人教A版高中数学选择性必修第一册第二章2.4.1圆的标准方程课件

2.4.1圆的标准方程第二章直线和圆的方程2.4圆的方程整体感知[学习目标]

1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)3．能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算)(教师用书)古人崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮．有诗道：“明月四时有，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头；放出白豪千丈，散作太虚一色．万象入吾眸，星斗避光彩，风露助清幽．”如果把天空看作一个平面，在上面建立一个平面直角坐标系，那么月亮的坐标方程如何表示？[讨论交流]

问题1．在平面直角坐标系中确定一个圆需要几个条件？问题2．若圆的方程为(x＋x0)2＋(y＋y0)2＝a2(a≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？问题3．在平面直角坐标系中如何判断一个点与一个圆的位置关系？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1圆的标准方程探究问题1圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？[提示]

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．探究问题2已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？

[新知生成]确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2【教用·微提醒】

(1)当圆心在原点(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2．(2)当圆心在原点(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．[典例讲评]

1．(源自北师大版教材)已知两点A(1，2)和B(3，－2)．(1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程；(2)求以AB为直径的圆的方程．[解]

(1)根据已知条件，设圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2．由圆A经过点B(3，－2)，得(3－1)2＋(－2－2)2＝r2．解得r2＝20．所以圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝20．

反思领悟直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．[学以致用]

1．求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．[解]

(1)r2＝(4－2)2＋(0－2)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8．(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．探究2点与圆的位置关系探究问题3平面内的点M(a，b)与圆O：x2＋y2＝r2有几种位置关系？如何判定？[提示]

3种，分别是M在圆O内，在圆O上，在圆O外，可以用|OM|与r作比较来判定．

位置关系d与r的大小点P的坐标的特点点在圆外d>r__________________________点在圆上d＝r__________________________点在圆内d<r__________________________(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r2【教用·微提醒】

由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解．【链接·教材例题】例1求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上．[分析]

根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上．[解]

圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25．把点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上．把点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(图2.4-2)．[典例讲评]

2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(

)A．圆M的圆心为(4，－3)B．点(1，0)在圆内C．圆M的半径为5D．点(－3，1)在圆内√√√ABC

[根据题意，依次分析选项：对于A，圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其圆心为(4，－3)，A正确；对于B，由于(1－4)2＋(0＋3)2＜25，点(1，0)在圆内，B正确；对于C，圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其半径为5，C正确；对于D，由于(－3－4)2＋(1＋3)2＞25，点(－3，1)在圆外，D错误．故选ABC．]发现规律

试总结点与圆的位置关系的判断方法．[提示]

(1)几何法：比较点到圆心的距离与半径的大小；(2)代数法：将点的坐标代入圆的标准方程的左边，比较与r2的大小．

－2或－6

(－∞，－6)∪(－2，＋∞)

【链接·教材例题】例2

△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程．[分析]

不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了．探究3求圆的标准方程

【链接·教材例题】例3已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程．[分析]

设圆心C的坐标为(a，b)．由已知条件可知，|CA|＝|CB|，且a－b＋1＝0．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法．

[典例讲评]

3．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．

[母题探究]求过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，面积最小的圆的标准方程．

反思领悟

求圆的标准方程的两种方法(1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程．(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．[学以致用]

3．若圆C经过点A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线l：3x－y－3＝0上，则圆C的方程为(

)A．(x－2)2＋(y－3)2＝4B．(x－2)2＋(y－3)2＝8C．(x－3)2＋(y－6)2＝2D．(x－3)2＋(y－6)2＝10√

应用迁移23题号41

√

23题号41

√

23题号413．(多选)已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则下列坐标表示点在圆外的有(

)A．(－3，2)

B．(3，2)C．(1，4)

D．(1，1)√AD

[因为(－3－2)2＋(2－3)2＝26＞4，所以点(－3，2)在圆外．因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点(3，2)在圆内．因为(1－2)2＋(4－3)2＝2＜4，所以点(1，4)在圆内．因为(1－2)2＋(1－3)2＝5＞4，所以点(3，2)在圆外．故选AD．]√23题号414．以C(1，1)为圆心，且经过M(2，3)的圆的方程是___________________．

(x－1)2＋(y－1)2＝5

1．知识链：(1)圆的标准方程．(2)点与圆的位置关系．2．方法链：直接法、几何法、待定系数法．3．警示牌：几何法求圆的标准方程出现漏解情况．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出圆的标准方程．[提示]

圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．2．如何求圆的标准方程？[提示]

确定圆的标准方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r．3．如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？[提示]

法一(代数法)：点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．法二(几何法)：判断点到圆心的距离与半径的大小．课时分层作业(二十)圆的标准方程题号135246879101112131415

√

题号135246879101112131415题号1352468791011121314152．在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆经过点(－2，－1)；乙：该圆的圆心为(2，－3)；丙：该圆的半径为5；丁：该圆经过点(5，1)．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是(

)A．甲

B．乙

C．丙

D．丁√题号135246879101112131415A

[若乙、丙正确，则圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，又(5－2)2＋(1＋3)2＝25，即丁正确，又(－2－2)2＋(－1＋3)2≠25，即甲错误，即如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是甲．故选A．]题号352468791011121314151

√D

[依题意得x≥0，将方程两边同时平方得x2＋y2＝1，由此确定表示的图形为半圆，故选D．]题号3524687910111213141514．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，且过另一个交点的圆的方程可能为(

)A．x2＋(y－4)2＝20

B．(x－4)2＋y2＝20C．x2＋(y－2)2＝20

D．(x－2)2＋y2＝20√

√题号3524687910111213141515．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(

)A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．圆心为C(2，1)，且与x轴相切的圆的标准方程为_____________________．(x－2)2＋(y－1)2＝1

[∵该圆的圆心C(2，1)，且与x轴相切，∴圆心C(2，1)到x轴的距离等于半径，则该圆的半径为r＝1，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1．](x－2)2＋(y－1)2＝1

题号3524687910111213141517．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9关于直线x＋y－1＝0对称的圆的标准方程是_______________．

(x－3)2＋y2＝9

题号3524687910111213141518．若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为________．1或5

[根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)，此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；1或5

题号352468791011121314151当圆心C在直线y＝－x上时，设圆心C的坐标为(a，－a)，此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，综上所述，圆的半径长为1或5．]题号352468791011121314151三、解答题9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)．(1)求圆C的标准方程；(2)已知P(a，1)在圆C外，求a的取值范围．题号352468791011121314151

题号3524687910111213141