2024-2025学年上海交大附中高二上学期数学期中试卷（含答案）（2024.11）

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.②③④12．若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列，则下列说法正确的是________．①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列；②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列；③存在实数，使得不存在实数，0，满足数列是常数列；④存在实数，使得有无穷多个实数，0，满足数列是常数列．【答案】②③④【解析】,则对任意恒成立,故①错②对.

取,任取.则恒成立.故④正确.

(更强的命题,,则均存在无数个,使得为常数,取即可）

只证明③.取,假设为常数列，则或

取,则或,则或

情况一：则,这是一个关于的一元二次方程,但这是不可能的（是超越数）其他情况同理.所以这样的等比数列不存在.二、选择题13.B14.C15.B16.C15．下列命题中真命题的个数是（）.（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】对于①，空间四点共面,如平面四边形,其中任何三点不共线，故①错误；

对于②，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面,得到此四点必共面;故②正确;

对于③,空间四点中任何三点不共线,则此四点可能共面，如平面四边形；故③错误；

对于④,空间四点不共面,如果任意三点有共线的,那么此四个点就共面，与已知矛盾.故④正确;故答案为:②④三、解答题17.（1）（2）18.（1）证明略（2）最大项是，最小项是19.（1）；（2）此时20．（本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆交于、两点．（1）求的周长；（2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若求点的横坐标；（3）设直线不垂直于坐标轴，点为点关于轴的对称点．直线与轴交于点．求面积的最大值．【答案】（1）8（2）（3）.【解析】（1）椭圆的长轴长为4.由椭圆定义知，的周长为8；

（2）由椭圆方程得,设，由,得①，点线段上，所以满足方程为②，

将①式代入②，得，代入椭圆方程，得，

因为,所以.（3）设，直线的方程为，则点的坐标为，直线的方程为,

将直线方程代入椭圆方程得：

则,所以，所以面积的最大值为.21．（本题满分18分.第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分）在平面直角坐标系中，若点满足，都是整数，则称点为格点．（1）指出椭圆上的所有格点；（2）设、是抛物线上的两个不同的格点，且线段的长度是正整数，求直线的斜率的所有可能值组成的集合；（3）设（且）项的数列满足：点是函数的图像上的格点，则是否存在正整数，使得数列为等差数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）（3）不存在，理由见解析【解析】（1）;

（2）设且,则为正整数,记为,所以.

由于都是整数,所以与都是完全平方数,故只能有,因此,直线的斜率的所有可能值组成的集合是.

（3）存在正实数,使得数列为等差数列,记公差为

则且,

所以是方程的实数解.

①时,则有正整数解.

所以必有是整数,所以正整数只可能使得,逐一验证发现都不符合题意,所以时不存在正整数,使得数列为等差数列.②时,则有至少两个不相等的整数解,而方程至多有两个不相等的实数解,所以只能,且恰有两个不相等的整数解,则直线与双曲线的上半部分必有两个公共点,

（i）时,有,而是正整数,是整数,所以只可能,,代回验证发现不符题意,

（ii）时,不存在,

（iii）时,有,且是方程的两根,所以,而,所以有:,得,

由于是整数,所以是整数,故,此不等式无实数解,所以也不存在正整数,使得数列为等差数列.

综上,不存在正整数,使得数列为等差数列.

解二:由题意得,且与与都是整数,

所以是有理数,而也是整数,所以是完全平方数,记为,故,得,而与的奇偶性相同,所以只可能有,因此必有,则,不存在,即不存在正整数,使得数列为等差数列.【附加题】（共10分）世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子．（1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为的点方形，其初始位置为，，，．①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止；②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止；④再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止．我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形“滚动”一周。为任点向轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形“滚动”_______周，在这个过程中，点经过的路径总长度为________个单位长度；（2）如果制造一个正边形的“轮子”。该正边形的中心到任意一个顶点的距离为1．共将该正边形的"轮子"振动一周，求点经过的路径总长度；