面积公式：，，，体积公式：V长方体＝abh，V正方体＝a3，V圆柱＝πR2h，❹数字问题：两位数：十位上的数字×10＋个位上的数字三位数：百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字❺销售利润问题★（1）利润＝售价－进价；（2）；（3）售价＝进价×（1＋利润率）；（4）总利润＝每件利润×销售量＝总销售额－总成本；小试牛刀小试牛刀❶传播/握手问题1．同学互赠图书，每人都向其他成员赠送一本，共互赠210本图书，若共有x名同学，则可列方程（）A．x（x＋1）＝210B．x（x﹣1）＝210C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝2102．八年级组织篮球赛，赛制为单循环式（每两班间赛一场），共15场比赛，则八年级班级个数为（）A．5B．6C．7D．83．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人4．某电脑病毒传播非常快，若一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．求每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？❷增长率问题1．某种植基地2016年蔬菜产量80吨，2018年产量达到100吨，设年平均增长率为x，则可列方程（）A．80（1＋x）2＝100B．100（1﹣x）2＝80C．80（1＋2x）＝100D．80（1＋x2）＝1002．某地2016年贫困人口9万人，通过社会各界努力，2018年贫困人口减少至1万人．设年平均下降率为x，则可列方程为（）A．B．C．D．3．某公司今年1月份生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每月生产成本下降率相同．（1）求每月生产成本的下降率；（2）预测4月份该公司的生产成本．4．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．（1）求第一季度平均每月的增长率；（2）若第二季度平均每月增长率保持与第一季度平均每月增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t．❸几何图形问题：1．如图，某小区计划在一块长32m，宽20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余空地上种植草坪，使草坪面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570B．32x＋2×20x＝32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570D．32