专题34 规律探究性问题（原卷版）

模块三重难点题型专项训练

专题34规律探究题专训

规律探索类问题的特征是给出若干个按照一定顺序排列的具有某种特定变化规律的数、式或图形，

要求解题者通过观察、分析、归纳和猜想等一系列活动找出蕴藏于其间的一般性规律。这类较为新颖

的探索型问题不仅可以锻炼学生的逻辑推理能力，培养创新意识和创新能力，而且还具有较强的综合

性和较高的区分度，因此成为近年各地中考数学中的一个考查热点。

1317911

例1（2022·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的一组数据：，-，，，，，…．则

252172637

按此规律排列的第10个数是（）

19211921

A．B．C．D．

1011018282

例2（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，

第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数

是（）

A．297B．301C．303D．400

例3（2022·新疆·统考中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）

A．98B．100C．102D．104

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例4（2022·重庆·统考中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第

②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数

为（）

A．15B．13C．11D．9

例5（2022·重庆·统考中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，

第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下

去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）

A．32B．34C．37D．41

例6（2022·内蒙古·中考真题）观察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，…

根据其中的规律可得7071L72022的结果的个位数字是（）

A．0B．1C．7D．8

例7（2021·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：a2,4a3,9a4,16a5,25a6，……，第n个单项式

是（）

2

A．n2an1B．n2an1C．nnan1D．n1an

14710

例8（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律

251017

排列，则第30个数是_____．

12

例9（2022·湖北恩施·统考中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数

27

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112

记为an，且满足．则a4________，a2022________．

anan2an1

111111111

例10（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……

23634124520

(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）

(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．

例11（2022·安徽·统考中考真题）观察以下等式：

222

第1个等式：21122122，

222

第2个等式：22134134，

222

第3个等式：23146146，

222

第4个等式：24158158，

……

按照以上规律．解决下列问题：

(1)写出第5个等式：________；

(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．

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例12（2021·山东青岛·统考中考真题）问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．

（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最

短边长，第三边长）的形式记为1,1,1，有1个，所以总共有111个整数边三角形．

表①

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

111,1,111个111

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当

最短边长为1时，第三边长只能是2，记为2,1,2，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记

为2,2,2，有1个，所以总共有11122个整数边三角形．

表②

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

12,1,21

22个112

22,2,21

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：

表③

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

13,1,31

32个222

23,2,2，3,2,32

33,3,31

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：

表④

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最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

14,1,41

24,2,3，4,2,42

43个223

34,3,3，4,3,42

44,4,41

（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：

表⑤

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

15,1,51

25,2,4，5,2,52

53__________________

45,4,4，5,4,52

55,5,51

问题解决：

（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．

（2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形

个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数．

（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．

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一、递进式变化规律

递进变化类的规律题通常给出若干个按照某种特定的递进变化规律(递增或递减)排列的

数、式或图形等内容，要求从这些已知量的观察分析中找出变化的一般规律。学生很容易看出

题目呈现的是一列递进变化的量，但较难归纳出一个统一的表达式来表示变化的一般规律，而

变化的一般规律常常与已知量的排列序号有关联。因此在解决此类问题时，首先要按照题目中

的排列顺序给已知量编上序号；然后找出已知量中变化和不变的部分，分析序号和变化部分之

间的数量关系，猜想和归纳出第n个量的含有n的表达式，得出一般规律；最后将序号代回表

达式算出结果，比较所得结果与对应数值是否一致，验证猜想的正确性，得出最终结果。

1、数与式的递进变化规律

这类规律题通常呈现出一列按照某种特定的递进变化规律排列的数字、等式或代数式等，

要求变化的一般规律。解决这类题目的关键在于根据前若干项已知量(若没直接给出则需根据

题目的信息求出来)的变化部分找出与它们对应的排列序号之间的数量关系，从而得出变化的

一般规律。

2、图形变化中的数量递进变化规律

与图形有关的递进变化规律题归根结底考查的也是图形在变化过程中图案的个数、图形的

周长或面积、线段的长度等这些量的变化规律。解决这类问题要仔细观察并找出图形变化与不

变的部分，研究变化部分的图形变化和数量变化的规律，找出不变部分的固定数量，分析变化

部分的数量与对应的图形排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。

3、图表中的数字递进变化规律

这类题目的规律蕴藏在图表中的数字变化中，解题的关键在于寻找图表中每行、每列中的

数字之间关系和排列顺序，以及行与行之间、列与列之间的联系，此外还应观察图表中的数与

它所处的列数和行数间的数量变化规律。

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【变式1】（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）下列中国结图形都是边长为“1”的正方形按照一定规

律组成，第①个图形中共有7个边长为“1”的正方形，第②个图形中共有12个边长为“1”的正方形，第③个

图形中共有17个边长为“1”的正方形，，依此规律，第⑥个图形中边长为“1”的正方形的个数是（）

A．25B．27C．30D．32

【变式2】（2022·重庆·重庆八中校考二模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4

个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则

第⑦个图案中黑色圆点的个数为（）

A．12B．14C．16D．18

【变式3】（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正

方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第_________个图案中有2021个涂有阴影的小正方形．

【变式4】（2022·山东泰安·模拟预测）我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一

2

例，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应aba22abb2展开式中的系数；第四行

3

的四个数1，3，3，1，恰好对应着aba33a2b3ab3b3展开式中的系数；请根据规律直接写

4

出a6的展开式______．

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【变式5】（2022·浙江台州·统考二模）浙江从3月6日至3月20日新增新冠确诊人数和无症状人数情况如

下表，根据表中数据绘制出如下的折线统计图，请根据统计图表分析：

日期67891011121314151617181920

确诊1616182454154328383223303

无症状34883334311371712822242617

(1)在统计的这段时期内，新增确诊和无症状感染者总人数在60人以上的天数有______天；

(2)3月6日至3月20日平均每天有多少个确诊的新冠病人？

(3)请比较分析这段时间确诊人数与无症状感染人数的整体水平与变化规律，并对下阶段防疫工作提出一条

合理化的建议．

例1（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，

再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）

A．（22）5B．（22）6C．（2）5D．（2）6

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△

例2（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边

作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的

长度为（）

﹣22﹣

A．（2）nB．（2）n1C．（）nD．（）n1

22

例3（2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4……在x轴上且OA11，

OA22OA1，OA32OA2，OA42OA3……按此规律，过点A1，A2，A3，A4……作x轴的垂线分别与直线

△

y3x交于点B1，B2，B3，B4……记OA1B1，OA2B2，OA3B3，OA4B4……的面积分别为S1，S2，S3，

S4……，则S2022______．

例44．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，

B1A1O60,OA13,B1A11．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且B1A1D160,C1D1与射线OM交于

V

点B2，得C1B1B2；延长B2D1交射线ON于点A2，以B2A2为边在其右侧作菱形A2B2C2D2，且

V

B2A2D260,C2D2与射线OM交于点B3，得C2B2B3；延长B3D2交射线ON于点A3，以B3A3为边在其右侧

△

作菱形A3B3C3D3，且B3A3D360,C3D3与射线OM交于点B4，得C3B3B4；…，按此规律进行下去，则

△

C2022B2022B2023的面积___________．

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例5（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，AOB60，点P1在射线OA上，且OP11，过点P1作

P1K1OA交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2P1K1；过点P2作P2K2OA交射线OB于K2，

在射线OA上截取P2P3，使P2P3P2K2.按照此规律，线段P2023K2023的长为________．

二、循环变化规律

循环类规律题中的数、式、图形或坐标等内容的变化中有着循环规律，它们有着一定的排列顺序

和固定的循环周期，并根据特定的循环周期间隔出现。解决此类问题首先应发现题目中的循环规律并

找出循环周期，明确循环周期中的量的个数和变化规律，然后根据实际问题求出循环周期的个数及余

数，最后结合题目的要求和所得数据解出答案。

1、数与式的循环变化规律

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这类题目中有着一列存在着循环规律排列的数字或代数式。计算并观察题目规律中前若干项的结

果，当发现这些数字或代数式存在循环规律时，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及

余数是解决此类问题的关键。

2、图形变化中的坐标循环变化规律

这类规律题通常要求某个连续变化的图形中某点的坐标，在某点的变化过程中对应坐标的数字存

在着循环变化的规律。解题的重点在于仔细观察图形变化的特点，计算和分析某点变化中横坐标或纵

坐标的规律，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及余数，进而得出要求的坐标。

【变式1】（2022·山东济宁·校考二模）如图，在正方形ABCB1中，AB3，AB与直线l所夹锐角为60，

延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直

线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，依次规律，则线段A2021A2022（）

2021

201920202022

．3．3．3．3

A2B2C2D2

3333

【变式2】（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，在图1中，A1、B1、C1分别是等边ABC

的边BC、CA、AB的中点，在图2中，A2，B2，C2分别是A1B1C1的边B1C1、A1C1、A1B1的中点，…，按

此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（）个．

A．n2B．2nC．3nD．3n1

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【变式3】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次

运动，第1次从点(0，1)运动到点(1，0)，第二次运动到点(2，2)，第3次运动到点(3，0)，按这样的运动规

律，动点P第2022次运动到的点的坐标是_______．

【变式4】（2022·贵州遵义·校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，

按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边

“OA1A1A2A2A3A3A4A4A5……”的路线运动．设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐

标是_______________．

2

【变式5】（2020·江西南昌·模拟预测）已知抛物线ynxanbn（n为正整数，且0a1a2an）

A(0,0)2

与x轴的交点为和Ancn,0,cncn12．当n1时，第1条抛物线y1xa1b1与x轴的交点为

A(0,0)和A1(2,0)，其他以此类推．

（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式．

（2）抛物线yn的顶点Bn的坐标为（_______，_______）；以此类推，第(n1)条抛物线yn1的顶点Bn1的坐

标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标(x,y)满足的函数关系式是_________．

（3）探究以下结论：

△

①是否存在抛物线yn，使得AAnBn为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线yn的解析式；若不存在，

第12页共21页.

请说明理由．

②若直线xm(m0)与抛物线yn分别交于点C1,C2,,Cn，则线段C1C2,C2C3,,Cn1Cn的长有何规律？请用

含有m的代数式表示．

【培优练习】

1．（2022秋·全国·七年级期末）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数n14，计算n13n11得a1，第

二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n23n21得a2，第三步算出a2的各位数字之和得n3，计算

n33n31得a3；以此类推，则a2022的值为（）

A．7B．52C．154D．310

2

2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3

2a

221

的“哈利数”是2，2的“哈利数”是，已知a5，a是a的“哈利数”，a是a的“哈利

232(2)212132

数”，a4是a3的“哈利数”，，依此类推，则a2022等于（）

328

A．B．C．D．5

435

3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示，点A11,2，A22,0，A33,2，A44,0，，根据这个

规律，可得点A2022的坐标是（）

A．2021,0B．2021,2C．2022,0D．2022,2

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4．（2022秋·山东泰安·九年级统考期末）斐波那契螺旋线．也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1,1,2,3,5,

为半径，依次作圆心角为90的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是1cm，按如图所示的方法

依次画，第8步所画扇形的弧长为（）

132155

A．B．C．17D．

222

5．（2021秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律

组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规

律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（）

A．38B．52C．68D．86

6．（2021秋·广东茂名·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原

点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次

移动到A1，第2次移动到A2，…第n次移动到An．则△OA6A2018的面积是（）

A．505m2B．504.5m2

C．504m2D．503m2

7．（2021秋·河南新乡·九年级新乡市第一中学校考期末）如图，顶角为36的等腰三角形，其底边与腰之比

等k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三

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角形，CDE为第三个黄金三角形以此类推，第3个黄金三角形的周长（）

23

A．k2B．k3C．k2kD．k2k

8．（2021秋·山东日照·七年级日照港中学校考期中）将正方形ABCD(如图1)作如下划分，第1次划分：分

别连接正方形ABCD对边的中点(如图2)，得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；

第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；若把左上角的正方

形依次划分下去，则第n次划分后，图中共有（）个正方形．

A．4n3B．4n-1C．4n1D．4n3

9．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程x23xm2m0m0，当

m1,2,3,,2022时，相应的一元二次方程的两根分别记为1,1;2,2;;2022,2022,则

111111

的值为_________．

112220222022

△

10．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将ABO绕点A顺时针旋转到AB1C1

△V

的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将AB1C1绕点B1顺时针旋转到A1B1C2的位置，

V△

点C2在x轴上，将A1B1C2绕点C2顺时针旋转到A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点

3

A,0，B0,2，则点B2022的坐标为_______．

2

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11．（2022秋·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC中，已知A4,0，

OAB120，对角线AC、BO交点D，将菱形OABC绕点D顺时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次

后，点D的坐标是___________，旋转2022次后，点D的坐标是___________．

12．（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，图中的方格均是边长为1的正方形，

每一个正方形的顶点都称为格点.图①⑥中，这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，像这样

的多边形我们称为“内空格点多边形”

（1）当内空格点多边形边上的格点数为10时，此多边形的面积为______；

（2）设内空格点多边形边上的格点数为L，面积为S，请用等式表示L与S的关系______

13．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）如图①，将正方体骰子（相对面上

的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上．在图②中，将骰子向右翻滚90，然后在桌面上

按逆时针方向旋转90，则视作完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续

完成2022次变换后，骰子朝上一面的点数是__________．

第16页共21页.

14．（2022秋·九年级单元测试）如图，矩形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，

点A(1,2)，将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点

记为A2依此类推，A的坐标__，经过2022次翻滚后点A对应点A2022的坐标为________．

1

15．（2022秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）如图，点A、A、A在反比例函数y（x0）的图象

123x

1

上，点B、B、B在y轴上，且BOA＝BBA＝BBA，，直线y=x与双曲线y交于点A，

12311212323x1

B1A1OA1，B2A2B1A2，B3A3B2A3则B2020的坐标是_____．

16．（2022秋·辽宁鞍山·七年级统考期中）观察下面三行数：

2，4，8，16，32，……；①

1，5，7，17，31，……；②

4，8，16，32，64，……；③

(1)第①行的第8个数是______；

(2)第②行的第n个数是______；（n为正整数）

(3)取每一行的第7个数，计算这三个数的和．

第17页共21页.

17．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）十一期间，泉城广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按

如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5

个盆栽，第四层有7个盆栽，……，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：

(1)第10层有个盆栽，第a层有个盆栽，前n层共有个盆栽；

(2)计算：135……25；

(3)拓展应用：求2729……1921的值．

18．（2022秋·九年级课时练习）如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若

将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．

(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体

共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．

(2)求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．

(3)求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．

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19．（2022秋·八年级单元测试）阅读理解：

11111111111

材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：1，，，，…，

122232334344545

111

发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立．

nn1nn1

1111111111119

应用规律，快速计算：11．

122334910223349101010

根据材料，回答问题：

在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请

将下面的探究过程，补充完整．

（1）具体运算：

1111

特例1：1111，

1222122

11111

特例2：11