专题05 不等式（组）及不等式的应用（5大考点）（解析版）

第二部分方程（组）与不等式（组）

专题05不等式（组）及不等式的应用

核心考点一不等式的基本性质

核心考点二一元一次不等式（组）的解法

核心考点核心考点三含参不等式（组）问题

核心考点四不等式的实际应用

核心考点五方程与不等式结合的实际应用

新题速递

核心考点一不等式的基本性质

例1（2022·内蒙古包头·中考真题）若mn，则下列不等式中正确的是（）

11

A．m2n2B．mnC．nm0D．12m12n

22

【答案】D

【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都

乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的

方向改变，可得答案．

【详解】解：A、∵m＞n，∴m2n2，故本选项不合题意；

11

B、∵m＞n，∴mn，故本选项不合题意；

22

C、∵m＞n，∴mn0，故本选项不合题意；

D、∵m＞n，∴12m12n，故本选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真

弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不

仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．

11

例2（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则______．（填“>”、

ab

“=”或“<”）

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【答案】

【分析】由图可得：1ab，再根据不等式的性质即可判断．

【详解】解：由图可得：1ab，

11

由不等式的性质得：，

ab

故答案为：．

【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．

3x1

例3（2020·江苏淮安·中考真题）解不等式2x1．

2

解：去分母，得2(2x1)3x1．

……

（1）请完成上述解不等式的余下步骤：

（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或“B”）

A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．

【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；

（2）根据不等式的性质即可得．

3x1

【详解】（1）2x1

2

去分母，得2(2x1)3x1

去括号，得4x23x1

移项，得4x3x12

合并同类项，得x1；

（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变

3x1

2x1两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到2(2x1)3x1

2

故选：A．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．

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知识点：不等式及其基本性质

1、定义：用不等号（>,≥,<,≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。

2、基本性质

性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方

向不变，即如果ab，那么ac

性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即

ab

如果ab，c0，那么acbc，

cc

性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即

ab

如果ab，c0，那么acbc，

cc

性质4如果ab，那么ba

性质5如果ab，bc，那么ac

112

【变式1】．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足ac2b，．则下列

acb

结论正确的是（）

A．若ab0，则cb0B．若ac1，则b1

C．a，b，c不可能同时相等D．若a2，则b28c

【答案】B

11112

【分析】A.根据a＞b＞0，则＜，根据，得出c＜b；

abacb

112

B.根据，得出2acbac，把ac2b代入得：b2ac1，即可得出答案；

acb

112

C.当abc时，可以使ac2b，，即可判断出答案；

acb

D.根据解析B可知，b2ac2c，即可判断．

【详解】A.∵a＞b＞0，

11

∴＜，

ab

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112

∵，

acb

11

∴＞，

cb

∴c＜b，故A错误；

112ac2

B.∵，即，

acbacb

∴2acbac，

把ac2b代入得：2ac2b2，

b2ac1，

解得：b1，故B正确；

112

C.当abc时，可以使ac2b，，

acb

∴a，b，c可能同时相等，故C错误；

D.根据解析B可知，b2ac，把a2代入得：b22c，故D错误．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和

等式的性质，是解题的关键．

【变式2】（2022·江苏南通·一模）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x的不等式（m+n）

x＞m﹣n的解集是（）

A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13

【答案】C

【分析】根据不等式的性质，利用不等式mxn0的解集是x2得到m0，n2m，然后把n2m代入

不等式(mn)xmn中求解即可．

【详解】解：∵不等式mxn0的解集是x2，

nn

∴x<（m0），2，

mm

∴n2m，

不等式(mn)xmn变形为(m2m)xm2m，

即3mxm，

∵m0，

1

∴x．

3

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故选C．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式．解题的关键在于熟练掌握不等式的性质．

【变式3】（2022·江苏宿迁·三模）若不等式mx3m，两边同除以m，得x3，则m的取值范围为__________．

【答案】m0

【分析】由不等式的基本性质知m0，据此可得答案．

【详解】解：若不等式mx3m，两边同除以m，得x3，

则m0．

故答案为：m0．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．

2

【变式4】（2022·安徽·模拟预测）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，化简：|1﹣a|﹣a

1a

＝_____．

【答案】1

【分析】根据不等式的基本性质得出1﹣a＜0，再由绝对值的性质去绝对值符号、合并同类项即可．

2

【详解】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x，

1a

∴1﹣a＜0，

解得a＞1，

即1a1aa1，

∴原式＝a﹣1﹣a＝﹣1，

故答案为：﹣1．

【点睛】本题主要考查了不等式的性质及绝对值的化简求值，解题的关键是掌握不等式的基本性质和绝对

值的化简．

【变式5】（2022·浙江杭州·一模）已知Mx22x4，Nx24x4，请比较M和N的大小．

以下是小明的解答：

22

∵Mx133，Nx20，

∴MN．

小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．

【答案】有错；x0时，MN；x0时，M=N；x0时，MN；

【分析】先求出M与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解．

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【详解】解：有错，正确解答如下．

∵Mx22x4，Nx24x4，

∴MNx22x4x24x42x．

∴当x>0时，2x>0，即MN0，此时M>N；当x=0时，2x=0，即MN0，此时M=N；当x<0时，2x<0，

即MN0，此时M<N．

∴x0时，MN；x0时，M=N；x0时，MN．

【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键．

核心考点二一元一次不等式（组）的解法

例1（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x3x2的解集是（）

A．x2B．x<2C．x2D．x2

【答案】D

【分析】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．

【详解】解：4x3x2，

移项，合并同类项得：x2,

故选D

【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键．

例2（2022·北京·中考真题）若x8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．

【答案】x≥8

【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．

【详解】解：由题意得：

x-8≥0，

解得：x≥8．

故答案为：x≥8．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式a(a0)是解题的关键．

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3x12x2,①

例3（2022·山东菏泽·中考真题）解不等式组x3x2并将其解集在数轴上表示出来．

1,②

32

【答案】x≤1，图见解析

【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示

出来即可．

【详解】解：解①得：x≤1，

解②得：x<6，

∴x≤1，

解集在数轴上表示为：

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大

于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．

知识点：一元一次不等式及其解法

含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等

式叫做一元一次不等式。

定义一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解，所

有这些解的全体称为这个不等式的解集。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。

解法步

一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法类似，不同的是当不等

骤

式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变。

xa

解集在xa“两定”

数轴上定边界

表示xa定方向

xa

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2x13x2

例题：解不等式1，并在数轴上表示解集。

34

解：42x133x212

8x49x612

8x9x6124

x2

x2

解集在数轴上表示为

知识点：一元一次不等式组及其解法

1、定义

由几个含有同一个未知的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

这几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

求一元一次不等式组解集的过程叫做解不等式组。

2、解法步骤

（1）分别求出每个不等式的解集；

（2）在同一数轴上表示出各个解集，找出所有解集的公共部分；

（3）写出不等式组的解集。

3、解集表示（假设ab）

不等式组在数轴上的表示不等式组的解集口诀

xa

xb同大取大

xb

xa

xa同小取小

xb

xa大小小大，

axb

xb中间找.

xa大大小小，

无解

xb找不到.

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【变式1】（2022·江苏·建湖县汇杰初级中学三模）若x3是关于x的不等式2xm4的一个整数解，而x2

不是其整数解，则m的取值范围为（）

A．0m2B．0m2C．0m2D．0m2

【答案】C

m4

【分析】先解一元一次不等式可得x，再根据x2不是不等式2xm4的整数解，可得m0，然

2

后根据x3是关于x的不等式2xm4的一个整数解，可得m2，最后进行计算即可解答．

【详解】解：∵2xm4，

m4

∴x．

2

∵x2不是不等式2xm4的整数解，

m4

∴2，

2

解得m0．

∵x3是关于x的不等式2xm4的一个整数解，

∴32m4，

∴m2，

∴0m2．

故选：C．

【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．

xa0

【变式2】（2021·河南·模拟预测）关于x的不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（）

72x1

A．6＜a＜7B．6＜a7C．6a7D．6a＜7

【答案】B

【分析】首先解不等式组，利用a表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得a的

范围．

xa0①

【详解】解：

72x1②

解①得x＜a，

解②得x≥3．

则不等式组的解集是3≤x＜a．

∵不等式组有4个整数解，

第9页共49页.

∴不等式组的整数解是3，4，5，6．

∴6＜a≤7．

故选B．

【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，

同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

2xb

【变式3】（2022·安徽·三模）若关于x的分式方程4的解是非负数，则b的取值范围是______．

x3

【答案】b12且b6

【分析】先求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．

2xbb

【详解】解：关于x的分式方程4的解为：x＝6−，

x32

∵分式方程有可能产生增根3，

b

∴6−≠3，

2

∴b≠6，

2xb

∵关于x的分式方程4的解是非负数，

x3

b

∴6−≥0，

2

解得：b≤12，

综上，b的取值范围是：b≤12且b≠6．

故答案为：b12且b6．

【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情

况，这是解题的关键．

2xa1

【变式4】（2020·河南·模拟预测）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）（b﹣1）的值

x4b3

为_____．

【答案】0

【分析】解出不等式组，求出解集，然后和已知解集对应一致，即可求出a，b，代入代数式即可求解．

2xa1

【详解】解不等式组

x4b3

a1

解得34bx

2

不等式组的解集为﹣1＜x＜1，

第10页共49页.

a1

∴3＋4b＝−1，1，

2

∴a＝1，b＝−1．

把a＝1，b＝−1代入得：

原式＝0．

故答案为：0．

【点睛】本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出a，b的值．

【变式5】（2022·贵州·德江县教育局教研室模拟预测）小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应

用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下：

解不等式：x240．

解：∵x24x2x2，

∴原不等式可化为x2x20．

∵两数相乘，同号为正，

x20x20

∴①或②

x20x20

由①得x2，由②得x<2，

∴原不等式的解集为x2或x<2．

请用以上方法解下列不等式：

(1)x290；

x1

(2)0

x1

【答案】(1)x3或x3

(2)1x1

x30x30

【分析】（1）根据题意可得两个不等式组:或，解不等式即可求解；

x30x30

（2）利用“两数相除，同号得正，异号得负”结合题干的方法分类讨论即可．

【详解】（1）解：∵x29x3x3，

∴x3x30．

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有

第11页共49页.

x30x30

①或②

x30x30

∴解不等式组①，得x3

解不等式组②，得x3，

故原不等式的解集为x3或x3，

即一元二次不等式x290的解集为x3或x3．

x1

（2）解：由题得不等式0，

x1

根据“两数相除，同号得正，异号得负”

x10x10

得①，或②，

x10x10

∴解不等式组①得，1x1，

不等式组②无解，

∴原不等式的解集为1x1．

【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，分式不等式以及整式等知识，解题的关键是学会用转化的思

想思考问题，属于中考常考题型.

核心考点三含参不等式（组）问题

例1（2020·甘肃天水·中考真题）若关于x的不等式3xa2只有2个正整数解，则a的取值范围为()

A．7a4B．7a4C．7a4D．7a4

【答案】D

2a2a

【分析】先解不等式得出x„，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2„3，

33

解之可得答案．

【详解】解：3xa„2，

3x„2a，

2a

则x„，

3

不等式只有2个正整数解，

第12页共49页.

不等式的正整数解为1、2，

2a

则2„3，

3

解得：7a„4，

故选：D．

【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并

根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．

例2（2021·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式xm1只有3个正整数解，则m的取值范围是______．

【答案】3m2

【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再

进行求解即可．

【详解】解：解不等式xm1，

得：x1m，

由题意x只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，

1m3

故：，

1m4

解得：3m2，

故答案是：3m2．

【点睛】本题考查了关于x不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于

x不等式的正整数解的情况来确定关于m的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤．

例3（2021·湖北荆州·中考真题）已知：a是不等式5a286a17的最小整数解，请用配方法解

关于x的方程x22axa10．

【答案】x12+5，x22-5

【分析】先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可

【详解】解：∵5a286a17；

∴5a1086a67；

∴a3；

∴a＞-3；

∵a是不等式5a286a17的最小整数解，

第13页共49页.

∴a=-2；

∴关于x的方程x2-4x-10；

∴x2-4x+45；

2

∴x-25；

∴x-25；

∴x12+5，x22-5．

【点睛】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．

1、给出不等式解的情况，求出参数取值范围

总结：给出不等式组解集的情况，只能确定参数的取值范围。记住大小小大有解，大大小小无解；端

点值格外考虑；

2、给出不等式解集，求参数的值

总结：给出不等式组确切的解集，可以求出参数的值。方法：先解出含参的不等式组中每个不等式的

解集，再利用解集与所求解集之间的对应关系，建立方程；

xa0,

【变式1】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数a

2x30

的最小值为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进

而求得整数a最小值．

xa0①

【详解】解：，

2x30②

第14页共49页.

解①得xa，

3

解②得x．

2

3

则不等式组的解集是xa．

2

∵解集中至少有5个整数解

∴整数解为：-1,0,1,2,3．

∴a＞3．

整数a的最小值是4．

故选C．

【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．

x1x1

【变式2】（2022·重庆八中三模）若数a使关于x的不等式组23有且只有四个整数解，且使关

5x2ax

ya2a

于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数之和为（）

y11y

A．3B．1C．1D．2

【答案】C

【分析】表示出不等式组的解集，由不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负

数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值．

x1x1x5

【详解】解：不等式组23整理得：a2，

x

5x2ax4

a2

由不等式组有且只有四个整数解，即4，3，2，1，得到0＜≤1，

4

解得：-2＜a≤2，即整数a=-1，0，1，2，

ya2a

分式方程2去分母得：y+a-2a=2（y-1），

y11y

解得：y=2-a，

∵y≠1，

∴2-a≠1，

∴a≠1，

由分式方程的解为非负数得2-a≥0，即a≤2，

∴a为-1，0，2，其和为1．

故选：C．

第15页共49页.

【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键

2x1x

【变式3】（2022·山东菏泽·二模）满足不等式组x5的最小整数解是______．

x1

2

【答案】0

【分析】先解出不等式组的解集，再求出其整数解即可解答．

2x1x①

【详解】解：x5，

x1②

2

解①得：x＞－1，

解②得：x≤3，

∴该不等式组的解集为－1＜x≤3，

∴该不等式组的整数解为0、1、2、3，

∴最小整数解为0，

故答案为：0．

【点睛】本题考查解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤是解答的关键．

xa0,

【变式4】（2022·山东烟台·一模）已知关于x的不等式组至少有两个整数解，且存在以3，a，7

2x17

为边的三角形，则a的整数解有______个．

【答案】4

【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以3，a，7为边的三角形，可得4

＜a＜10，进而得出a的取值范围是5＜a＜10，即可得到a的整数解有4个．

xa0①

【详解】解：

2x17②

解不等式①，可得x＜a，

解不等式②，可得x≥4，

∵不等式组至少有两个整数解，

∴a＞5，

又∵存在以3，a，7为边的三角形，

∴4＜a＜10，

∴a的取值范围是5＜a＜10，

∴a的整数解有4个，

第16页共49页.

故答案为：4．

【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以

下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

21xx8

【变式5】（2022·山东聊城·一模）不等式组3x2x1

63

(1)解此不等式组；

(2)若m是此不等式组的最大整数解，求1mm2m2021m2022的值．

【答案】(1)2x0

(2)1

【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集；

（2）求出最大整数解，代入求出即可．

（1）

21xx8①

解：{3x2x1，

②

63

由不等式①，得x2，

由不等式②，得x0，

所以不等式组的解集为：2x0；

（2）

解：∵m是此不等式组的最大整数解，

由（1）解集中最大的整数解为：x=1，

则m1，

1mm2m2021m2022

220212022

11111

111111

1．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解题的关键是

求出不等式组的最大整数解，难度适中．

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核心考点四不等式的实际应用

例1（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大

限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（）

A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω

【答案】A

【分析】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．

【详解】解：由题意，得

0.11R220，

解得R2000．

故选：A．

【点睛】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．

例2（2022·北京·中考真题）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为

A，B，C，D，E，每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：

包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨

A516

B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．

（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一种满足条件的装运方案________（写出要装

运包裹的编号）；

（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，写出满足条件的装运

方案________（写出要装运包裹的编号）．

【答案】ABC（或ABE或AD或ACE或ACD或BCD）ACE

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【分析】（1）从A，B，C，D，E中选出2个或3个，同时满足I号产品不少于9吨，且不多于11吨，总

重不超过19.5吨即可；

（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II号产品最多的方案即可．

【详解】解：（1）根据题意，

选择ABC时，装运的I号产品重量为：53210（吨），总重6551619.5（吨），符合要求；

选择ABE时，装运的I号产品重量为：53311（吨），总重6581919.5（吨），符合要求；

选择AD时，装运的I号产品重量为：549（吨），总重671319.5（吨），符合要求；

选择ACD时，装运的I号产品重量为：52411（吨），总重6571819.5（吨），符合要求；

选择BCD时，装运的I号产品重量为：3249（吨），总重5571719.5（吨），符合要求；

选择DCE时，装运的I号产品重量为：4239（吨），总重7582019.5（吨），不符合要求；

选择BDE时，装运的I号产品重量为：34310（吨），总重5782019.5（吨），不符合要求；

选择ACE时，装运的I号产品重量为：52310（吨），总重6581919.5（吨），符合要求；

综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或ACE或AD或ACD或BCD．

故答案为：ABC（或ABE或ACE或AD或ACD或BCD）．

（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：1236（吨）；

选择ABE时，装运的II号产品重量为：1258（吨）；

选择AD时，装运的II号产品重量为：134（吨）；

选择ACD时，装运的II号产品重量为：1337（吨）；

选择BCD时，装运的II号产品重量为：2338（吨）；

选择ACE时，装运的II号产品重量为：1359（吨）.

故答案为：ACE．

【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．

例3（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．

(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．

(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．

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①分别求出这两款车的每千米行驶费用．

②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新

能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）

36

【答案】(1)元

a

(2)①燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；②每年行驶里程超过5000

千米时，买新能源车的年费用更低

【分析】（1）利用电池电量乘以电价，再除以续航里程即可得；

（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元建立方程，解方程可得a的值，由此即可得；

②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，根据这两款车的年费用建立不等式，解不等式即

可得．

600.636

【详解】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为元，

aa

36

答：新能源车的每千米行驶费用为元．

a

40936

（2）解：①由题意得：0.54，

aa

解得a600，

经检验，a600是所列分式方程的解，

4094093636

则0.6，0.06，

a600a600

答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；

②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，

由题意得：0.6x48000.06x7500，

解得x5000，

答：每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低．

【点睛】本题考查了列代数式、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题

关键．

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知识点：一元一次不等式的应用

1、列不等式解应用题的一般步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量。

设：设出未知数。

列：根据题目中的不等关系，列出不等式。

解：解不等式。

答：写出符合题意的答案。

2、不等式的实际问题中，常见关键词与不等号的关系

常见关键词符号

大于，多于，超过，高于＞

小于，少于，不足，低于＜

至少，不低于，不小于，不少于≥

至多，不超过，不高于，不大于≤

【变式1】（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）在某校举行的冬季篮球赛中，选手王娜在第六、第七、

第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分．她的前九场的平均成绩高于前五场的平均成绩，

如果她的前十场的平均成绩高于18分，那么她的第十场的成绩至少为（）

A．27分B．29分C．31分D．33分

【答案】B

23＋14＋11＋20

【分析】首先求得第六场−−第九场的平均成绩=17（分）．根据她的前九场的平均成绩高于

4

前五场的平均成绩，说明前五场该选手的得的总分最多17×5−1＝84（分）．因而可知前九场的总分不会超

过68＋84．再根据她的前十场的平均成绩高于18分，即至少为18×10＋1＝181．则她的第十场的成绩至少

即可求出．

【详解】解：设她的第十场的成绩得分x（分）．

23＋14＋11＋20

第六场−−第九场的平均成绩为=17（分），超过了前五场的平均成绩．

4

因此，前五场该选手得的总分最多17×5−1＝84（分），但是她的十场的平均成绩高于18分，

由题意得x＋（23＋14＋11＋20）＋84≥18×10＋1，

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解得x≥29．

故选：B．

【点睛】本题考查一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．

【变式2】（2021·浙江绍兴·模拟预测）随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小

明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，发现他与公交车的距离为720m

（如图），此时有两种选择：

（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；

（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．

1

假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A、B两公交站之间的距离最大

5

为（）

A．240mB．300mC．320mD．360m

【答案】B

【分析】设小明的速度为x，则公交车的速度为5x，分别计算小明往A走，以及往B走时，对应所需走的

路程的最大值，然后求和即可．

【详解】设小明的速度为x，则公交车的速度为5x，

（1）若与公交车相向而行到达A站，设用时为t，

720tx

则要保证小明不会错过这辆公交车，应满足t，

5x

∴tx120；

（2）若与公交车同向而行到达B站，设用时为T，

720

则要保证小明不会错过这辆公交车，应满足T，

5xx

∴xT180；

∴txxT300，

∴AB两地之间的距离最大为300米，

故选：B．

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【点睛】本题考查不等式的实际应用，审清题意，建立合适的不等式，灵活利用整体思想求解是解题关键．

【变式3】（2022·北京北京·二模）某甜品店会员购买本店甜品可享受八折优惠．“五一”期间该店又推出购

物满200元减20元的“满减”活动．

说明：①“满减”是指购买的甜品标价总额达到或超过200元时减20元．“满减”活动只享受一次；

②会员可按先享“满减”优惠再享八折优惠的方式付款，也可按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款

小红是该店会员．若购买标价总额为220元的甜品，则最少需支付_____________元；

若购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，则x的取值范围是

__________．

【答案】160x250

【分析】根据题意按参加“满减”活动和享八折优惠的方式付款分别求解再比较即可；根据题意设购买标价总

额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款最划算，列出不等式，解不等式即可求解．

【详解】解：∵若购买标价总额为220元的甜品，

∴若先参加“满减”活动再享八折优惠的方式付款，则需付款220200.8160（元），

若按享八折优惠的方式付款，则需付款2200.8176（元），176200，不再参加“满减”活动，则实际付

款为176元；

160176

最少需支付160元；

设购买标价总额为x元的甜品，按先享八折优惠再享“满减”优惠的方式付款，根据题意得，0.8x200，解

得x250，

故答案为：160；x250

【点睛】本题考查了有理数运算的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．

【变式4】（2022·黑龙江·肇东市第十一中学校一模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖

品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学

2

校准备购买A,B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的，则在购买方案中最少费用

5

是_____元．

【答案】330

【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个B种奖品共需

100元；购买5