人教A版高中数学选择性必修第一册第二章2.1.1倾斜角与斜率课件

2.1.1倾斜角与斜率第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率整体感知[学习目标]

1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象、直观想象)2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．(数学抽象)3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算)(教师用书)由初中的平面几何知识，我们知道两点确定一条直线；由必修教材中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线．那么，怎样用代数方法刻画直线呢？[讨论交流]

问题1．直线的倾斜角是如何定义的？它的取值范围如何？问题2．直线的斜率是如何定义的？直线的斜率一定存在吗？问题3．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？所有的直线都有倾斜角吗？[自我感知]

经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究建构探究1直线的倾斜角探究问题1在平面中，怎样才能确定一条直线？[提示]

两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．探究问题2在平面直角坐标系中，经过原点、与x轴正方向的夹角为60°的直线有几条？[提示]

有且仅有一条．[新知生成]1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴____与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为___．2．直线的倾斜角α的取值范围为_____________．正向0°0°≤α＜180°【教用·微提醒】

(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°)．(2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等．(3)一条直线的倾斜角存在且唯一．[典例讲评]

1．(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

)A．30°

B．60°C．30°或150°

D．60°或120°(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(

)A．α＋45°

B．α－135°C．135°－α

D．α－45°√√√(1)D

(2)AB

[(1)如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为60°或120°．(2)根据题意，画出图形，如图所示．通过图象可知：当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]反思领悟

求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用定义求角．2．两点注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°．(2)注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．有时要根据题意把倾斜角α分为以下四种情况讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°．[学以致用]

1．(多选)下列命题中，正确的是(

)A．任意一条直线都有唯一的倾斜角B．一条直线的倾斜角可以为－30°C．倾斜角为0°的直线有无数条D．若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)AC

[任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．D中，当α＝0°时，sinα＝0；当α＝90°时，sinα＝1，故D错误．]√√2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角α2＝_____．135°

[设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．]135°

正切值tanα

(1，k)

【教用·微提醒】

(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°．(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关．(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换．(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0．【链接·教材例题】例1如图2.1-6，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

[典例讲评]

2．(1)求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针旋转90°，求所得直线的斜率；(3)若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值；(4)已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，试判断这三点是否共线．

3．判断三点共线的方法对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在．(1)若斜率都不存在，则三点共线．(2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线．[学以致用]

3．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？

4．求经过两点A(a，2)，B(3，6)的直线的斜率．

探究3倾斜角和斜率的综合应用探究问题4当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？[提示]

当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．[新知生成]1．设直线的倾斜角为α，斜率为k．α的大小0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k的范围k＝0k＞0不存在k＜0k的增减性

随α的增大而____

随α的增大而____增大增大2．下面特殊角的正切值要熟记：倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k01－1【教用·微提醒】

(1)根据正切函数在[0，π)上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况．(2)正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意90°倾斜角没有斜率．

√

[母题探究]若将本例(1)中“B(－2，－2)”改为“B(2，2)”，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．[解]

∵P(1，1)，A(3，－3)，B(2，2)，∴kAP＝－2，kBP＝1，由图可知，直线l的斜率的取值范围为[－2，1]．反思领悟

倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者要相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解．[学以致用]

5．若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为(

)A．[1，＋∞)

B．(－∞，－1]C．[－1，1]

D．[1，＋∞)∪(－∞，－1]

√

应用迁移23题号411．(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(

)A．α＋60°

B．α＋120°C．α－60°

D．120°－α√BC

[直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为α－60°＋180°＝120°＋α．]√23题号412．(多选)下列说法正确的有(

)A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应B．倾斜角为135°的直线的斜率为1C．一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k＝tanαD．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)√√23题号41

23题号41

√

23题号414．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，当m＝________时，直线l的斜率是1．

1．知识链：(1)直线的倾斜角．(2)直线的斜率．(3)直线的方向向量与斜率的关系．(4)直线的倾斜角与斜率的综合应用．2．方法链：数形结合、分类讨论．3．警示牌：(1)对直线的斜率与倾斜角理解不透彻，忽略直线的斜率不存在致错．(2)对直线的方向向量与斜率的关系搞不清楚．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？[提示]

当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°．2．直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是什么？

3．直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？

课时分层作业(十二)倾斜角与斜率题号1352468791011121314一、选择题1．(多选)在下列四个命题中，正确的是(

)A．若直线的倾斜角α为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角α，且当α≠90°时，斜率为tanαC．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αD．直线的倾斜角越大，则其斜率越大√√AB

[当0°＜α＜90°时，其斜率k＝tanα＞0，所以A正确；根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有确定的倾斜角，由斜率定义可得，当直线的倾斜角α≠90°时，直线的斜率为tanα，所以B正确；若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β＝α＋k×180°，k∈Z，且0°≤β＜180°，故C不正确；直线的倾斜角为锐角时斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确．故选AB．]题号1352468791011121314题号1352468791011121314

√

题号3524687910111213141

√

题号3524687910111213141

√

题号3524687910111213141

√题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

题号3524687910111213141

题号35246879101112131418．已知直线l上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后，仍在该直线上，则直线l的斜率k为________．

题号3524687910111213141三、解答题9．已知坐标平面内两点M(m＋3，3m＋5)，N(2m－1，1)．(1)当直线MN的倾斜角θ为锐角时，求m的取值范围；(2)若直线MN的方向向量为a＝(1，－2025)，求m的值．

题号