期末复习之全等三角形相关的热考几何模型（原卷版）

全等三角形相关的热考几何模型（热考必刷34题8种题型专项训练）倍长中线模型一线三垂直模型一线三等角模型截长补短模型半角模型手拉手模型对角互补模型婆罗摩及多模型一．倍长中线模型（共5小题）1．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程．(1)求证：△ABD≌△ECD证明：延长AD到点E，使DE=AD在△ABD和△ECD中∵∴△ABD≌△ECD（__________）请补齐空白处(2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是__________；(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】如图2，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的长．2．（23-24七年级下·山东济南·期末）【方法学习】数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=7，AC=5，BC边上的中线AD的取值范围．小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），①延长AD到E，使得DE=AD；②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中；③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE，从而得到AD的取值范围；方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（1）如图1，请写出AD的取值范围是．（2）如图2，OA=OB，OC=OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC、BD，E是AC的中点，求证：OE=1【问题拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．3．（2024七年级下·全国·专题练习）(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6．求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是______；(2)问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．4．（22-23八年级上·北京东城·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M，使DM=AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．

【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”．【问题解决】(1)直接写出图1中AD的取值范围：(2)猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．(3)如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°，判断线段AD和线段EF的数量关系，并加以证明．5．（22-23八年级下·吉林·阶段练习）【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL(2)探究得出AD的取值范围___________．A．6<AD<8

B．6≤AD≤8

C．1<AD<7

D．1≤AD≤7【问题解决】(3)如图2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．二．一线三垂直模型（共4小题）6．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型．【问题发现】（1）如图2，已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：△AEC≌△CFB；（2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出EF，AE，BF之间的数量关系，并说明理由；【问题提出】（3）在（2）的条件下，若BF=4AE，EF=5，求△BFC的面积．7．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°,AB=AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l交于点E．得∠1=∠D．又∠BCA=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE(AAS)．进而得到结论：AC=_____，BC=_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，∠∠BAD=∠MAN=90°,AB=AD,AM=AN,BM⊥l于点C，DE⊥l于点E，ND与直线l交于点P，求证：NP=DP．8．（20-21七年级下·广东深圳·期中）如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN，BE⊥MN．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：△ADC≅△CEB；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________．9．（21-22八年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，且∠BAC是直角．(1)若点A的坐标为A-2,0，点B的坐标为B0,-4，点C在第三象限，且AB=AC，求点(2)若点A的坐标为A-2,0，点B的坐标为B2,0，AB=AC，点P为y轴正半轴上一动点，连接PC交x轴于点E，点F是点E关于y轴为对称轴的对称点连接PF且延长PF交BC于点D，连接AD交PC于点G．点P在运动过程中是否存在AD⊥PC，若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由（提示：作∠BAC的平分线交PC于点(3)若点A的坐标为A-2,-2，点B的坐标为B0,m，点C的坐标为Cn,0三．一线三等角模型（共5小题）10．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）【观察发现】（1）如图1，AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=60°且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，则线段BD和AE的数量关系是__________，【深入探究1】（2）如图2，AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=60°，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，则线段BD和【深入探究2】（3）如图3，AC=BC，CE=CD，且∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE，过点C作CK⊥BE，并延长KC交AD于点Q．求证：Q为11．（21-22八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，AB=BC．(1)如图1，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC=90°，求证：MN=AM+CN．(2)如图2，直线NM过点B，AM交NM于点M，CN交NM于点N，且∠AMB=∠ABC=∠BNC，则MN=AM+CN是否成立？请说明理由！12．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；(2)当DC等于多少时，△ABD≌(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．13．（19-20八年级上·河南安阳·期末）（1）如图①．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．则线段DE、BD与CE之间的数量关系是______；

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE．若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．14．（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证△ABD≌△CAE，此时，线段DE、BD、CE(2)拓展应用：如图乙，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，已知点C的坐标为(-2,0)，点B的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：；(3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰△ABC，AB=AC，且∠BAC≠90°，她在直线l上取两点D、E，使得∠BAC=∠BDA=∠AEC，请你帮助小华判断（1）中线段DE、BD、CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，△ABC中，AB=2AC，∠BAC≠90°，点D、E在直线l上，且∠BAC=∠BDA=∠AEC，请直接写出线段DE、BD、CE的数量关系．四．截长补短模型（共3小题）15．（21-22七年级下·辽宁阜新·期末）如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=1(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=116．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．17．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=1

(1)求证：CD=BC+DE；(2)若∠B=75°，求∠E的度数．

∵CA平分∠BCD，五．半角模型（共4小题）18．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN=60°，∠BPC=120°，BP=CP．探究：当点M、N分别在直线AB、(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM=PN时，试说明(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，答：．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”)．(3)如图③，当点M、N分别在边AB、19．（22-23八年级上·山西朔州·期末）（1）问题背景：如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___________；（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=1（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E,F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．20．（20-21七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=1(1)当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．21．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．(1)试判断DM，BN，MN之间的数量关系；(2)如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，请直接写出BN，DM，MN之间数量关系．六．手拉手模型（共7小题）22．（21-22八年级上·广东珠海·期中）如图，△ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作等边三角形△ABD、△ACE，连接BE、CD交于点F，连接AF．(1)求证：△ABE≌△ADC；(2)求∠EFC的度数；(3)求证：AF平分∠DFE．23．（20-21八年级上·云南昆明·期末）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是；（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．

24．（20-21八年级上·山西阳泉·期中）问题情境：在自习课上，小雪拿来了如下一道题目（原问题）和合作学习小组的同学们交流，如图①，△ACB和△∠CDE均为等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．点A、D、E在同一条直线上，连接BE．求证：∠CDE=∠BCE+∠CBE．问题发现：小华说：我做过一道类似的题目：如图②，△ACB和△CDE均为等边三角形，其他条件不变，求∠AEB的度数．（1）请聪明的你完成小雪的题目要求并直接写出小华的题目要求．拓展研究：（2）如图③，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CF为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CF、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．25．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，若∠AOB=∠COD=60°，连接AC、BD交于点P；(1)求证∶△AOC≌△BOD．(2)求∠APB的度数．(3)如图（2），△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，AB=14cm，点D是射线AB上的一点，连接CD，在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角△CDE，连接BE，若BD=4cm，求26．（2024·山西·模拟预测）综合与实践【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DE，CD，BE，P为CD的中点，连接AP【数学思考】（1）线段AP与BE的数量关系，说明理由．【猜想证明】（2）若把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．【深入探究】（3）若把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若N是BE的中点，连接AN，若AN=1，直接写出CD的长．∵∠CAB=90°∴∠CAM=∠CAB=90°27．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE<AB），∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，(1)如图1，求证：△ADE≅△CDF；(2)直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB=6，DE=3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值为．28．（22-23八年级上·江西吉安·期中）（1）问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA应转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD，则①∠BEC=；②线段AD，BE之间的数量关系（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，若AE=12，DE=7（3）如图3，P为等边三角形ABC内一点，且∠APC=150°，∠APD=30°，AP=4，CP=3，DP=7，求七．对角互补模型（共3小题）29．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠EPF=90°，点P在AD上，射线PE，PF分别交AB，AC两边于E，F两点，(1)当点P与点D重合时，如图2所示，直接写出：①AF与BE之间的数量关系：_____________________；②AE+AF与AP之间的数量关系：_______________________；(2)当点P在线段AD上时（不与端点重合），如图1所示，则AE+AF与AP之间的数量关系：．30．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知∠MON=90°，将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内，使点A在∠MON的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边OM,ON上．

(1)如图1，小明摆放△ABC，恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON，又由于△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，从而直接可以判断出点A在∠MON的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是(2)如图2，小宇调整了△ABC的位置，请判断OA平分∠MON是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例．31．（22-23八年级下·全国·期中）（1）【问题初探】苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形ABCD的边长为2，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF=90°，将∠EOF绕点O旋转，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形OECF的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路：浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了△OEC≌△OFD，则S△OEC=S△OFD，那么小航：如图b，也是考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作OG⊥BC于点G，OH⊥CD于点H，证明△OGE≌△OHF，从而将四边形OECF的面积转化成了小正方形通过他们的思路点拨，你认为：S四边形OECF=（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段CE与CF（2）【类比探究】①如图2，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点O是AD边的中点，∠EOF=90°，点E在AB上，点F在BC上，则四边形EBFO的面积为；②如图3，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD=120°，边长为8的菱形ABCD，当∠EOF=60°时，其他条件不变，四边形OECF的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由；③如图4，在②的条件下，当点O在对角线AC上运动，顶点O与B点的距离为7，且∠EOF旋转至CF=1时，CE的长度为．（3）【拓展延伸】如图5，∠BOD=α（α为钝角），∠CAD=180°-α，∠BAC是钝角，OA平分∠BOD，OD=3八．婆罗摩及多模型（共3小题）32．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）勾