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微专题5导数法研究恒(能)成立问题第五章一元函数的导数及其应用用导数研究恒(能)成立问题时，一般我们既要对函数和方程的形式进行观察，又要时刻注意数形结合帮助我们理解题意，需要灵活的选择合适的方法解决问题，常见的用导数解决恒(能)成立的方法有分离变量法、分类讨论法、等价转化法等，下面进行举例说明．

反思领悟

(1)一般情况下，对于分参后的求解范围问题常有以下结论：①a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.②a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.(2)分离变量时注意不等号的方向是否发生改变．

反思领悟

分类讨论法解决恒成立、能成立问题时需要确定分类标准，做到不重不漏．一般情况下，分类时常考虑以下情况：(1)最高次项系数的正负情况(注意0)；(2)导数的零点存在与否(二次的一般用Δ)；(3)极值点的大小关系(分三种情况，包括相等)；(4)极值点与定义域的关系．

√

类型3等价转化法解决恒(能)成立问题【例3】已知f(x)＝xex－ex，g(x)＝mx－m(m＞0)，若对任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]使得f(x1)＝g(x2)，求实数m的取值范围．[解]

∵f(x)＝xex－ex＝ex(x－1)，∴f′(x)＝ex(x－1)＋ex＝xex，由f′(x)＞0，得x＞0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由f′(x)＜0，得x＜0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝－1，又f(－2)＝－3e-2，f(2)＝e2，∴f(x)在[－2，2]上的值域为[－1，e2]，又g(x)＝mx－m(m＞0)在[－2，2]上是增函数，∴g(x)在[－2，2]上的值域为[－3m，m].若对任意的x1∈[－2，2]，总存在x2∈[－2，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则[－1，e2]⊆[－3m，m]，∴－3m≤－1＜e2≤m，解得m≥e2，即实数m的取值范围是[e2，＋∞)．

[学以致用]

3．已知函数f(x)＝ex－k－klnx，g(x)＝ex－kx，∀x∈(1，＋∞)，f(x)<g(x)恒成立，则实数k的取值范围是

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