期末专题复习：最值问题（七大类型）（原卷版）

最值问题七大类型一、类型一：垂线段最短1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为．2．在中，，，点D是上一点，将点B绕点D逆时针旋转得到点，连接，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．53．如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（

）A．3 B． C． D．24．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为．5．如图，是等边三角形，D为边上一个动点（D与B、C均不重合）．．，连接．(1)求证：平分；(2)若，当四边形的周长取最小值时，求的长．二、类型二：三角形三边关系6．如图，，在中，，点A，B分别在边上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为．

7．如图，在中，，，，D为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（

）A． B．2 C． D．18．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点M是中点，点N是中点，连接，若，，则线段的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．89．如图，射线OA⊥射线OB于点O，线段CD=6，CE=4，且CE⊥CD于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为三、类型四：两点之间线段最短以及蚂蚁爬行路径最短问题10．如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是cm．11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是．

12．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为13．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．14．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（）A．16 B．19 C．20 D．21四、类型三：构造全等三角形进行转化15．如图中，，若将AD作点逆时针旋转90°，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（

）A．2 B． C． D．116．如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为．

17．如图，点在直线上，于点，，点在直线上运动，以为边作等边，连接，则的最小值为．18．如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转90°至点D，连接BD，则BD的最小值是．五、类型五：将军饮马模型19．如图，等腰中，，，垂直平分，交于点．若点为的中点，点为上一动点，则的最小值为．20．如图，中，，，，BD平分，如果、分别为BD、上的动点，那么的最小值是．

21．如图，边长为的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接、、，下列说法正确的有（）个．①；②；③的周长最小值为；④当周长最小时，；⑤的大小随着点的移动而变化．A．2 B．3 C．4 D．522．如图，在中，，，射线平分，，，，点为的中点，点为射线上一动点，则的最小值为．23．如图，在等腰直角三角形中，，P是上一动点．则的最小值是．24．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（

）

A． B． C． D．25．如图，在锐角中，，，，是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为．

26．如图，在中，，，，点M、N分别为上的动点，则的最小值为．27．如图，中，，的面积12．点D、E、F分别是三边上的动点，则周长的最小值为．

28．已知等边中，，，若点P在线段AD上运动，当的值最小时，AP的长为．29．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．

如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值

借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段的长度，则EM+MC的最小值是；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=°．2.拓展应用如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．六、类