人教A版高中数学选择性必修第一册第一章1.4.2第1课时用空间向量研究距离问题课件

第1课时用空间向量研究距离问题第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题整体感知[学习目标]

能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题．(直观想象、数学运算)(教师用书)空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的距离、异面直线的距离等．空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的向量的模．本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间的距离，这些距离都可以通过求投影向量的长度得到．[讨论交流]

问题1．空间点到直线、点到平面的距离的向量计算公式是什么？问题2．相互平行的直线、平面间的距离可分别转化为什么距离求解？问题3．用向量解决空间线面距离问题的一般步骤是什么？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1点到直线的距离探究问题1给定一条直线l和直线l外一点P，如何用向量的方法求点P到直线l的距离？[提示]

取直线l上一点A，它的单位方向向量用u表示，过P作PQ⊥l(图略)，点Q为垂足．这样，要解决的问题是：利用直线l上的点A，直线的单位方向向量u和直线外的一点P求线段PQ的长度．探究问题2为了求线段PQ的长度，如何将“探究问题1”中的条件与线段PQ联系起来？

【教用·微提醒】

(1)点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题．(2)两条平行线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离．所以两条平行线之间的距离可以用点到直线的距离公式解决．[典例讲评]

1．如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，BC＝2，AA′＝3．用向量的方法求点B到直线A′C的距离．

[学以致用]

1．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．[解]

连接BC1．以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

探究2点到平面的距离探究问题3你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗？

[典例讲评]

2．在三棱锥S-ABC中，棱长SA＝a，SB＝b，SC＝c，∠ASB，∠BSC，∠CSA都是直角，求点S到底面ABC的距离．

发现规律

试写出向量法求点面距离的步骤

[学以致用]

2．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，求点D1到平面BDE的距离．

探究3直线、平面到平面的距离探究问题4类比两条平行直线间的距离，如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？[提示]

在直线上或其中一个平面上取一定点，则该点到另一个平面的距离即为直线与平面或两平行平面之间的距离．[新知生成]1．如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为________的距离求解．2．如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．【教用·微提醒】

只有线面(或面面)平行时，才有线面(面面)距离．点到平面【链接·教材例题】例6如图1.4-18，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．[分析]

根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．

[典例讲评]

3．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.(1)求直线B1C到平面A1BD的距离；(2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．

反思领悟

用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：(1)确定法向量．(2)选择参考向量．(3)利用公式求解．[学以致用]

3．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC，AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．(1)求证：AE∥平面PFQ；(2)求AE与平面PFQ间的距离．

243题号1应用迁移√

243题号123题号14

√

23题号41√

243题号14．已知AB∥平面α，平面α的一个法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上的点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________．

1．知识链：(1)点到直线的距离、两条平行线之间的距离．(2)点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、两个平行平面之间的距离．2．方法链：向量法、几何法、转化法．3．警示牌：(1)求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一点，转化为点到直线的距离．(2)求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离．(3)应注意点要选取适当，以方便求解为主．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？

2．用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？

3．如何用空间向量求直线和平面、平面和平面间的距离？[提示]

先证明直线和平面平行，平面和平面平行，然后把所求距离转化为点到平面的距离，最后利用点到平面的距离公式求解．阅读材料异面直线间的距离设直线a，b异面，向量a，b分别为它们的一个方向向量，如何求出这两条异面直线间的距离呢？

课时分层作业(十)用空间向量研究距离问题题号135246879101112131415

√

题号135246879101112131415题号135246879101112131415

√

题号135246879101112131415

题号352468791011121314151

√√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为________．

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151三、解答题9．如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.

(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离．题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

√

题号352468791011121314151题号352468791011121314151

√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151题号35246879101112131415112．在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．

题号352468791011121314151

题号35246879101112131415113．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD间的距离为________．

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151题号35246879101112131415114．如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC