函数的单调性与导数课件新人教A版选修

函数的单调性与导数函数的单调性是函数变化趋势的重要特征。导数是描述函数变化率的工具。本节课将探讨函数的单调性与导数之间的关系，并介绍如何利用导数判断函数的单调性。函数单调性的概念单调递增在某个区间内，函数图像始终向上倾斜，即随着自变量的增大，函数值也随之增大。单调递减在某个区间内，函数图像始终向下倾斜，即随着自变量的增大，函数值也随之减小。常函数在整个定义域内，函数图像始终为一条水平线，即函数值保持不变。函数单调性的判定条件单调递增函数定义域内任意两个自变量，若较大者对应的函数值也较大，则称函数在该定义域内单调递增。单调递减函数定义域内任意两个自变量，若较大者对应的函数值也较小，则称函数在该定义域内单调递减。单调性判定条件利用函数的导数可以判断函数的单调性。如果函数在某个区间内导数恒大于零，则函数在该区间内单调递增；如果导数恒小于零，则函数在该区间内单调递减。函数单调性性质传递性如果函数在区间I上单调递增，那么它在I的任何子区间上也单调递增。同样的，单调递减也是如此。局部性质函数的单调性只与函数在该区间内的变化趋势有关，与函数在该区间外的变化无关。唯一性如果函数在区间I上既单调递增又单调递减，那么函数在区间I上为常数函数。可加性如果两个函数在同一区间上都单调递增（或递减），那么它们的和函数也单调递增（或递减）。函数单调性的应用函数的单调性在数学、物理、经济等领域都有广泛应用。例如，在物理学中，可以利用函数的单调性分析物体的运动轨迹，在经济学中，可以利用函数的单调性分析商品的价格变化趋势。通过函数单调性的应用，可以解决很多实际问题，例如，求函数的最值，判断函数的增减性，以及分析函数的图像等。函数导数的概念1函数导数函数导数是指函数在某一点的变化率，反映了函数在该点处的变化趋势。2导数定义函数f(x)在x=x0处导数定义为：lim△x→0[f(x0+△x)-f(x0)]/△x3几何意义函数导数的几何意义是函数曲线在该点处的切线的斜率。导数的几何意义导数在几何上代表了函数曲线在某一点的切线的斜率。切线的斜率反映了函数在该点变化的快慢程度，也即函数在该点的瞬时变化率。导数的性质导数的加减法性质设函数f(x)和g(x)在点x处可导，则f(x)±g(x)在点x处也可导，且(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)导数的乘法性质设函数f(x)和g(x)在点x处可导，则f(x)g(x)在点x处也可导，且(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)导数的除法性质设函数f(x)和g(x)在点x处可导，且g(x)≠0，则f(x)/g(x)在点x处也可导，且(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))²导数的链式法则设函数u=g(x)在点x处可导，函数y=f(u)在点u处可导，则复合函数y=f(g(x))在点x处可导，且y'=f'(u)g'(x)导数的计算1基本公式法利用基本导数公式，直接求导。常数函数的导数为0幂函数的导数指数函数的导数对数函数的导数三角函数的导数2导数运算法则利用导数的四则运算性质，求导。和差法则积法则商法则链式法则3其他方法利用隐函数求导、参数方程求导等方法。复合函数的导数复合函数是指由两个或多个函数复合而成的函数。例如，函数y=(x^2+1)^3，其中x^2+1和x^3都是函数，它们复合在一起形成了复合函数y。复合函数的导数是指复合函数的导数，它可以用来求解复合函数的极值、单调性等问题。例如，我们可以用复合函数的导数来求解函数y=(x^2+1)^3的极值。1链式法则复合函数的导数等于内层函数的导数乘以外层函数的导数。2求解步骤1.确定内层函数和外层函数。2.求解内层函数的导数。3.求解外层函数的导数。4.将内层函数的导数和外层函数的导数相乘。3实际应用复合函数的导数在物理、化学、经济学等领域有广泛的应用，例如，可以用来求解物体的速度、加速度等问题。隐函数的导数隐函数是指无法用显式表达式表示y=f(x)的函数，通常用方程的形式表示。例如，圆的方程x²+y²=1，其中y是x的隐函数。1方程两边求导对隐函数方程两边同时求导，注意y是x的函数，因此要使用链式法则。2整理将导数整理成y'的表达式。3求解根据需要解出y'的值，得到隐函数的导数表达式。隐函数求导的关键在于将y看作x的函数，并应用链式法则进行求导，最后整理得到y'的表达式。高阶导数定义函数的n阶导数是其n-1阶导数的导数，也称为高阶导数。求法对函数进行多次求导，每次求导的阶数增加1，即n阶导数。符号用f^(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。应用高阶导数在物理、化学、工程等领域都有应用，例如在计算运动轨迹、分析曲线性质等。函数的最值问题最大值在函数定义域内，函数取得的最大值。最小值在函数定义域内，函数取得的最小值。极值函数在定义域的某个邻域内取得的最大值或最小值，称为函数的极值。最值问题求函数在给定区间上的最大值或最小值，是数学中一个重要的应用问题。函数的单调性和极值单调性与极值的关系函数的单调性与极值之间存在密切联系。当函数在某点取得极值时，其单调性会发生改变。例如，函数在极大值点处，单调性由增变为减，而在极小值点处，单调性由减变为增。极值的概念函数的极值是指函数在某点取得的最大值或最小值，称为该点的极大值或极小值。函数的极值点是指函数取得极值的点。函数图像的描绘利用函数的单调性、极值、凹凸性、拐点等性质，可以描绘函数的图像。通过图像可以直观地了解函数的性质，例如：函数的单调区间、极值点、拐点等。利用图像可以发现函数的某些规律，例如：函数的周期性、对称性等。在实际应用中，函数图像的描绘可以帮助我们理解和分析函数的行为。函数的凹凸性凹函数图形向上弯曲二阶导数小于0凸函数图形向下弯曲二阶导数大于0凹凸性判定通过二阶导数的符号来判断点的极值性质1极大值点函数在极大值点处，其导数为零，或导数不存在。2极小值点函数在极小值点处，其导数也为零，或导数不存在。3导数与极值的关系函数的极值点可能是导数为零的点，但也可能是导数不存在的点。4应用利用导数的性质，可以帮助我们找到函数的极值点，从而判断函数的极值。拐点及其判定1拐点的定义拐点是指函数图像上曲线的凹凸性发生改变的点，它表示函数的二阶导数从正变负或从负变正。2拐点判定的条件二阶导数在拐点处等于零或不存在二阶导数在拐点处变号3拐点判定的方法通过求解函数的二阶导数，找到二阶导数等于零或不存在的点，并判断二阶导数在这些点附近的符号变化来确定拐点。微分中值定理基本概念微分中值定理描述了可导函数在闭区间上的平均变化率与该函数在该区间内某一点处的导数之间的关系。重要性它是微积分学中一个重要的定理，是许多其他定理的基础，例如泰勒公式和积分中值定理。应用微分中值定理在许多数学领域都有应用，例如证明函数的性质、求函数的最值和估计函数的值。罗尔定理定理条件在一个闭区间上连续，在开区间上可导，并且函数在区间端点处取值相等。定理结论在开区间内至少存在一点，使函数在该点的导数为零。几何解释罗尔定理表明，如果一个函数在两个端点处取值相等，则在函数图像的两个端点之间至少存在一个点，该点的切线平行于x轴。Lagrange中值定理定理内容如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)直观上，Lagrange中值定理表明，在一段连续的曲线上的某一点处，切线的斜率等于该曲线两端点连线的斜率。几何意义Lagrange中值定理的几何意义是，在函数图象上任意两点A(a,f(a))和B(b,f(b))之间，存在一点C(ξ,f(ξ))，使得过点C的切线平行于过A、B两点的割线。导数的应用求解函数的最值利用导数求解函数的最值，可以应用于优化问题，如求解最优生产方案、最大利润、最小成本等。研究函数的单调性与凹凸性导数可以帮助我们分析函数的单调性和凹凸性，从而描绘函数图像，并预测函数在特定区间内的行为。解决实际问题导数可以应用于物理学、经济学、工程学等领域，解决诸如运动学、经济增长、材料强度等实际问题。探索函数的性质导数可以揭示函数的性质，例如函数的连续性、可导性、极值点、拐点等，帮助我们深入理解函数的本质。常用初等函数导数公式幂函数对于任何实数n，(x^n)'=nx^(n-1)指数函数(a^x)'=a^x*ln(a)对数函数(log_a(x))'=1/(x*ln(a))三角函数(sin(x))'=cos(x),(cos(x))'=-sin(x),(tan(x))'=sec^2(x)导数的实际应用导数在物理学、经济学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，物理学中用导数来描述速度、加速度、动量等物理量。经济学中用导数来分析成本、利润、需求等经济问题。在工程学中，导数可以用来优化设计、控制系统、预测结果等。导数的应用使我们能够更深入地理解和解决实际问题。导数的应用实例11.速度与加速度导数可用于计算物体的速度和加速度，这是物理学中的重要概念。22.最优化问题导数可用于找到函数的最大值和最小值，例如，在经济学中，可以使用导数来找到利润最大化或成本最小化的生产水平。33.经济学导数可用于分析经济模型，例如，可以用于计算边际成本、边际收益和边际利润。44.其他领域导数在许多其他领域都有应用，例如工程学、计算机科学、生物学和化学。函数的优化问题函数优化问题函数优化问题是指在给定条件下寻找函数的最值问题。函数优化问题在工程、经济、管理等领域都有广泛应用。解决优化问题利用导数的性质和极值概念解决函数优化问题。通过求函数的导数和极值，可以找到函数的最值。优化问题的解决思路1.建立目标函数根据实际问题，确定要优化的量，并将其表示为一个函数，称为目标函数。2.确定约束条件根据实际问题，确定目标函数的定义域，即自变量的取值范围，以及其他限制条件。3.求解目标函数利用导数等数学方法，求出目标函数的最值，即最大值或最小值。4.验证解的合理性将求得的最值代入实际问题中，检验其是否满足所有约束条件，并判断其是否符合实际意义。函数图像描绘综合案例函数图像描绘需要综合运用函数单调性、极值、凹凸性、拐点等知识，这是一个非常重要的应用领域。通过结合实际案例，我们可以更深入地理解和运用这些知识。函数图像描绘可以帮助我们更好地理解函数的性质，并能将其应用到实际问题中。函数单调性与导数知识总结11.函数单调性函数单调性描述函数值随自变量变化趋势。单调递增函数值随自变量增大而增大，单调递减函数值随自变量增大而减小。22.导数导数是函数变化率，反映函数在某一点的变化趋势。导数的正负决定函数的单调性，导数为零的点可能是极值点。33.应用利用导数可以求函数的单调区间、极值、最值，以及函数图像的凹凸性、拐点等，广泛应用于实际问题求解中。复习与思考本节课学习了函数的