《传感器原理及应用》课件1第2章

2.1传感器的静态响应特性2.2传感器的动态响应特性思考题第2章传感器的一般特性

2.1传感器的静态响应特性

传感器的静态响应特性是指输入不随时间变化的特性，它表示传感器在被测量的各个值处于稳定状态时的输入、输出的关系。传感器静态特性的主要指标有线性度、灵敏度、重复性、

迟滞、分辨率、漂移、稳定性等。2.1.1线性度

人们总希望传感器的输入与输出成唯一的对应关系，而且最好呈线性关系。但一般情况下，大多数传感器的输出、输入或多或少地存在非线性关系。在不考虑迟滞、蠕变、不稳

定性等因素的情况下，传感器的静态特性可用下列多项式代数方程表示：

(2-1)

式中:

y——输出量；

x——输入量；

a0——当输入为0时的输出量；

a1，a2，…，an——非线性项系数。各项系数的不同，决定了特性曲线的具体形式。静态特性曲线可通过实际测量获得，获得特性曲线之后，为了标定和数据处理的方便，希望得到线性关系。这时可采用各种方法进行线性化处理。一般在非线性误差不太大的情况下，常采用直线拟合的办法来线性化。标定的特性曲线与拟合直线的偏离程度就是线性度，或称为非线性误差，通常用γL来表示，即

(2-2)

式中:ΔYmax——线性误差；

YFS——满量程输出。由此可见，非线性误差的大小是以一定的拟合直线为基准直线而得出的。拟合直线不同，非线性误差也不同。所以，选择拟合直线的主要出发点，应是获得最小的非线性误差。另外，还应考虑使用是否方便、计算是否简便。拟合直线该如何确定，目前国内外还无统一的标准，较常用的是最小二乘法。如图2-1所示，采用最小二乘法拟合时，设拟合直线方程为

y=kx+b

(2-3)

若实际校准测试点有n个，则第i个校准数据与拟合直线上响应值之间的差为

Δi=yi-(kxi+b)

(2-4)

最小二乘法拟合直线的原理就是使图2-1最小二乘法拟合方法为最小值,从而求出k和b的表达式为

(2-5)

(2-6)

在获得k和b之值后,代入式(2-3)即可得到拟合直线，然后按式(2-4)求出差的最大值,即为非线性误差。2.1.2灵敏度

传感器输出的变化量与引起该变化量的输入变化量之比即为其静态灵敏度，即

(2-7)如图2-2所示，对具有线性特性的传感器，输出曲线的斜率就是其灵敏度K，即K=Δy/Δx，K为一常数，与输入量大小无关，斜率越大，其灵敏度就越高。具有非线性特性的传感器，其灵敏度为变量，输入量不同，灵敏度就不同，即K=dy/dx，其大小等于对应的最小二乘法拟合直线的斜率。灵敏度的量纲由输入和输出的量纲决定。当传感器或检测系统各

组成环节的灵敏度分别为K1、K2、K3、…、Kn时，该传感器或检测系统的总灵敏度为K=K1K2K3…Kn。灵敏度表示传感器对被测量变化的反应能力。一般地，传感器的灵敏度越高越好，但灵敏度高就易受外界干扰的影响，使传感器的稳定性变差。图2-2传感器的灵敏度(a)输入/输出关系为线性；(b)输入/输出关系为非线性由于某种原因，会引起灵敏度变化，产生灵敏度误差。灵敏度误差用相对误差表示，即

(2-8)

式中：ΔK——灵敏度变化量；

K——灵敏度。2.1.3迟滞

实际测试装置在输入量由小增大和由大减小的测试过程中，对应于同一个输入量往往有不同的输出量，称为迟滞现象。产生迟滞现象的原因有多种，如装置内部有弹性元件、磁性元件有滞后特性以及机械部分有摩擦、间隙、灰尘积塞等。迟滞特性如图2-3所示，它一般由实验方法测得。迟滞的大小可用迟滞误差表示，迟滞误差也叫回程误差。对应于每一输入信号，传感器在正行程及反行程中输出信号差值的最大值为回程误差，一般以与满量程输出之比的百分数表示，即

(2-9)

式中:Δmax——正、反行程输出的最大偏差；

YFS——满量程输出。图2-3传感器的迟滞特性2.1.4重复性

重复性是指传感器在同一工作条件下，输入量按同一方向作全量程连续多次变动时所得特性曲线不一致的程度。重复性的好坏可用重复性误差来衡量。

图2-4所示为输出曲线的重复特性，如正行程的最大重复性偏差为Δmax1，反行程的最大重复性偏差为Δmax2，则重复性误差为取这两个偏差之中较大者与满量程输出YFS之比的百分数表示，即

(2-10)图2-4传感器的重复特性2.1.5静态响应特性的其他描述

测试装置的静态响应特性还有其他一些描述，现分述如下。

1.分辨力

分辨力是指能引起输出量发生变化的输入量的最小变化量，表明测试装置分辨输入量微小变化的能力。当输入量连续变化时，有些传感器的输出量只作阶梯变化，则分辨力就是输

出量的每个“阶梯”所代表的输入量的大小。分辨力用绝对值表示，它与满量程之比的百分数表示称为分辨率。在传感器输入零点附近的分辨力称为阈值。

2.精度

精度是与传感器产生的测量误差大小有关的指标，它表示测量结果的可靠程度。传感器设计与出厂检验时确定的精度等级，表示传感器测量的最大允许误差。

3.稳定性

稳定性是指在一定工作条件下，当输入量不变时，输出量随时间变化的程度。测试时先将传感器输出调至零点或某一特定点，相隔一定的时间后，再读出输出值，前后两次输出值之差即为稳定性误差。稳定性误差可用相对误差表示，也可用绝对误差表示。

4.温漂

温漂是指外界温度变化对传感器输出的影响程度。测试时先将传感器置于一定温度，将其输出调至零点或某一特定点，使温度上升或下降一定的度数，再读出输出值，前后两次输

出值之差即为温度稳定性误差。温度稳定性误差用温度每变化若干摄氏度的绝对误差或相对误差表示。每一摄氏度引起的传感器误差又称为温度误差系数。

2.2传感器的动态响应特性

传感器的动态特性是指输入随时间变化的特性，它表示传感器对随时间变化的输入量的响应特性。很多传感器要在动态条件下检测，输出变化是否能真实地反映输入变化，取决于它的动态响应特性。当然，传感器的动态特性一方面取决于传感器本身，另一方面也与被测量的形式有关。因此，在对传感器动态特性进行分析时，采用最基本的正弦信号和阶跃信号作为

标准输入信号。单位阶跃输入信号规定为

同时设传感器的初始状态为零，即t<0时，y(t)=0。

动态响应特性一般通过系统传递函数、频率响应函数等数学模型来进行研究。2.2.1传递函数

线性测量系统的动态输入x(t)和动态输出y(t)之间的关系可以用常系数线性微分方程来描述，即

(2-11)对此微分方程求解，便可得到传感器的动态响应。微分方程是传感器动态特性的一般数学模型。大多数传感器的输入、输出关系可用零阶、一阶和二阶微分方程来描述，即

零阶微分方程：

(2-12)

一阶微分方程:

(2-13)二阶微分方程:

(2-14)

有时直接考察微分方程的特性比较困难，如果对微分方程两边取拉普拉斯变换(简称拉氏变换)，建立与其对应的传递函数的概念，就可以更简便、有效地描述传感器的特性与输入、输出的关系。拉普拉斯变换是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换

来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上要容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解

的代数方程来处理，从而使计算简化。若定义传递函数为H(s)=Y(s)/X(s)，则有

(2-15)

如果输入一定，则输出的特性完全由传递函数决定。传递函数表征了系统本身的动态本质，与输入信号及相应的输出信号的形式无关。传递函数的概念只适用于线性定常系统。两个变量间具有线性关系且在零初始条件下才能求取其传递函数。对于非零初始条件，传递函数并不能完全描述系统的特性。

传递函数是一种运算函数，如果测试系统是由若干个环节串联或并联组成，也可求出总的等效传递函数。如图2-5所示，由两传递函数H1(s)和H2(s)的串联而成的系统的传递函数为

(2-16)图2-5系统环节的串联一般地，对由n个环节串联而成的系统，有

(2-17)

如图2-6所示，由两传递函数H1(s)和H2(s)并联而成的系统的传递函

数为

(2-18)

一般地，对由n个环节并联而成的系统，有

(2-19)图2-6系统环节的并联2.2.2频率响应特性

如果知道传递函数和输入量，便可求出输出量的拉氏变换式，再将其作拉普拉斯反变换就可得到输出响应。但当要分析某个参数的改变对性能的影响时，得反复计算，这就显得十分繁琐，于是工程上常用频率特性法来分析系统的动态性能。

频率响应特性是传递函数的一种特殊形式，只要将传递函数的复变量s用纯虚数jω代替，就可以得到频率响应特性，因此由式(2-15)可得到其频率响应特性为

(2-20)其指数形式为

(2-21)

其中,

,为幅频特性；,

为相频特性。

幅频特性和相频特性合称为频率特性，以频率ω为横坐标，以A(ω)和φ(ω)为纵坐标所绘的图形分别称为系统的幅频特性图与相频特性图，如图2-7所示。图2-7系统的幅频特性图与相频特性图2.2.3典型环节的动态特性

1.零阶传感器

由式(2-12)可得零阶传感器的输出为

(2-22)

当输入单位阶跃信号时，其输出响应(见图2-8)为

(2-23)

式中,，为静态灵敏度。图2-8零阶传感器的单位阶跃响应传递函数和频率特性为

(2-24)

零阶传感器的输出正比于输入，与频率无关，因此不产生幅值和相位失真，具有理想的动态特性，其频率特性如图2-9所示。图2-9零阶传感器的频率特性

2.一阶传感器

对于式(2-13)的微分方程，设为时间常数，

为静态灵敏度，则式(2-13)可写为

(2-25)

其拉氏变换式为

(2-26)传递函数为

(2-27)

当输入单位阶跃信号时，其输出响应为

(2-28)如图2-10所示，当t=τ时，y(τ)=K(1-e-1)=0.632K，因此时间常数τ是决定一阶传感器的响应速度的重要参数。

其频率响应函数为

(2-29)

幅频特性为

(2-30)图2-10一阶传感器的单位阶跃响应相频特性为

(2-31)

一阶传感器的频率特性如图2-11所示，当ωτ<<1时，A(ω)≈K，φ(ω)≈-ωτ，,因此时间常数τ越小，频率响应特性就越好。图2-11一阶传感器的频率特性

3.二阶传感器

对式(2-14)的微分方程取拉氏变换得

(a2s2+a1s+a0)Y(s)=b0X(s)

(2-32)

可写出其传递函数为

(2-33)

式中:K=b0/a0——静态灵敏度；

——无阻尼固有角频率；

——阻尼比。二阶传感器对阶跃信号的响应如图2-12所示，它在很大程度上取决于阻尼比和固有频率。固有频率由传感器的结构参数决定，当它确定后，传感器的响应取决于阻尼比。按阻尼比的不同，二阶传感器的阶跃响应可分为下列几种情况：当ξ=0时为无阻尼，输出响应为等幅振荡，输出不稳定；当0<ξ<1时为欠阻尼，输出响应为衰减振荡，达到稳定的时间随阻尼比的减小而加长；当ξ=1时为临界阻尼，输出响应为单调上升曲线，能达到稳定，但达到稳定的时间较长；当ξ>1时为过阻尼，输出响应也为单调上升曲线，不过其达到稳定的时间较临界阻尼更长。一般取阻尼比ξ=0.7~0.8为最好。图2-12二阶传感器的单位阶跃响应2.2.4传感器的动态特性指标

这里以二阶传感器阶跃响应为例，来说明其动态性能，如图2-13所示。图2-13二阶传感器单位阶跃响应的动态性能指标

1.响应时间ts

响应时间指从开始输入到输出进入稳定值所规定的允许误差范围内所需要的时间。误差范围一般取稳态值的2%~5%。

2.上升时间tr

上升时间是指输出量从稳态值的10%上升到90%所需的时间。显然ts、tr是衡量传感器响应快慢的指标，它们越小，传感器对输入的响应越快。

3.超调量σ%

超调量用单位阶跃响应曲线超过稳态值的最大数值与稳态值之比的百分数来表示。σ%与阻尼比ξ有关，对于二阶传感器，它们的关系为

(2-34)

上式表明，超调量只是阻尼比的函数，而与其他参数无关，ξ越大，σ%越小，传感器稳定性相对越高。

4.衰减度ψ

衰减度指两个相邻波峰(或波谷)幅值衰减的速度，即