2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程学案含解析新人教A版选修1-1

PAGE8-2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程自主预习·探新知情景引入我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海疆执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到旁边海疆有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1600m的“千岛湖”舰，3s后也监听到了该马达声(声速为340m/s)．若把“马鞍山”舰和“千岛湖”舰看成两个定点A、B，快艇看成动点M，M满意什么条件？新知导学1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的__肯定值__等于常数(__小于__|F1F2|)的点的轨迹．(2)符号表示：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MF1|－|MF2|))＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)．(3)焦点：两个__定点F1、F2__.(4)焦距：__两焦点间__的距离，表示为|F1F2|.2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程__eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)____eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)__焦点坐标__(－c,0)、(c,0)____(0，－c)、(0，c)__a，b，c关系c2＝__a2＋b2__预习自测1．平面内，到两定点F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的肯定值等于6的点M的轨迹是(D)A．椭圆 B．线段C．双曲线 D．两条射线[解析]由题意可知||MF1|－|MF2||＝6，∵|F1F2|＝6，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|MF1|－|MF2|))＝|F1F2|，因此点M的轨迹是两条射线．2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)，且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(A)A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,3)－y2＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1[解析]∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①又∵点(2,3)在双曲线上，∴eq\f(22,a2)－eq\f(32,b2)＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(C)A．(eq\f(\r(2),2)，0) B．(eq\f(\r(5),2)，0)C．(eq\f(\r(6),2)，0) D．(eq\r(3)，0)[解析]双曲线方程x2－2y2＝1化为x2－eq\f(y2,\f(1,2))＝1，∴a2＝1，b2＝eq\f(1,2)，∴c2＝a2＋b2＝eq\f(3,2)，∴c＝eq\f(\r(6),2)，∴双曲线的右焦点坐标为(eq\f(\r(6),2)，0)．4．经过点P(－3,2eq\r(7))和Q(－6eq\r(2)，－7)的双曲线的标准方程是__eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1__.[解析]设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1,72m＋49n＝1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75),n＝\f(1,25))).故双曲线的标准方程为eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.5．已知双曲线过点(eq\r(5)，0)，且与椭圆eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,5)＝1有相同的焦点，求双曲线的方程．[解析]∵椭圆eq\f(x2,30)＋eq\f(y2,5)＝1的焦点为(±5,0)，∴所求双曲线的焦点为(±5,0)，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,25－a2)＝1，把(eq\r(5)，0)代入，得eq\f(5,a2)＝1，解得a2＝5.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶双曲线定义的应用典例1椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>n>0)与双曲线eq\f(x2,a)－eq\f(y2,b)＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，且P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|等于__m－a__.[思路分析]因为涉及与焦点的距离问题，可以首先考虑利用定义解决．[解析]由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(m)，①由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2eq\r(a)，②由①2减去②2的差再除以4得|PF1|·|PF2|＝m－a.『规律方法』在椭圆的探讨中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应留意定义的应用．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．┃┃跟踪练习1__■P是双曲线eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值为__33__.[解析]在双曲线eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10.由P是双曲线上一点得，||PF1|－|PF2||＝16.∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.命题方向❷待定系数法求双曲线的标准方程典例2(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点(3，－4eq\r(2))和(eq\f(9,4)，5)，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦点，且过点(3eq\r(2)，2)的双曲线方程．[思路分析]可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方程．留意对平方关系c2＝a2＋b2的运用．[解析](1)由已知可设所求双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(32,a2)－\f(9,b2)＝1,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝16,b2＝9)).∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)解法一：设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意易求得c＝2eq\r(5).又双曲线过点(3eq\r(2)，2)，∴eq\f(3\r(2)2,a2)－eq\f(4,b2)＝1.又∵a2＋b2＝(2eq\r(5))2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.解法二：设双曲线方程为eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,4＋k)＝1，将点(3eq\r(2)，2)代入得k＝4，∴所求双曲线方程为eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.『规律方法』1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：依据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两坐标轴都有可能；(2)设方程：依据焦点位置，设方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)；(3)寻关系：依据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组；(4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求．2．在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为mx2＋my2＝1(m>0，n>0)以简化运算，同理求经过两定点的双曲线方程也可设为mx2＋ny2＝1，但这里应有m·n<0.┃┃跟踪练习2__■求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A(－5，6)；(2)与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1共焦点，且过点(－2，eq\r(10))．[解析](1)解法一：由已知得，c＝6，且焦点在y轴上，则另一焦点坐标是(0,6)．因为点A(－5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的肯定值是常数2a，即2a＝|eq\r(－52＋6＋62)－eq\r(－52＋6－62)|＝|13－5|＝8，得a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.因此，所求的双曲线标准方程是eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.解法二：由焦点坐标知c＝6，∴a2＋b2＝36，∴双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,36－a2)＝1.∵双曲线过点A(－5,6)，∴eq\f(36,a2)－eq\f(25,36－a2)＝1，∴a2＝16，b2＝20.双曲线方程为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,20)＝1.(2)由eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1知焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(10,a2)－\f(4,b2)＝1,a2＋b2＝9))，∴a2＝5，b2＝4.∴所求的双曲线的方程为eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1.命题方向❸双曲线的焦点三角形问题典例3设双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上．(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积；(2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积是多少？若∠F1PF2＝120°时，△F1PF2的面积又是多少？[思路分析]由于三角形面积S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sinθ，所以只要求出|PF1|·|PF2|即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|.[解析](1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝eq\r(13)，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，如图所示．由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4，两边平方得req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2＝16.∵∠F1PF2＝90°，∴req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＝4c2＝4×(eq\r(13))2＝52.∴2r1r2＝52－16＝36，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)r1r2＝9.(2)若∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2cos60°＝(r1－r2)2＋r1r2，而r1－r2＝4，|F1F2|＝2eq\r(13)，∴r1r2＝36.于是S△F1PF2＝eq\f(1,2)r1r2sin60°＝eq\f(1,2)×36×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3).同理可求得若∠F1PF2＝120°时，S△F1PF2＝3eq\r(3).『规律方法』双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是常常运用的学问点．另外，还常常结合|PF1|－|PF2|＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们多加留意．┃┃跟踪练习3__■若F1、F2是双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．[解析]由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6.上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64＝100，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(100－100,2|PF1|·|PF2|)＝0.∴∠F1PF2＝90°.学科核心素养分类探讨思想的应用典例4已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．[思路分析]解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满意的条件进行分类探讨．[解析](1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k<0时，方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,－\f(4,k))＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0<k<1时，方程为eq\f(x2,\f(4,k))＋eq\f(y2,4)＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k>1时，方程为eq\f(x2,\f(4,k))＋eq\f(y2,4)＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．『规律方法』解决这类题的基本方法是分类探讨，在分类探讨的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在探讨过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征．┃┃跟踪练习4__■探讨方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,2－m)＝1(m<3)所表示的