期末复习之选择压轴题十六大题型总结（苏科版）（解析版）

期末复习之选择压轴题十六大题型总结【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1格点中的全等三角形】 1【题型2利用全等三角形的判定与性质求角度】 5【题型3利用全等三角形的判定与性质求线段长度】 10【题型4利用全等三角形的判定与性质求面积】 16【题型5线段长度最值问题】 21【题型6使组成等腰三角形的点的个数】 26【题型7勾股定理】 30【题型8勾股定理的逆定理】 35【题型9勾股定理的简单应用】 39【题型10实数的运算】 43【题型11点的坐标规律】 44【题型12坐标与图形性质】 48【题型13函数的图象】 54【题型14一次函数的应用】 57【题型15新定义问题】 62【题型16多结论问题】 66【题型1格点中的全等三角形】【例1】（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是（

）A．80° B．60° C．45° D．30°【答案】C【分析】取格点E，F，M，连接MD，MB，先证明ΔDFM≅ΔMEB，得出MD=MB，∠DMF=∠MBE，再证明AC//【详解】解：取格点E，F，由已知条件可知：MF=BE，∴ΔDFM≅ΔMEB，∴MD=MB，同理可得：ΔACB≅ΔBME，∴∠CAB=∠MBE，∴AC//∴∠APB=∠PBM，∵∠BME+∠MBE=90°，∴∠BME+∠DMF=90°,∴∠DMB=90°,∴ΔDMB是等腰直角三角形，∴∠DBM=45°,即∠APB=故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，所求角转换成容易求出度数的角，合理的添加辅助线是解决本题的关键．【变式1-1】（23-24八年级·山西吕梁·期中）数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“8字图”，如图所示的图形，则∠A+∠C的度数为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角．根据在△AED和△DBC在正方形网格中的位置可以证明△AED≌△DBC，根据全等三角形对应角相等可证∠C=∠ADB，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以得到∠C+∠BAD=45°．【详解】解：如下图所示，在△AED和△DBC中AE=DB∠AEB=∠DBC=90°∴△AED≌△DBC，∴∠C=∠ADB，又∠EAB是△ABD的外角，∴∠EAB=∠ADB+∠BAD=45°，∴∠C+∠BAD=45°．故选：B．【变式1-2】（23-24八年级·福建南平·期末）如图，在5×5格的正方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，故可求出结果．【详解】解：以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．以AC为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，所以可画出6个．故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及格点的概念，熟练掌握三条对应边分别相等的三角形是全等三角形是解题的关键．【变式1-3】（23-24八年级·山西运城·阶段练习）在如图所示的3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC全等（△ABC本身除外）的格点三角形最多可以画（

）

A．5个 B．9个 C．10个 D．15个【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理画出符合的三角形，再得出选项即可．【详解】解：设小方格的边长为1，如图可知△ABC是以小方格的对角线为底边的等腰三角形，据此特征，在如图所示的3×3的正方形网格中，

综上，在网格中与△ABC全等（△ABC本身除外）的格点三角形最多可以画15个，故选：D．【题型2利用全等三角形的判定与性质求角度】【例2】（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（

）A．80° B．70° C．60° D．45°【答案】B【分析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解．【详解】如图所示，连接AE．∵AB=DE，AD=BC∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，可得AE=DE∵AB=AC，∠BAC=20°，∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°，在△ADE与△CBA中，∠DAE＝∴△ADE≌△CBA（ASA），∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°，∴△DCE是等腰三角形，∴∠CDE=∠DCE，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°．故选B．【点睛】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度．【变式2-1】（23-24八年级·黑龙江鸡西·期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（

）A．180° B．200° C．210° D．240°【答案】A【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DF=DH，则可根据“HL”判断Rt△DFE≅Rt△DHG，所以∠DEF=∠DGH，然后利用∠AED+∠DEF=180°得到∠AED+∠AGD=180°．【详解】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF=DH，在Rt△DFE和Rt△DHG中，DE=DGDF=DH∴Rt△DFE≅Rt△DHG(HL∴∠DEF=∠DGH，∵∠AED+∠DEF=180°，∴∠AED+∠AGD=180°．故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．【变式2-2】（23-24八年级·河北石家庄·期中）题目：“在△ABC和△A'B'C'中，两个三角形的高线分别为AD和A'D'，∠B=∠B'=30∘，AB=A'B'，AC=AA．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，本题要分两种情况求出，一种情况是△ABC≅△A'B'C'，此时可得：∠C'=n∘【详解】解：如下图所示，当△ABC≅△A'B如下图所示，当AD在△ABC内部，A'D'∵AC=A'C△ACD≅△A∴∠A∴∠A∴要把甲和丙的答案合在一起才完整．故选：B．【变式2-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．连接DE，DF，若∠BAE=α，则∠EDF一定等于（

）A．2α B．45°-α C．45°+α D．90°-α【答案】C【分析】取AB的中点G，连接EG，过点F作FM⊥BC，FN⊥CD．先证明△AGE≌△ECF得AE=EF，再证明Rt△ABE≌Rt△EMF得BE=FM，得△DNF为等腰直角三角形，求出∠NDF=45°，再证明Rt△ABE≌Rt△DCE得【详解】取AB的中点G，连接EG，过点F作FM⊥BC，FN⊥CD．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∠B=∠BCD=∠DCM=90°．∵点G为AB的中点，点E为BC的中点，∴AG=BG=12AB∴AG=EC，BG=BE．∵∠AEF=90°，∠B=∠BCD=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEM，∴∠BAE=∠MEF．∵BG=BE，CF平分∠DCM∴∠BGE=∠FCM=45°，∴∠AGE=∠ECF=135°．在△AGE和△ECF中∠EAG=∠FEC∴△AGE≌△ECF∴AE=EF在Rt△ABE和Rt∠EAB=∠FEM∠B=∠FME∴Rt△ABE≌∴FM=BE=1又∵CF平分∠DCM，FM⊥BC，FN⊥CD∴FN=FM=∵FM⊥BC，FN⊥CD，∠DCM=90°，FN=FM∴四边形FMCN是正方形FMCN，∴FM=CN，∴FN=DN，∴∠NDF=45°．在Rt△ABE和RtAB=DC∠B=∠DCE∴Rt△ABE≌∴∠BAE=∠CDE=α∴∠EDF=∠CDE+∠FDC=45°+α．故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取AB的中点G后证明△AGE≌△ECF．【题型3利用全等三角形的判定与性质求线段长度】【例3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC=90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO=4OD，则AOOC的值为（

A．95 B．53 C．32【答案】B【分析】如图，在AB上截取AE=AD，BF=BC，连接OE，OF．根据题意易证△AOD≌△AOE(SAS)，△BOC≌△BOF(SAS)．即得出∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF．继而求出∠AOD=∠BOC=∠AOE=∠BOF=∠EOF=45°，再由题意可知，ABAD=OBOD=4，即又可推出AE=14AB，BE=34AB．由OF【详解】解：如图，在AB上截取AE=AD，BF=BC，连接OE，OF．根据题意可知∠OAB=∠OAD=12∠DAB又∵AD=AE，BC=BF，∴△AOD≌△AOE(SAS)，∴∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF．∵∠DAB+∠ABC=90°，∴∠OAB+∠OBA=45°，∴∠AOD=∠BOC=45°，∴∠AOE=∠BOF=45°，∴∠EOF=180°-(∠OAB+∠OBA)-∠AOE-∠BOF=180°-45°-45°-45°=45°，∵AO平分∠BAD，∴O到AD、AB的距离相等，∴S△AOBS△AOD=∴AE=14AB又∵∠EOF=∠BOF=45°，即OF平分∠BOE．同理可得：EFBF=OEOB∴BF=4∴BF=4∵BO平分∠ABC，∴OAOC故选：B【点睛】本题主要考查角平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质．推理论证过程较难，作出辅助线，根据角平分线的性质得出三角形的角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段的比等于对应相邻的两边的比是解答本题的关键．【变式3-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝12∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EFA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．【详解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF与△ABG中AB=∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝12∠BAD∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG与△AEF中AG=∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故选：B．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．【变式3-2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，AO⊥OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是(

)A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化【答案】B【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO与△BEN中，∠BAO∴△ABO≌△BEN（AAS），∴BO=NE，BN=AO；∵BO=BF，∴BF=NE，在△BPF与△NPE中，∠FBP∴△BPF≌△NPE（AAS），∴BP=NP=12BN；而BN=AO∴BP=12AO=12故选B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．【变式3-3】（23-24八年级·浙江湖州·期中）如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，AE=AC，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为64，AF=8．则FG的长是（

）A．8 B．152 C．203 D【答案】A【分析】过点A作AH⊥BC于点H，利用SAS可证得△ABC≌△ADE，于是可得AD=AB，利用三角形的面积公式可得AF=AH，利用HL可证得Rt△AFG≌Rt△AHG，于是可得S△AFG=S△AHG，同理可证得Rt【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，在△ABC和△ADE中，AC=AE∠C=∠E∴△ABC≌∴AD=AB，又∵AF⊥DE，∴1∴AF=AH，∵AF⊥DE，AH⊥BC，∴∠AFG=∠AHG=90°，在Rt△AFG和RtAF=AHAG=AG∴Rt∴S同理：Rt△AFD∴S∴====2=2=64，∴S∴FG=32×2故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（SAS和HL），三角形的面积公式，等式的性质2，垂线的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【题型4利用全等三角形的判定与性质求面积】【例4】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，Rt△ABC和Rt△DEC中，∠ACB=∠ECD=90°，CA=CB=3，CE=CD，点A在DE上，若AE:AD=1:2，则Rt△ABC和

A．32 B．94 C．3 D【答案】C【分析】设AB与CD相交于点O，连接BD，作OM⊥DE于点M，ON⊥BD于点N，先证明OM=ON，根据条件算出△ABC的面积，再求出OA与OB的比值即可解决问题．【详解】设AB与CD相交于点O，连接BD，作OM⊥DE于点M，ON⊥BD于点N，如图所示：

∵∠ECD=∠ACB=90°∴∠ECA=∠DCB，在△ECA和△DCB中，∵CE=CD∠ECA=∠DCB∴△ECA≌△DCB（SAS），∴∠E=∠CDB=45°，∵∠EDC=45∴∠CDB=∠EDC，∴OD平分∠ADB，又∵OM⊥DE，ON⊥BD，∴OM=ON，∵AE:AD＝∴BD:AD＝在Rt△ADB∵CA=CB=3，∴S△ABC∵S△AOD∴AOAB∴S△AOC=23S△ABC=故选：C．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系．【变式4-1】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于点P，若△BPC的面积为4cm2，则△ABC的面积（A．7cm2 B．8cm2 C．【答案】B【分析】题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，熟知等底等高的三角形的面积相等是解题的关键．延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S【详解】解：如图所示，延长AP交BC于E，∵BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，∴∠ABP=∠EBP，又∵BP=BP，∴△ABP≌△EBPASA∴AP=PE，∴S△ABP∴S△PBC∴S△ABC故选B．【变式4-2】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）如图，在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，AD⊥DC，AC-AB=2，BC=8，则△BDC面积的最大值为（

）

A．6 B．8 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长CD与AB交于点G，作GH⊥CB交CB延长线于点H，可证明△ADG≌△ADCASA，得到BG=2，求面积最大值转化成求线段GH【详解】分别延长CD与AB交于点G，作GH⊥CB交CB延长线于点H，

∵AD平分∠BAC，AD⊥DC，∴∠GAD=∠CAD，∠ADG=ADC=90°，又∵AD=AD，∴△ADG≌△ADCASA∴AC=AG，CD=GD，∵AC-AB=2，∴BG=2，∴S△BDC∵GH⊥BC，∴当点B、H重合时，GH最大，最大值为∴S△BDC故选：D．【变式4-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，连接BE，AB=6，AC=8，BC=10，则△ABE的面积是（

A．95 B．2 C．125 D【答案】C【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．延长AE交BC于点F，作AM⊥BC与点M，利用角平分线的定义可证△AEC≌△FECASA，可推出AE=EF，FC=AC=8，再根据三角形面积可求得AM，从而得到S△ABF，最后利用三角形中线的性质可知【详解】解：延长AE交BC于点F，作AM⊥BC与点M，如图所示，∵AE⊥CD，CD是△ABC的角平分线∴∠AEC=∠FEC=90°，∠ACE=∠FCE在△AEC和△FEC中∠AEC=∠FEC∴△AEC≌△FEC∴AE=EF，FC=AC∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10∴BF=BC-FC=BC-AC=10-8=2∵∴AM=∴∵AE=EF∴故选：C．【题型5线段长度最值问题】【例5】（2024·江苏·一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,AC=3，BC=4，AB=5A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF=FM，DE=EN，CD=CM，CD=CN，∴CD=CM=CN，∵∠MCA=∠DCA，∠∴∠MCD+∴M、C、N共线，∵DF+DE+EF=FM+EN+EF，∵FM+EN+EF≥MN，∴当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值为MN=2CD，∵CD⊥AB，∴12·AB·CD=∴CD=BC·ACAB=125∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．【变式5-1】（23-24八年级·浙江台州·期中）如图所示，∠AOB=60°，点P是∠AOB内一定点，并且OP=4，点M、N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，当△PMN的周长取最小值时，点O到线段

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P″，连接P'P″与OA、OB分别交于M、N，则P'P″的长即为【详解】解：作点P关于OB的对称点P'，点P关于OA的对称点P″，连接P'P″与OA则PM=P″△PMN周长为PM+MN+PN=则P'P″连接OP'、OP

由对称定可得：OP'=OP∵∠AOB=60°∴∠∵OP'∴∠OCP'∴∠∴OC=故选：B．【点睛】此题考查了利用轴对称求最短距离，通过轴对称确定△PMN周长最小值的位置是解题的关键．【变式5-2】（23-24八年级·安徽马鞍山·期末）如图，已知Rt△ABC，AB=AC，D为平面内一动点，BD=AC，E为BD上一点，BE=2DE，AB上两点F，G，BF=FG=GA．下面能表示CD+AE最小值的线段是（

A．线段CA B．线段CG C．线段CF D．线段CB【答案】B【分析】连接DG，根据BE=2DE，BF=FG=GA，AB=AC，BD=AC，证明BE=BG，结合∠ABE=∠DBG，证明△ABE≌△DBGSAS，得到AE=DG，根据DG+CD≥CG，得到AE+CG的最小值为CG本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键．【详解】如图，连接DG，∵BE=2DE，∴BE=2∵BF=FG=GA，∴BG=2∵AB=AC，BD=AC，∴AB=∴BE=BG，∵∠ABE=∠DBG，∴△ABE≌△DBGSAS∴AE=DG，∵DG+CD≥CG，∴AE+CG≥CG，∴AE+CG的最小值为CG的长．故选：B．【变式5-3】（23-24八年级·山东临沂·期末）如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB=AC=10，AD=8，BC=12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（

）A．10 B．12.8 C．12 D．9.6【答案】D【分析】过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M'，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC，然后根据S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BH，可得BH=485．作点H关于AD的对称点交AB于点N'，连接M'【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H，交AD于点M'，由作图可知，AD平分∠BAC，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=CD=1∵AD=8，AC=10，BC=12，S△ABC∴BH=BC⋅AD∵AB=AC，AD⊥BC，作点H关于AD的对称点交AB于点N'，连接M∴M∴BH=BM当点M、M分别在M'、N'位置时，则BM+MN的最小值为BH的长485故选：D．【点睛】本题考查尺规作-作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【题型6使组成等腰三角形的点的个数】【例6】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则点B的个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】分AO=AB，BO=BA，OB=OA三种情况讨论．【详解】∵直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，∴当OB=OA时，有两个B点是B1、B2，OB1=OA时，∠OB1A=∠OAB1=12∠1=25°，OB2=OA时，∠OB2A=∠OAB2=12（180°-∠1）当AO=AB时，有一个B点是B3，即AO=AB3，∠AB3O=∠1=50°；当BO=BA时，有一个B点是B4，即B4O=B4A,∠OAB4=∠1=50°．∴使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，点B的个数是4个．故选C．【点睛】本题考查了因动点产生的等腰三角形问题，解决问题的关键是三角形的三边两两相等都有可能，有三种可能情况，分类讨论．【变式6-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°．点P为直线BC上一动点，若点P与△ABC三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（

）A．4个 B．6个 C．8个 D．9个【答案】C【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点P的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理．【详解】解：如图，∵在△ABC中，∠ABC=75°，∠BAC=30°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-75°-30°=75°，当∠CAP=∠CPA=12×75°=37.5°当∠BAP=∠BPA=12×当∠PAB=∠PBA=75°时，△PAB为等腰三角形；当P与C重合时，△ABP为等腰三角形；当P与B重合时，△ACP为等腰三角形；当∠PAC=∠PCA=75°时，△PAC为等腰三角形；当∠CAP=∠CPA=12×当∠BAP=∠BPA=37.5°时，△BAP为等腰三角形；综上，满足条件的点P的位置有8个．故选：C．【变式6-2】（23-24八年级·北京东城·期末）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个【答案】C【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．【详解】如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB，如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC，故答案为5．故选C【变式6-3】（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC≠AC，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形．⑦作AC的垂直平分线交AB于M，则△ACM和△BCM都是等腰三角形．【详解】解：作图如下故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力．【题型7勾股定理】【例7】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，△ABC的角平分线AF,BE相交于点P，若AB=AC=13,BC=10，则APPF的值为（

A．135 B．125 C．52【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．根据AB=AC=13,BC=10，AF平分∠BAC，利用勾股定理求出AF，如图，过点P作PD⊥AB交AB于点D，证明Rt△BPD≌Rt△BPFHL，得到BD=BF=5，AD=AB-BD=8，设PD=x，则【详解】解：∵AB=AC=13,BC=10，AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF,AF⊥BC,BF=CF=1∴∠AFB=90°，∴AF=A如图，过点P作PD⊥AB交AB于点D，∵△ABC的角平分线AF,BE相交于点P，PD⊥AB，AF⊥BC，∴PF=PD，∵BP=BP，∴Rt∴BD=BF=5，AD=AB-BD=8，设PD=x，则AP=12-x，在Rt△ADP中，A∴12-x解得：x=10∴PD=PF=10∴APPF故选：A．【变式7-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，AC=a,BD=b．以AC为底向下作等腰直角三角形ACE，以BD为底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD=56BD．连接AF,DE，当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，则a与bA．a=43b B．a=65b【答案】A【分析】过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，先根据等腰三角形的性质可得EM=12AC=a2，BN=12BD=b2，利用勾股定理可得FN=23b，再利用三角形的面积公式可得△ABF【详解】解：如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点F作FN⊥AD于点N，∵△ACE是等腰直角三角形，且AC=a，∴EM=1∵△BDF是等腰三角形，且BD=b，∴BN=1∵FB=FD=5∴FN=F∴△ABF与△CDE的面积之差为1===1∵当BC的长度变化时，△ABF与△CDE的面积之差保持不变，∴a∴a=4故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．【变式7-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（

）A．75 B．32 C．53【答案】D【分析】延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．首先证明DC垂直平分线段AE，△ABE是直角三角形，求出AE的长，在Rt△ABE【详解】解：如图，延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．在Rt△ABC中，BC=6，AC=8∴AB=A∵D为AB的中点，∴AD=BD=DC=1∵S∴12解得CF=24由翻折的性质可知AC=CE，AD=DE，∴CH⊥AE，∴AH=HE．

∵DC=AD，S△ADC∴HE=CF=24∴AE=2HE=48根据折叠的性质有：AD=DE，∴AD=DE=BD，∴∠DAE=∠DEA，∠DBE=∠DEB，又∠DAE+∠DBE+∠AEB=180°，∠AEB=∠DEA+∠DEB，∴∠AEB=90°，∴△ABE为直角三角形．∴BE=A故选：D．【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．【变式7-3】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD:OE:OF=1:4:4，则AO的长度为（

）

A．7 B．5 C．16017 D．【答案】D【分析】连接OA，OB，OC，由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OE=4x，证明Rt△AOF≌Rt△AOE，得到AO为∠BAC的角平分线，再根据AB=AC，得到AO⊥BC，根据三线合一及勾股定理求出AD=4【详解】解：连接OA，OB，OC，如图，

由OD:OE:OF=1:4:4，设OD=x，OE=4x，OE=4x，∵OE=OF，AB⊥OF，AC⊥OE，AO=AO，∴Rt△AOF≌Rt△AOE∴AO为∠BAC的角平分线，又∵AB=AC，∴AO⊥BC，∴AD为△ABC的中线，∵BC⊥OD，∴A、D、O三点共线，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，AD=∴S∴12=10x+10x-3x，∴x=12∴AO=AD+DO=4+12故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟知等腰三角形的三线合一、角平分线的判定及三角形的面积公式是解题的关键．【题型8勾股定理的逆定理】【例8】（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（

）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【答案】B【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积，分别计算出几个较大的正方形纸片围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．【详解】解：∵五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，∴五种正方形纸片的边长分别是1，2，3，4，5，由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，1＋4＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是12当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，2＋3＝5，围成的三角形是直角三角形，面积是12当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，2＋2＝4，围成的三角形是直角三角形，面积是12∵62＞1∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．【变式8-1】（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图已知△ABC中，AB=5cm，BC=26cm，BC边上的中线AD=12cm，则△ABC的面积为（

A．30 B．130 C．60 D．120【答案】C【分析】根据中线，得到BD=13cm，再根据勾股定理的逆定理，得到△BAD是直角三角形，进而得到SABD=30cm2【详解】解：∵AD是BC边上的中线，∴D为BC中点，∵BC=26cm∴BD=CD=1∴BD∵AB=5cm，AD=12∴AB∴BD∴∠BAD=90°，∴S∵D为BC中点，∴S∴S故选C．【点睛】本题考查了三角形的中线，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．【变式8-2】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC沿最长边翻转180°成△ABC1，则

A．125 B．512 C．56【答案】D【分析】根据勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，根据翻转得出AB垂直平分CC1，根据三角形面积公式求出【详解】连接CC1，交AB于点

∵AC=3，BC=4，AB=5，∴BC∴△ABC是直角三角形．∵△ABC沿最长边翻转180°成△ABC∴AB垂直平分CC∴CD=AC⋅BC∴CC故选∶D．【点睛】本题考查了折叠的性质以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【变式8-3】（2024八年级·浙江杭州·专题练习）如图，已知在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB，则△ABD的面积为（

）A．14 B．15 C．16 D．352【答案】B【分析】过D作DP⊥AB于P，证明△ABC为直角三角形，再利用角平分线的性质定理得出CD=DP，然后利用等面积法求出DP，即可求得△ABD的面积．【详解】解：如图，作DP⊥AB于P．∵AC=6，BC=8，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，即DC⊥AC，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DP⊥AB，∴DC=DP，设DC=DP=x，∵S△ABC=S△ACD+S△ABD，∴12⋅AC⋅BC=∴6×8=6x+10x，∴x=3，∴S故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，勾股定理的逆定理．能根据角平分线性质和等面积法求出CD=DE=3是解此题的关键．【题型9勾股定理的简单应用】【例9】（23-24八年级·全国·课后作业）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（）A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元【答案】B【分析】这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，不妨把两地价格看为是两点间的距离，则由AC2+BC2=AB2可以知道∠ACB是直角．又AD=AC+CD，故A，C，D在一条直线上，利用勾股定理即可解出BD的长，即是B﹣D的机票价格．【详解】把两地价格看为是两点间的距离，则AB＝2000，AC＝1600，AD＝2500，BC＝1200，CD＝900．∵16002+12002=20002，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB是直角，∵2500＝1600+900，即AD=AC+CD，∴A，C，D在一条直线上，∴∠BCD是直角，∴BD=BC2+CD2即B﹣D的机票价格为1500元.故选B.【点睛】本题考查了两点间的距离、勾股定理及其逆定理.利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB为直角是解题的关键.【变式9-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（

A．22 B．23 C．5 D．26【答案】C【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键．【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程，∵PA=17米，AB=2米，点P到AF的距离是4∴PG=4米，∴AG=P∴BG=GA+AB=1+2=3（米），∴PB=G∴这只蚂蚁的最短行程应该是5米．故选：C．【变式9-2】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知圆柱的底面直径BC=6π，高AB=3，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（A．18 B．48 C．120 D．72【答案】D【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，C的最短距离为线段AC的长.∵已知圆柱的底面直径BC=6∴AD=π⋅6在RtΔADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，∴AC∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为2AC2故选D.【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．【变式9-3】（23-24八年级·广东梅州·期中）如题图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm、高为12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（

）A．13cm B．241cm C．193cm D【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理-最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．【详解】解：如图1:AB=16如图2:AB=15如图3:AB=12∵265>∴它所行的最短路线的长是193cm故选：C．【题型10实数的运算】【例10】（2024·河北邯郸·三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为230﹣6，则较小的正方形面积为（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积．【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，∴重叠部分也为正方形，∵空白部分的面积为230﹣6，∴一个空白长方形面积=30-3∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3，∴大正方形边长=12=23，重叠部分边长=∴空白部分的长=23设空白部分宽为x，可得：3x=30-3，解得：x∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=(10∴小正方形面积=(10)故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．【变式10-1】（2024·浙江杭州·二模）无理数2+3+37A．5和6 B．4和5 C．3和4 D．2和3【答案】D【详解】试题分析：由题意分析可知，本题中主要考查37与相邻数字的知识，由题知，49=7>37>36=6，所以3>2+【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·期中）已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、dA．92+2 B．132-2【答案】D【分析】本题考查了实数的混合运算，根据倒数、相反数的定义，绝对值的意义，算术平方根的定义得出ab、c+d、e2及f【详解】解：由题意得，ab=1，c+d=0，e2=2，∴12故选：D．【变式10-3】（23-24八年级·福建莆田·期中）设x表示不大于x的最大整数，则1×2+2×3+A．5151 B．5150 C．5050 D．5049【答案】C【分析】本题主要考查了新定义，根据条件可得每一项都是xx+1组成，判断出x<xx+1【详解】解：∵x2∴x<x∴xx+1∴原式=1+2+3+⋯+100=5050；故选：C．【题型11点的坐标规律】【例11】（23-24八年级·安徽马鞍山·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如1,0，2,0，(2,1)，(3,2)，(3,1)，3,0，4,0⋯，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（

）A．(64,7) B．(63,7) C．(64,6) D．(63,6)【答案】A【分析】本题考查了图形的坐标变化规律，由图可知横坐标为1的点有1个，横坐标为2的点有2个，横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2⋯，横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数，横坐标为偶数，则从0开始数，据此解答即可求解，由图形得到坐标的变化规律是解题的关键．【详解】解：把第一个点1,0作为第一列，2,1和2,0作为第二列，依此类推，则第一列有1个数，第二列有2个数，第n列有n

个数，则n列共有nn+1∵1+2+3+⋯+63=2016，∴第2024个数一定在第64列，由下到上是第8个数，∴第2024个点的坐标是64,7，故选：A．【变式11-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图．在平面直角坐标系中，一质点自P01,0处向上运动1个单位长度至P11,1．然后向左运动2个单位长度至P2处，再向下运动3个单位长度至P3处，再向右运动4个单位长度至P4处，再向上运动5个单位长度至P5处，…A．-1011,1011 B．1011,-1012C．-1011,-1012 D．-1012,-1013【答案】C【分析】本题考查坐标与图形、点坐标规律型问题等知识点，根据已知条件归纳出规律是解题的关键．根据坐标系确定前面的一些点，然后归纳规律，最后利用规律即可解答．【详解】解：∵2023÷4=505⋯⋯3，∴点P2023由题意P01,0，P11,1，P2-1,-1，P3-1,-2，P43,-2，P53,3，∴P4n-1∵P2023，即n=506∴P2023故选：C．【变式11-2】（2024·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9…都是等边三角形，且点A．509,0 B．508,0 C．-503,0 D．-505,0【答案】C【分析】本题是一道关于等边三角形性质及探索规律的题目，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形可以得到A1~A4,A5~A8,…，每4个为一组，据此可以得到A2023在x轴负半轴上，纵坐标为【详解】解：观察图形可以看出A1~A∵2023÷4=505……3，∴A2023在x轴负半轴上，纵坐标为0∵A32,0，A∴当3=4×0+3时，A3的横坐标为2当7=4×1+3时，A7的横坐标为1当11=4×2+3时，A7的横坐标为0……当4n+3时，A4n+3横坐标为2-n∵4n+3=2023，∴n=505，则2-505=-503∴A2023的坐标是-503,0故选：C【变式11-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=-x的图象分别为直线l1，l2，过点1,0作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作yA．2024,-2024 B．4028,-4028C．21012,-2【答案】C【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+122n,22n+1【详解】解：当x=1时，y=2，∴点A1的坐标为(1,2)当y=-x=2时，x=-2，∴点A2的坐标为-2,2同理可得：A3-2,-4，A44,-4，A54,8，A6-8,8，A∴A4n+122n,22n+1，A4n+2∵2024=505×4+4，∴点A2024的坐标为2505×2+2,-故选：C．【题型12坐标与图形性质】【例12】（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，在直角坐标系中，等腰Rt△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是-8,0，直角顶点B在第二象限，等腰Rt△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（

A．y=-2x+2 B．y=-12x+4 C．y=-3x-4【答案】D【分析】当BC∥x轴平行时，过B作BE⊥x轴于点E，过D作DF⊥x轴于点F，DF交BC于点G，根据O点是坐标原点，A的坐标是-8,0，得到AO=8，推出EO=GF=4，OF=DG=2，推出DF=DG+GF=6，推出D-2,6；当C与原点重合时，D在y轴上，推出D0,4，设所求直线解析式为y=kx+b，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与【详解】当BC∥x轴时，过B作BE⊥x轴于点E，过D作DF⊥x轴于点F，DF交BC于点G，如图1所示．∵等腰直角△ABO的O点在坐标原点，A的坐标是-8,0，∴AO=8，∴BC=BE=AE=EO=GF=12OA=4，OF=DG=BG=CG=∴D坐标为-2,6；当C与原点O重合时，D在y轴上，如图2所示．此时OD=BE=4，即D0,4设所求直线解析式为y=kx+bk≠0将点D两位置坐标代入得：-2k+b=6b=4，解得k=-1则这条直线解析式为y=-x+4．故选：D．

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，一次函数．熟练掌握待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，是解答本题的关键．【变式12-1】（2024八年级·全国·竞赛）如图，在直角坐标系中，A2,-6，B6,-1，Cm,0，D0,n，当四边形ABCD周长最小时，

A．-87 B．-78 C．【答案】A【分析】本题主要考查了轴对称，一次函数．熟练掌握关于坐标轴对称的点坐标特征，轴对称路径最短，待定系数法求一次函数的解析式，是解决问题的关键．作点A关于x轴的对称点A'，作点B关于y轴的对称点B'，连接A'B'，根据点C，D在A'B'上时BC+CD+AD最小，得到四边形ABCD周长最小．根据点A'，B【详解】解：如图，分别作点A2,-6关于y轴的对称点为A'(-2,-6)，点B6,-1关于x轴的对称点为B'(6,1)，连接

则AD=A'D∴BC+CD+AD=当点C，D在A'B'上时，BC+CD+AD此时四边形ABCD周长就最小，设直线A'B'则-2k+b=-66k+b=1解得，k=7∴y=7当y=0时，78解得，x=34当x=0时，y=-17∴C347,0∴m=347，∴mn故选：A．【变式12-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，x轴上有一点C-1,0，P，Q分别为直线y=x+2和y轴上的两个动点，当△CPQ的周长最小时，点P，Q的坐标分别是（

A．P-54,34，C．P-52,34，【答案】A【分析】本题考待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置．作C点关于直线y=x+2的对称点C'和关于y轴的对称点C″，由y=x+2可得A-2,0，B0,2，所以△AOB是等腰直角三角形，求得C″-2,1，C'-1,0，待定系数法求出直线C'C″的解析式为y=-【详解】解：作C点关于直线y=x+2的对称点C'和关于y轴的对称点C则C″1,0，C'∴CP+CQ+PQ=C当C',C∵一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A-2,0，B则△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∵C、C'关于AB∴∠PAC∴∠OAC∵C-1,0∴AC=OA-OC=1=AC∴C'设直线C'C″0=k+b1=-2k+b，解得k=-则直线C'C″则点Q0,联立y=x+2y=-13则P故选：A．【变式12-3】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，O为坐标原点，△ABO的两个顶点A6,0，B6,6，点D在边AB上，AD=5BD，点C为OA的中点，点P为边OB上的动点，则使四边形PCAD周长最小的点

A．3,3 B．72,72 C．【答案】C【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，等腰三角形的判定和性质，两直线的交点坐标等知识点．根据已知条件得到AB=OA=6，∠AOB=45°，求得AD=5，OC=AC=3，得到C3,0，D6,5，在y轴正半轴取点E，使OE=OC，连接EC交OB于点F，连接ED交OB于P'，连接CP'，EP，推出OB垂直平分EC，则点C与点关E于直线OB对称，此时四边形P'DAC周长最小，E0,2，求得直线OB的解析式【详解】解：∵A6,0，B∴AB=OA=6，∠OAB=90°，∴∠AOB=45°，∵AD=5BD，点C为OA的中点，∴AD=5，OC=AC=3，∴C3,0，D在y轴正半轴取点E，使OE=OC，连接EC交OB于点F，连接ED交OB于P'，连接CP'∴OE=OC=3，∴E0,3∵∠EOC=90°，∠AOB=45°，∴∠EOB=90°-∠AOB=45°=∠AOB，即OB平分∠EOC，∴OB⊥CE，CF=EF，∴OB垂直平分EC，则点C与点关E于直线OB对称，∴CP'=E∴AC+AD+CP+PD=AC+AD+EP+PD≥AC+AD+ED，当点P与点P'重合时，取“=”号，此时四边形P设直线OB的解析式为y=kx，过点B∴6=6k，解得：k=1，∴直线OB的解析式为y=x直线ED的解析式为y=k1x+b1∴b1解得：k1∴直线ED的解析式为y=1解方程组y=xy=13∴P'故选：C．

【题型13函数的图象】【例13】（2024·湖北黄石·中考真题）如图所示，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是（

）B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：观察可得，只有选项A符合实际，故答案选A.【变式13-1】（23-24八年级·贵州毕节·期中）如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化．【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型．故选：C．【变式13-2】（23-24八年级·安徽淮北·期中）透明玻璃水槽内有一个篮球，均匀地向容器内注水，最后把水注满．在注水的过程中，水面的高度h随时间t的变化而变化的过程，更像下面哪个图象（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】在注水的过程中，分两个阶段：①篮球没浮起来之前，由于篮球的横截面越来越大，排开水的体积越来越大，所以上升速度越来越快；②篮球浮起来之后，水位匀速上升．【详解】解：在注水的过程中，分两个阶段：①篮球没浮起来之前，由于篮球的横截面越来越大，排开水的体积越来越大，所以上升速度越来越快；②篮球浮起来之后，水位匀速上升．故选：C．【点睛】此题考查了函数的图象，用到的知识点是函数图象的应用，需注意匀速地向一个容器内注水，篮球的横截面的大小与水面高度变化的关联情况．【变式13-3】（2024·河北唐山·三模）如图1是一个圆底烧瓶，李老师在做化学实验时向空瓶内匀速加水至图2状态停止．记加水时长为ts，圆底烧瓶里水面的高度为ycm，则y与t关系的图象大致是（

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本题考查函数的图象，根据空瓶的形状，随着加水时长的增加，水面的高度上升的快慢，即可求解．【详解】解：根据空瓶的形状，随着加水时长的增加，单位时间内，圆底烧瓶里水面的高度上升先快后慢，再由慢变快，最后均匀上升，∴选项B中图象符合题意，故选：B．【题型14一次函数的应用】【例14】（23-24八年级·安徽合肥·期末）甲、乙两人登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的2倍，并先到达山顶，根据图象所提供的信息，甲、乙两人距地面的高度差为36米的时刻不可能是（

）A．5分钟 B．9分钟 C．11分钟 D．17分钟【答案】B【分析】本题考查了一次函数的应用，绝对值方程，一元一次方程等知识．从图像中获取正确的信息，正确的表示函数关系式是解题的关键．根据图像与题意求甲的函数关系式为y甲=12x+600≤x≤20，乙的函数关系式为y【详解】解：由图像可知，甲的速度为300-6020=12米/分钟，当0≤x≤4时，乙的速度为604=15米/分钟，当4≤x≤14时，乙的速度为∴甲的函数关系式为y甲=12x+600≤x≤20令y甲当0≤x≤4时，12x+60-15x=36解得x=8（舍去）；当4≤x≤14时，12x+60-当12x+60-24x-36=36当12x+60-24x-36=-36当14≤x≤20时，可得300-12x+60解得x=17；综上，x的值可能为5或11或17，不可能为9，故选：B【变式14-1】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（

）A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；C．小天出发14.5分钟两人相遇；D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．【答案】D【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形结合的思想．由图象可知前5分钟，两人共行驶了4000-2200米，故两人速度和为4000-2200÷5=360米/分钟，再根据小东提速返回的路程，小天用4分钟的时间，可知小天的速度是小东的54倍，即可算出两人开始的速度；然后根据总路程和小东继续去乙地的速度，分别求出小天和小东用的相遇时间即可；小东在加上开始5分钟和返回【详解】A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，此时由图CD∥x轴可知，小东和小天相距的路程不变，∴所以小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同，此选项不符合题意B．∵小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变∴小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，∴小天速度是小东提速前的速度的54∵设小东原速度为v米/分钟,则提速后为54v米/分钟，小天的速度为545∴小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟，故此选项不符合题意；C．∵两人同时发出，当行驶5分钟到达B点，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，∴此时两人相距2200米，∵拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，∴小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶2200÷200+200∴小天一共行驶了5+4+5.5=15.5分钟故此选项不符合题意；D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地4000÷200=20分钟，∴小冬最终达到乙地的时间是29分钟，故此选项不符合题意．故选：D【变式14-2】（23-24八年级·重庆·开学考试）周末老张和小胜相约从各自的家出发去体育馆打羽毛球，且老张家，小胜家，体育馆顺次在同一直线上，老张先从家出发4分钟后来到小胜家和小胜汇合，汇合时间忽略不计，两人以老张的速度一起走了4分钟后，小胜发现自己装备带错了需回家换装备，于是立即加速回家用了少许时间取了装备后又以加速后的速度赶往体育馆，老张仍以原速前行，结果小胜比老张提前1分钟到达体育馆．若老张与小胜两人和体育馆之间的距离y（米）与小胜出发的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．则以下说法错误的是（

）．A．小胜加速后的速度为250米/分钟B．老张用了24分钟到达体育馆C．小胜回家后用了0.6分钟取装备D．小胜取了装备后追上老张时距离老张家3025米【答案】D【分析】根据题意可以在图上分辨出老张和小胜的函数图像，根据6.4分钟后的图像曲线可以计算出小张加速后的速度，从而判断出A选项；再根据共行4分钟，可以计算出老张的速度，从而算出老张的总用时，判断出B选项；根据老张总共用时，可以计算出小胜赶往体育馆用时，从而可以判断出C选项；再通过设方程求出小胜追上老张所用时间，可以计算出老张从家到被小胜追上所用时间，最后即可计算出最后答案．【详解】A、小胜加速后用6.4-4=2.4min走了3000-2400=600m，速度为600÷2.4=250m/min，故选项A正确，不符合题意；B、老张全程速度不变，和小胜一起用4分钟走了3000-2400=600m，速度为600÷4=150m/min，由图可知小胜家到体育馆距离为3000m，老张用时3000÷150=20min，再加上之前找小胜家用的4分钟，总共用时24分钟，故选项B正确，不符合题意；C、因老张用20分钟到体育馆，所以小胜花19分钟到，所以小胜赶往体育馆用时3000÷250=12min，所以图中他逗留家中的时间为19-6.4-12=0.6min，故选项C正确，不符合题意；D、6.4分钟时，老张走了150×6.4=960m，距离体育馆还剩3000-960=2040m，小胜开始返回体育馆，设t分钟时小胜追上老张，得2040-150t=3000-250t，解得t=9.6，此时从家开始老张总共用了4+6.4+9.6=20分钟，距离老张家150×20=3000m，故选项D错误，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了函数图像的实际运用，行程问题的基本关系，一元一次方程的应用，解本题的关键是计算出两个人的速度．【变式14-3】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离ykm与甲车行驶的时间xh

A．甲车速度是100km/h B．A、B两地的距离是C．乙车出发4.5h时甲车到达B地 D．甲车出发4.5【答案】D【分析】分析两车之间的距离ykm与甲车行驶的时间x【详解】解：点(0,60)中可知，乙1小时行驶了60km，可求乙的速度60km/h点(1.5,0)中可知，1.5h60×1+1.5由点b,80可知，甲到B地，且甲乙相差80kmb=80点c,a可知，休息30分钟，∴c=3.5+0.5=4，a=80-60×0.5=50；点d,0可知，甲乙再次相遇，d=4+50A．甲车的速度是100km/h，故AB．由以上分析已知甲出发3.5h后到达B地，且甲速度为100km/h，所以A，B两地为100×3.5=350kmC．甲车3.5h到达B地，乙车比甲车早出发1h，所以乙车出发4.5h时甲车到达BD．从上中1.5,0和d,0可知，甲出发1.5h和4516h故选：D．【点睛】本题主要考查了从函数图象中获得信息，两车相遇问题，最大的难点在于会识图，从图中找到关键信息点．【题型15新定义问题】【例15】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点B(-1.2,0.8)到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点C(1，1),D(-0.5，-1.5)也是“和二点”．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点E(-3,-4)，且图象l上存在“和二点”，则A．23≤k≤2 B．45≤k≤2 C．【答案】D【分析】本题考查一次函数图象及性质．取E-2,0，F2,0，G0,-2连EG，FG,EG取点P，PM⊥x轴PN⊥y轴，垂直分别为M,N,PN=OM，可得△OEG，△OFG均为等腰直角三角形，从而得△PEM为等腰直角三角形进而得PM+PN=OE=2，继而得到线EG上的点为“成双点”，线FG上的点为“成双点”，可得到当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与线EG或线FG有交点时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l上存在“成双点”，再分别求出当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点E【详解】解：取E-2,0，F2,0，G0,-2连EG，FG,EG取点P，PM⊥x∵OE=OF=OG=2，∴△OEG，∴∠OEG=45°，∴△PEM为等腰直角三角形，∴PM=EM，∴PM+PN=OE=2，∴点P是“成双点”，即线EG上的点为“成双点”，同理线FG上的点为“成双点”，∴当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与线EG或线FG有交点时，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l上存在“成双点”，∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点E(-3,-4)，∴-3k+b=-4，解得：b=3k-4，∴一次函数解析式为b=kx+3k-4，当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点E时，∴-2k+3k-4=0，解得：k=4，当一次函数y=kx+b(k≠0)的图象l经过点G时，∴3k-4=-2，解得：k=2∴k的取值范围：23故选：D．【变式15-1】（2024·河北保定·一模）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k为（A．85或14 B．58或14 C．85或4【答案】A【分析】分∠A为顶角和底角两种情况,利用等腰三角形的两底角相等求出底角或顶角，然后根据k的定义求解即可．【详解】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：12（180°-80°）∴k=80②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20°.∴特征值k=20综上所述，k为85或1故答案为A．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性