人教A版高中数学选择性必修第一册第二章2.2.3直线的一般式方程课件

2.2.3直线的一般式方程第二章直线和圆的方程2.2直线的方程整体感知[学习目标]

1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式．(逻辑推理、数学抽象)2．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(数学运算、逻辑推理)(教师用书)前面学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用．那么是否存在一种方程形式，对任何直线都适用？[讨论交流]

问题1．直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程分别有什么特点？它们的方程能否化简为统一的形式？问题2．Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是什么？问题3．如何把直线的一般式化为斜截式？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1直线的一般式方程探究问题1

y＝x＋2是二元一次方程吗？方程5x＋2y－7＝0表示一条直线吗？

探究问题2直线与二元一次方程有何关系？[提示]

直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线．

Ax＋By＋C＝0【教用·微提醒】

(1)方程是关于x，y的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．(3)x的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．(5)解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式．

反思领悟

(1)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)．(2)反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的适用条件．[学以致用]

1．已知△ABC中，A(3，2)，B(1，1)，C(2，3)，则AB边上的高所在的直线方程是(

)A．2x＋y－7＝0

B．2x－y－1＝0C．x＋2y－8＝0

D．x－2y＋4＝0√

2．把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．

探究2利用一般式研究直线的平行与垂直探究问题3已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？

【教用·微提醒】

(1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况．(2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直．[新知生成]已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0．(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．

√√√

反思领悟

1．判定平行、垂直的两种方法(1)化成斜截式方程看斜率和截距的关系，但要注意k＝0和k不存在的情况．(2)化成一般式方程，用充要条件判断．2．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0．[学以致用]

3．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1，3)，且与l平行；(2)过点(－1，3)，且与l垂直．

[母题探究]本例条件不变，求证：不论m为何值，直线l总经过第二象限．

反思领悟

含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0．(2)令x＝0可得在y轴上的截距，且x的系数不为0．令y＝0可得在x轴上的截距，且y的系数不为0．若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根．[学以致用]

4．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

【链接·教材例题】例6把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．[分析]

求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令y＝0即可得x的值．

应用迁移23题号41

√

23题号412．直线x＋3y＋m＝0和直线3x－y＋n＝0的位置关系是(

)A．平行

B．垂直C．不平行也不垂直

D．与m，n的取值有关√B

[因为两直线斜率之积等于－1，所以两直线垂直．]23题号413．已知直线l过点(0，3)，且与直线x－y－1＝0平行，则l的方程是(

)A．x＋y－2＝0

B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0

D．x－y＋3＝0√D

[设直线l的方程为x－y＋c＝0(c≠－1)，由点(0，3)在直线x－y＋c＝0上，得0－3＋c＝0，解得c＝3，因此直线l的方程为x－y＋3＝0．]23题号41

6

回顾本节知识，自主完成以下问题：1．试写出直线的一般式方程．[提示]

Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴？(2)与x轴重合？(3)平行于y轴？(4)与y轴重合？

3．如何根据直线的一般式方程求直线的斜率和直线在x轴、y轴上的截距？

课时分层作业(十六)直线的一般式方程题号135246879101112131415

√

题号1352468791011121314152．两条直线l1：ax＋(1＋a)y＝3，l2：(a＋1)x＋(3－2a)y＝2互相垂直，则a的值是(

)A．0

B．－1C．－1或3

D．0或－1√C

[因为直线ax＋(1＋a)y＝3与(a＋1)x＋(3－2a)y＝2互相垂直，所以a(a＋1)＋(1＋a)(3－2a)＝0，解得a＝－1或

a＝3．故选C．]题号3524687910111213141513．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是(

)A．x－2y＋1＝0

B．x－2y－1＝0C．x＋2y－1＝0

D．2x＋y－2＝0√

题号3524687910111213141514．已知直线l1：2x＋2y－5＝0，l2：4x＋ny＋1＝0，l3：mx＋6y－5＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为(

)A．－10

B．10C．－2

D．2√

题号3524687910111213141515．(多选)已知直线l1：mx＋y＋m－1＝0，直线l2：4x＋my＋3m－4＝0，下列命题中正确的是(

)A．若l1⊥l2，则m＝0B．当m＝0时，n＝(1，0)是直线l1的一个方向向量C．若l1∥l2，则m＝2或m＝－2D．若直线l2在两坐标轴上的截距相等，则实数m＝4√√题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151二、填空题6．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m＝________．

3题号352468791011121314151

x－3y＋24＝0

题号3524687910111213141518．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是___________________．

x＋2y＋4＝0

题号352468791011121314151

题号352468791011121314151

题号35246879101112131415110．(多选)已知直线l1：mx－y－3＝0，直线l2：4x－my＋6＝0，则下列命题正确的有(

)A．直线l1恒过点(0，－3)B．存在m使得直线l2的倾斜角为90°C．若l1∥l2，则m＝2或m＝－2D．存在实数m使得l1⊥l2√√√

题号352468791011121314151题号352468791011121314151

√题号352468791011121314151

题号35246879101112131415112．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(

)A．－2

B．－1