专题01 实数（含二次根式）（8大考点）（原卷版）

第一部分数与式

专题01实数（含二次根式）（8大考点）

核心考点一实数的分类

核心考点二相反数、倒数、绝对值

核心考点三数轴

核心考点四科学记数法

核心考点

核心考点五实数的大小比较

核心考点六平方根、立方根

核心考点七二次根式及其运算

核心考点八实数的运算

新题速递

核心考点一实数的分类

例1（2022·贵州铜仁·中考真题）在实数2，3，4，5中，有理数是（）

A．2B．3C．4D．5

例2（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cos30°，38中，有理数的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

1

例3（2022·湖南湘潭·中考真题）四个数－1，0，，3中，为无理数的是_________．

2

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实数的概念与分类

1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

自然数(0,1,2,3)

整数

负整数(1,2,3)

有理数12整数有限小数无限循环小数

正分数(,)(、、)

分数(小数)23

实数12

负分数(,)

23

正有理数

无理数无限不循环小数2．有理数：有限小数或无限循环小数叫做有

()

负有理数

理数。

3．无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如7,32等；

π

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

3

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等。

1

【变式1】（2022·广西桂林·一模）实数，3，2，-6中，为负整数的是（）

3

1

A．B．3C．2D．-6

3

【变式2】（2022·湖北襄阳·一模）下列说法中正确的是（）

A．和数轴上一一对应的数是有理数B．数轴上的点可以表示所有的实数

C．带根号的数都是无理数D．不带根号的数都是有理数

4

【变式3】（2022·湖南·宁远县教研室模拟预测）在实数38，，12，中有理数有_________个．

33

22

【变式4】（2022·山东青岛·二模）下列实数中：①，②，③6，④0，⑤1.010010001，其中是无理

72

数的有__________（填序号）．

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【变式5】（2022·浙江·宁波市镇海区骆驼中学）把下列各数填在相应的表示集合的大括号内：

122

2，，，3，，0.3，1.7，5，0，1.1010010001…（两个1之间依次多个0）．

37

有理数：{…}

无理数：{…}

实数：{…}

核心考点二相反数、倒数、绝对值

例1（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a3b4c的值为（）

A．8B．5C．1D．16

例2（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（）

1

①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．

2022

A．3B．2C．1D．0

2

例3（2022·西藏·中考真题）已知a，b都是实数，若a+1+(b-2022)=0，则ab_____．

相反数、绝对值和倒数的概念

1．相反数：

(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)相反数的和为0a+b=0a、b互为相反数.

2.绝对值：

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(1)正数的绝对值是其本身，0．的．绝．对．值．是．0．，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表

示某数的点离开原点的距离；

a(a0)

a(a0)

(2)绝对值可表示为：a0(a0)或a；绝对值的问题经常分类讨论；

a(a0)

a(a0)

(3)若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）

a|a|

(4)|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；

b|b|

(5)|a|2=|a2|=a2；

(6)|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|

【拓展】|a|≥0b2≥0

（1）若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；

（2）若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；

（3）若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0。

【绝对值问题总结】

（1）利用绝对值的定义及性质解决的问题

（2）简单的绝对值方程问题

（3）化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）问题

（4）绝对值几何意义的使用问题

1

3.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若．a．≠．0．，．那．么．a的．倒．数．是．；

a

若ab=1a、b互为倒数；若ab=-1a、b互为负倒数.

【变式1】（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式

5ab2cd的值为()

A．3B．2C．3D．0

【变式2】（2022·河南商丘·三模）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面上都有一个实

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数，且相对面上的两个实数互为相反数，那么代数式(ac)b的值等于（）

1

A．6B．C．1D．4

9

【变式3】（2022·河北唐山·二模）已知a，b互为相反数，则代数式a2ab2的值为_____．

2

若a2，则b=____________．

【变式4】（2022·河北邯郸·二模）已知a1202．

（1）a________；

（2）a的相反数与a的倒数的和为________．

【变式5】（2022·浙江·舟山市第一初级中学一模）阅读下面的例题，

范例：解方程x2|x|20，

2

解：（1）当x0时，原方程化为xx20，解得：x12，x21（不合题意，舍去）．

2

（2）当x＜0时，原方程化为xx20，解得：x12，x21（不合题意，舍去）．

∴原方程的根是x12，x22，

请参照例题解方程x2|x1|10

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核心考点三数轴

例1（2022·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的

实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（）

A．ab0B．ba0C．2a2bD．a2b2

ab

例2（2022·宁夏·中考真题）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（）

ab

A．2B．1C．0D．2

11

例3（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则______．（填“>”、

ab

“=”或“<”）

数轴的概念与画法

数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．

数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，

从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，

依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….

数轴上的点与有理数之间的关系

①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；

②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a

的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.

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【变式1】（2022·北京市第十九中学三模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确

的是（）

A．a2B．b1C．ab0D．ba0

【变式2】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：

00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏：

①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示；

②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ；

③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示；

④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧．

则整数k的最小值为（）

A．511B．510C．509D．500

【变式3】（2022·四川广元·二模）已知：A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且(a4)2|b12|0．若

点C点在数轴上且满足AC3BC，则C点对应的数为________．

【变式4】（2022·广东广州·一模）如图，在关于x的方程xab（a，b为常数）中，x的值可以理解为：

在数轴上，到A点的距离等于b的点X对应的数．例如：因为到实数1对应的点A距离为3的点X对应的

数为4和-2，所以方程x1=3的解为x4，x2．用上述理解，可得方程x32的解为______．

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【变式5】（2022·河北秦皇岛·一模）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A、B、C．其中AB＝4cm，

BC＝2cm．以这条直线为基础建立数轴，设点A、B、C所表示数的和是p．

(1)如果规定向右为正方向：

①若以BC的中点为原点O，以1cm为单位长度建立数轴，则p＝______；

②若单位长度不变，改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且CO＝30cm，求p的值；并说明原点

每向右移动1cm，p值将如何变化？

③若单位长度不变，使p＝64，则应将①中的原点O沿数轴向______方向移动______cm；

④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm建立数轴，则p＝______．

(2)如果以1cm为单位长度，点A表示的数是-1，则点C表示的数是______．

核心考点四科学记数法

例1（2022·吉林长春·中考真题）长春轨道客车股份有限公司制造的新型奥运版复兴号智能动车组，车头

采用鹰隼形的设计，能让性能大幅提升，一列该动车组一年运行下来可节省约1800000度电，将数据1800000

用科学记数法表示为（）

A．18105B．1.8106C．1.8107D．0.18107

例2（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v2as进行计算，其中a为

子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a5105m/s2，s0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数

法表示）为（）

A．0.4102m/sB．0.8102m/s

C．4102m/sD．8102m/s

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例3（2022·辽宁鞍山·中考真题）教育部2022年5月17日召开第二场“教育这十年”“1＋1”系列新闻发布

会，会上介绍我国已建成世界最大规模高等教育体系，在学总人数超过44300000人．将数据44300000用

科学记数法表示为_________．

科学记数法

1．乘方的定义

（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

2．科学记数法：把．一．个．大．于．1．0．的．数．记．成．a．×．1．0．n．的．形．式．，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫

科学记数法.

3.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

4.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

【变式1】（2022·浙江·宁波外国语学校一模）2月4日的北京冬奥会开幕式精彩纷呈，展示了中国人民的文

化自信．据估计有约5亿观众收看了北京冬奥会开幕式，在收视率方面超过了往届任何冬奥会．用科学记数

法可以把5亿表示成（）

A．5109B．50108C．5108D．50107

【变式2】（2022·山西·孝义市教育科技局教学研究室三模）一季度，面对国际环境更趋复杂严峻和国内疫

情频发带来的多重考验，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，科学统筹疫情防控和经济社会发展，

初步核算，一季度国内生产总值约为27万亿元，按不变价格计算，同比增长4.8%．数据27万亿元用科学

记数法表示为（）

A．2.71013元B．2.71014元C．0.271014元D．271012元

【变式3】（2022·河北唐山·一模）记者从科技局获悉，某市今年将继续加大科技投入力度，科研经费投入

总量达到1.3950亿元，比去年增加20%，则去年某市的科技经费投入总量为______亿元，今年科研经费投

入总量达到1.395亿元，用科学记数法表示为______元（结果保留二位小数）．

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【变式4】（2022·湖北·广水市教学研究室二模）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，

三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个

就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元．

【变式5】（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）2021年11月5日至10日第四届中国国际进口博览会

在上海举行，意向成交707.2亿美元，彰显了中国的经济实力和人民生活品质的提升.某省采购团5号意向

成交m亿美元，6、7号意向成交价平均每天以a%的增长率递增．

(1)707.2亿用科学记数法表示为_________；

(2)该省采购团7号意向成交_________亿美元；（用含m、a的代数式表示）

(3)该省采购团5-7号意向成交共16.55亿美元，若m5，求a的值．

核心考点五实数的大小比较

例1（2022·黑龙江大庆·中考真题）实数c，d在数轴上的对应点如图所示，则下列式子正确的是()

A．cdB．|c||d|C．cdD．cd0

例2（2022·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A．ab0B．ab0C．abD．a1b1

例3（2022·陕西·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a______b．（填“>”“=”或“<”）

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有理数比较大小的法则

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

【变式1】（2022·四川攀枝花·模拟预测）实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

A．abB．abC．ab0D．ab0

【变式2】（2022·河北唐山·二模）对于数字-2+5，下列说法中正确的是（）

A．它不能用数轴上的点表示出来B．它比0小

C．它是一个无理数D．它的相反数为2+5

【变式3】（2022·北京房山·一模）写出一个比11大且比4小的无理数_______．

【变式4】（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定

符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2．

（1）max{26，5}＝_____；

2x

（2）若max{﹣12，（一1）2}＝，则x＝_____．

2x

【变式5】（2022·内蒙古包头·一模）在一个不透明的盒子里放置三张卡片，分别标有实数2，21，21

（卡片除了标有的实数不同外，其余均相同），先从盒子里随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数，

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卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数．

(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能出现的结果；

(2)求两次抽取的卡片上的实数之差为正实数的概率．

核心考点六平方根、立方根

例1（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（）

①若二次根式1x有意义，则x的取值范围是x≥1．

②7＜65＜8．

③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．

④16的平方根是±4．

⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．

A．①③⑤B．③⑤C．③④⑤D．①②④

例2（2022·广西贺州·中考真题）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成

后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆

锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆

柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

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1

例3（2022·湖北荆门·中考真题）计算：3+cos60°﹣（﹣2022）0＝_____．

8

1、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。

2、平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。即若x2=a，则x

叫做a的平方根。

注．：．一．个．正．数．有．两．个．平．方．根．，．它．们．互．为．相．反．数．；．0．的．平．方．根．是．0．，．；．负．数．没．有．平．方．根．。．

3、立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

注．：．一．个．正．数．有．一．个．正．的．立．方．根．；．一．个．负．数．有．一．个．负．的．立．方．根．；．零．的．立．方．根．是．零．。．

3

【变式1】（2022·四川·绵阳中学英才学校二模）若3xmy和5x3yn的和是单项式，则mn的平方根是（）

A．8B．8C．4D．8

【变式2】（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）一般地，如果xna（n为正整数，且n＞1），那么x叫

做a的n次方根，下列结论中正确的是（）

A．16的4次方根是2

B．32的5次方根是±2

C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小

D．当n为偶数时，2的n次方根有n个

11

【变式3】（2022·山东济宁·二模）已知m6，则m的值为_____________.

mm

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【变式4】（2022·江苏盐城·一模）若x，y为实数，且满足(xy4)23xy0，那么32xy的值为

______．

【变式5】（2022·江苏盐城·一模）因为1＜33＜2，即1＜33＜2，所以33的整数部分为1，小数部分为331．类

比以上推理解答下列问题：

(1)求330的整数部分和小数部分；

(2)若m是1111的小数部分，n是1111的小数部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．

核心考点七二次根式及其运算

例1（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（）

A．235B．43331C．236D．1226

例2（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（）

1

A．82B．(mn)2m2n2

2

1212y29x2

C．D．3xy

x1xx3x2y

1

例3（2022·山西·中考真题）计算18的结果是________．

2

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二次根式

1．二次根式的定义：形如式子a（a≥0）叫做二次根式。（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，

叫做二次根式）。

2．二次根式有意义的条件：被．开．方．数．≥．0．

3.二次根式的性质

（1）a(a0)是非负数；

（2）（a）2=a（a≥0）；

aa＞0

a2aa0a0

（3）

aa＜0

（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，

即abab（a≥0,b≥0）。

（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即

aa

（a≥0,b>0）。反之，

bb

aa

ababa0,b0(a0,b0)

bb

分母有理化

1．最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不．含．开．方．开．的．尽．的．因．数．或．因．式．；

⑵被开方数中不．含．分．母．；⑶分母中不．含．根．式．。

2．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

3．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，

混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。

4．分母有理化的方法：分．子．分．母．同．乘．以．分．母．的．有．理．化．因．式．。

5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为

有理化因式。

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6．找有理化因式的方法：

（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。如：①a的有理化因式为a，②

ab的有理化因式为b。

（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。即ab的有理化因式

为ab，ab的有理化因式为ab，axby的有理化因式为axby

【变式1】（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图，把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两

次折叠后，△BEF恰好是等腰直角三角形，若BE2，则CD的长度为（）

A．22B．22C．222D．224

【变式2】（2022·重庆·西南大学附中三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有

二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，(52)(52)1，aaa，

(232)(232)10．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有

理化因式，分别得到了一个结论：

135

甲：；

354

ab

乙：设有理数a，b满足：624，则ab6；

2121

11

丙：；

2022202120202019

丁：已知43x11x4，则43x11x6；

11113311

戊：.

33533575579997979966

以上结论正确的有（）

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A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁

【变式3】（2022·山东济南·二模）如果2、5、m是某三角形三边的长，则(m3)2(m7)2等于_____．

【变式4】（2022·甘肃·嘉峪关市明珠学校一模）对于任意两个不相等的数a,b，定义一种新运算“”如下：

ab32

ab如：32，那么124________．

ab32

【变式5】（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）阅读理解

对于任意正实数a，b，(ab)20，\a+b-2ab³0，ab2ab，只有当ab时，等号成立．

结论：在ab2ab(a,b均为正实数)中，若ab为定值p，则ab2p只有当ab时，ab有最小值

2p．

根据上述内容，回答下列问题：

1

(1)若m0，只有当m______时，m有最小值______．

m

(2)探索应用

6

如图，已知A2,0，B0,3，P为双曲线y(x0)上的任意一点，过点P作PCx轴于点C，PDy

x

轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

(3)实践应用

建筑一个容积为800m3，深为8m的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为80元，池底每平方米造价为120元，

如何设计池底的长、宽，使总造价最低？

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核心考点八实数的运算

1

例1（2022·贵州安顺·中考真题）估计(2552)的值应在（）

5

A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间

例2（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※bab2b，若关于x

的方程1※xk有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）

1111

A．kB．kC．k且k0D．k且k0

4444

例3（2022·湖北荆州·中考真题）若32的整数部分为a，小数部分为b，则代数式22ab的值是

______．

1．加法的运算律：

（1）加法的交换律：a+b=b+a；

（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

2．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）.

3.乘法法则：

（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

（2）任何数同零相乘都得零；

（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.

4.乘法的运算律：

（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）；

（3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.

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a

5．除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即无意义.

0

6．乘方的法则：

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；

注意：当n为正奇数时:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,

当n为正偶数时:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n.

7.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.

8．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。

一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：

（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式

（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组

（3）合并同类二次根式

9．二次根式的乘法

两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即

abab（a≥0，b≥0）。

两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即

aa

（a≥0，b＞0）。

bb

10.常见类型

bbaba

aaaa

常．见．类．型．一．：．．．

cc(ab)c(ab)

ab(ab)(ab)ab

常．见．类．型．二．：．．．

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【变式1】（2022·河北唐山·二模）如表，这是嘉琪同学的小测试卷，他应该得到的分数是（）

判断题：每题20分

（1）|﹣3|＝3（√）

（2）（﹣2x2）3＝﹣6x3（√）

（3）（a﹣b）2＝a2﹣b2（×）

（4）255（×）

（5）65°的补角是115°（√）

A．40B．60C．80D．100

1

【变式2】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）若干个数，第一个数记为a1，规定运算：a21，

a1

1111

．2

a31，a41，a51，…，an1按上述方法计算：当a1时，a2022的值等于（）

a2a3a4an13

12

A．

B．

C．

2D．3

23

【变式3】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）取整函数就是f(x)=[x]，也被称为高斯函数，记号[x]

111

表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]=2，[﹣4.7]=﹣5，若S=1＋，则

233420212022

[S]=______．

x

【变式4】（2022·湖北·孝感市孝南区教学研究室模拟预测）对于实数x0，规定f(x)，例如

x1

1

221211111

f(2),f，设Sfffff(1)f(3)f(5)f(7)f(9)，

1

2132139753

2

则S的值为_________．

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【变式5】（2022·重庆市第三十七中学校二模）若一个四位数m的前两位数字相同且各位数字均不为0，则

称这个数为“巴渝数”；若把这个数的个位数字放到前三位数字组成的数的前面组成一个新的四位数，则称这

个新的四位数为“桥梁数”；记一个“巴渝数”m与它的“桥梁数”的差为F(m)，例如，5536前两位数字相同，

所以5536为“巴渝数”；则6553就为它的“桥梁数”，F(5536)553665531017．

(1)F(3312)，F(7722)．

(2)若一个千位数字为2的“巴渝数”m能被6整除，它的“桥梁数”能被2整除，请求出满足条件的F(m)的最

大值．

第21页共26页.

【新题速递】

1．（2022·陕西渭南·七年级期中）数轴上某一个点表示的数为a，若将这个点先向右移动4个单位，再向左

移动5个单位，此时这个点表示的数为2，则a的值为()

A．1B．2C．1D．2

2．（2022·江苏盐城·九年级期中）设M2a22a1，N3a22a7，其中a为实数，则M与N的大小关系

是（）

A．MNB．MNC．NMD．NM

3．（2022·河北石家庄·八年级期中）实数15在数轴上的大致位置是（）

A．点AB．点BC．点CD．点D

4．（2022·广东·丰顺县茶背中学九年级阶段练习）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个

小正方形的面积分别为S1、S2，则S1S2的值为（）

A．16B．17C．18D．19

2

5．（2022·河南·南阳市第十三中学校八年级阶段练习）对于实数a、b，定义一种运算：a*bab．给

2

出三个推断：①a*bb*a；②a*ba2*b2；③a*ba*b，其中正确的推断个数是（）

A．0B．1C．2D．3

6．（2022·重庆万州·九年级阶段练习）观察下面分母有理化的过程：

11(21)21

21，从计算过程中体会方法，并利用这一方法计算：

21(21)(21)21

1111

(20221)的值是（）

21324320222021

A．20221B．20221C．2021D．2022

7．（2022·重庆市南开两江中学校八年级期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简：

第22页共26页.

a2(ab)23(ba)3____________．

8．（2022·广东·丰顺县茶背中学九年级阶段练习）设a，b是两个整数，若定义一种运算“”：

aba2b2ab，则方程x211的实数根是___________．

1

9．（2022·浙江·翠苑中学九年级阶段练习）若函数y(4x260x9|4x260x9|)，则当自变量x取1，

2

2，…，15，16，17这17个自然数时，函数值的和为__．

10．（2022·上海·上外附中八年级阶段练习）14410的整数部分为a，小数部分为b，则

11

___________．

abab

11．（2022·北京房山·八年级期中）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，

它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约

80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码，根

据相关的数学知识，这200个方格可生成2200个不同的数据二维码．下列结论：

①2200就是2个200相乘；

②2200就是400个2相乘，它是一个非常非常大的数；

③2200的个位数字是6；

④因为(2)202101024，1031000，所以估计(2)400比1060大．

其中所有正确结论的序号是___________