专题02 全等三角形（考题猜想易错题型专项训练）（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages7575页专题02全等三角形（易错题型专项训练）一、命题的辨别与真假命题（共5小题）1．下列语句中不是命题的是（

）A．两点之间，线段最短 B．连结A、B两点C．两直线与第三条直线相交，同位角相等 D．不平行的两条直线有一个交点【答案】B【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可．【详解】解：A．两点之间，线段最短，是命题，故A不符合题意；B．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题，故B符合题意；C．两直线与第三条直线相交，同位角相等，是命题，故C不符合题意；D．不平行的两条直线有一个交点，是命题，故D不符合题意．故选：B．2．下列语句不是命题的有（

）①全等三角形对应边相等；②过一点画已知直线的平行线；③同角的余角相等；④内错角相等吗？A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查命题的定义：判断一件事情的语句称为命题，据此逐个判断即可解答．【详解】解：①全等三角形对应边相等，是命题；②过一点画已知直线的平行线，不是命题；③同角的余角相等，是命题；④内错角相等吗？不是命题．综上，不是命题的是②④，共2个．故选：B3．给出下列命题：①数轴上的点与有理数一一对应；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；③两点之间，线段最短．其中是假命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别根据平行线的判定、数轴、两点之间线段最短对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：①数轴上的点与实数一一对应，原命题是假命题；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题；③两点之间，线段最短，是真命题；综上分析可知，是假命题的有1个，故选：B．4．下列命题是真命题的为（

）A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】本题考查判断命题的真假，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断；利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可．【详解】A．两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意；B．周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为3、4、5的三角形和一个边长为4、4、4的三角形，它们的周长都是12，但它们不是全等三角形，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意；C．若，两边同时平方可得，该命题是真命题，故该选项符合题意；D．若，则x可以是大于0的数，也可以是小于0的数（例如时，），所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意．故选：C．5．下列命题中，真命题的个数是（

）（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离（）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角（）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（）两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了命题，根据垂线的性质、点到直线的距离、三角形外角性质、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：（）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，符合题意；（）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意；（）三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角，该命题是真命题，符合题意；（）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该命题是真命题，符合题意；（）两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意；∴真命题有个，故选：．二、写出命题的题设与结论（共3小题）6．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：．【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键．根据命题的条件与结论即可改写即可．【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等．7．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为个，请同学们写出一个真命题．【答案】3如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明．【详解】解：当选取，作为条件，为结论时，∵，，∴，即，∴此时命题是真命题；当选取，作为条件，为结论时，∵，∴当时，则，即，符合题意；当时，则，即，不符合题意；∴此时命题是真命题；当选取，作为条件为结论时，∵，，∴，即，∴此时命题是真命题；综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么．故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么．8．如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性．【答案】见解析【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识．根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．【详解】解：第一种情况：已知：，，求证：证明：如图，∵，，∴∴，∴，又∵，∴，∴第二种情况：已知：，，求证：证明：如图，∵，，∴∴，∴，∵∴，∴第三种情况：已知：，，求证：证明：如图，∵∴，∵，∴，∴，∴∵，∴三、逆命题与逆命题真假的判定（共4小题）9．下列命题的逆命题是真命题的是（

）A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等【答案】C【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可【详解】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意；若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意；两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意；对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意；故选：C10．下列命题的逆命题是假命题的是（

）A．偶数一定能被整除 B．两直线平行，内错角相等C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形 D．若，则【答案】D【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题．写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A、逆命题为能被整除的数一定是偶数，正确，是真命题，不符合题意；B、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；C、逆命题为全等三角形的三条边对应相等，正确，是真命题，不符合题意；D、逆命题为若，则，错误，是假命题，符合题意．故选：D．11．给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此题的关键．【详解】解：①若，则的逆命题为：若，则，正确，是真命题，不符合题意；②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意；③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符合题意；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；故选：B．12．已知命题“对顶角相等”．(1)此命题是真命题还是假命题？如果是真命题．请给予说明；如果是假命题，请举出反例．(2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予说明；如果是假命题，请举出反例．【答案】(1)真命题，证明见解析(2)相等的角是对顶角，假命题，举例见解析【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握判断命题的方法是本题的关键．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案．【详解】（1）解：此命题是真命题．说明：如图，直线，相交于点．，．（2）“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题．反例：如图，在中，，但与不是对顶角．四、定理与证明（共4小题）13．下列说法中正确的是（

）A．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题B．任何定理一定有逆定理C．任何命题一定有逆命题D．定理一定是命题，但不一定是真命题【答案】C【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系分别判断后即可确定正确答案，解题的关键是了解命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系．【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，故原说法错误，不符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等，没有逆定理，故原说法错误，不符合题意；C、任何命题一定有逆命题，原说法正确，符合题意；D、定理一定是命题，且是真命题，故原说法错误，不符合题意；故选：C．14．在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，不同的线段或圆)中的某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为，在乙组图形的，，，四个图形中，表示“”和“”的是()A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】分析：根据题意分析可得：4种简单图形A，B，C，D各不相同，得到A、B、C、D所代表的图形，即可得到结论．详解：如图：

由甲组的A*B

B*C

B*D可知：

B是稍大一点的圆，C为横线段，D为稍小一点的圆，A为竖线段．

所以“A*D”应当选（b），“A*C”应当选（d）．

故选D．点睛：本题考查了推理与论证，在两个或三个图形中，先确定公有的是谁，再确定其他的，从而使问题解决，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．15．下列命题可以作定理的有个．①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．【答案】2/两【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证；经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理；②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理；⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；综上所述：③和④是定理，共2个．故答案为：2．16．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析(2)都是真命题，推理见解析【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可【详解】（1）解：一共能组成三个命题：①如果DE//BC，，那么；②如果DE//BC，，那么；③如果，，那么DE//BC；（2）解：都是真命题，如果DE//BC，，那么，理由如下：∵DE//BC，∴，∵，∴．如果DE//BC，，那么；理由如下：∵DE//BC，∴，，∵，∴；如果，，那么DE//BC；理由如下：∵，∴∠B+∠C=180°-∠BAC，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠1+∠2=180°-∠BAC，∴∠B+∠C=∠1+∠2，∵，，∴∠B=∠1，∴DE//BC．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．五、全等图形（共3小题）17．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查的是全等形的识别，利用全等图形的概念“两个图形能够完全重合，就是全等图形”是解答本题的关键．本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案．【详解】解：A选项两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；B选项两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；D选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；故选：A18．下列图形中，属于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查全等图形，解题的关键是掌握：根据能够完全重合的两个图形是全等图形．据此判断即可．【详解】解：A．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意；B．由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故此选项符合题意；C．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意；D．由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故此选项不符合题意．故选：B．19．如图，将标号为的正方形沿图中的虚线剪开后得到标号为的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪个图形”的对应关系填空．A与对应；B与对应；C与对应；D与对应．【答案】MPQN【分析】本题主要考查了全等形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等形，按照剪开前后各基本图形是重合的原则进行逐个验证、排查，熟练掌握全等形的识别是解决此题的关键．【详解】由全等形的概念可知：A是三个三角形，与M对应；B是一个三角形和两个直角梯形，与P对应；C是一个三角形和两个四边形，与Q对应；D是两个三角形和一个四边形，与N对应故答案为：M，P，Q，N．六、全等三角形与全等三角形的性质（共5小题）20．下列说法正确的是（

）A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】A【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与概念，熟知全等三角形的相关知识是解题的关键．根据全等三角形的性质与概念进行逐一判断即可．【详解】解：A、全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，符合题意；B、形状相同的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；D、只有边长相等的等边三角形才是全等三角形，原说法错误，不符合题意．故选：A．21．，的周长为，，，那么长（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，可得，再结合已知的三角形周长和边即可计算出的长度．【详解】解：∵，且的周长为，∴，且的周长为，∵，，∴，∴．故选：A．22．已知图中的两个三角形全等，则等于（

）A．72° B．60° C． D．【答案】A【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案．【详解】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角，∴，故选：D．23．如图，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，对应角相等．据此解答即可．【详解】解：∵，∴，，，，不能判断∴选项A、C、D均不符合题意，选项B符合题意．故选：B．24．如图，已知，若，，求的长．【答案】10【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，进而求出，则．【详解】解：，．，∴，．七、用SSS证明三角形全等（共6小题）25．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线，由此作法便可得，其依据是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题意，利用“”可得结论．【详解】解：在和中，，∴，故由“”可得，故选：A．26．如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（

）A． B． C． D．不需要添加【答案】D【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案；【详解】解：∵，，，∴，∴不需要添加条件，故选：D．27．如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是．【答案】，【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理结合图形进行判断即可．【详解】解：根据图象可知和及全等，理由是：∵根据图形可知，在和中，∴，根据图形可知，在和中，∴，故答案为：，．28．如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是．【答案】【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握“”证明两个三角形全等是解决问题的关键；根据证明的方法选择添加的条件．先根据线段中点的定义得到，，则用“”证明需要添加．【详解】解：点是，的中点，，，当添加时，．故答案为：．29．如图，．(1)求证：；(2)求度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．（1）利用即可证明；（2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求出，再根据周角定义求解即可．【详解】（1）证明：在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．30．在数学活动课时，我们定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．(1)求证：(2)证明：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；（1）连接与交于点，直接根据证明即可；（2）由得到再证明，得到，根据即可得到．【详解】（1）证明：连接与交于点，在与中，，，，∴，（2）证明：∵，∴，在与中，，，，∴，∴，∵，∴，∴，八、用SAS证明三角形全等（共6小题）31．如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论

①；②；③；④．其中结论正确的是．（把正确结论的序号填在横线上）．【答案】①③④【分析】由，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案；【详解】解：，即：在和中，本选项正确；为等腰直角三角形，，本选项不正确；即,∴，本选项正确；，本此选项正确；故答案为：①③④．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．32．如图，，，添加条件，可以根据“”得到．【答案】【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为．【详解】解：∵，∴，若，则在和中∴，故答案为：．33．如图，点A、、、在一条直线上，，，．(1)求证：；(2)判断、的关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，，见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质等知识点，证得是解题的关键．（1）先根据平行线的性质以及线段的和差可得、，再结合即可证明结论；（2）运用全等三角形的性质可得，；再根据内错角相等、两直线平行即可解答．【详解】（1）证明：∵，∴，∴；∵，∴，即．在和中∴．（2）解：，，理由如下：∵，∴，；∴．34．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，．(1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________．(2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明．【答案】(1)②③(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可；（2）证明即可得出结论．【详解】（1）解：，，又，添加①无法证得；添加②根据可证得；添加③根据可证得；所有可以添加的条件的序号是②③，故答案为：②③；（2）添加②，在与中，)，；添加③，在与中，)，．35．如图，已知点、是内两点，且，，，．(1)求证：≌；(2)延长、交于点，若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．（1）先由推导出，再根据全等三角形的判定定理“”证明；（2）由求得，再由全等三角形的对应角相等求得，则，再由求得的度数．【详解】（1），，，在和中，，∴≌．（2），，，．36．如图，，请添加一个条件，使．(1)你添加的条件是______（只需添加一个条件）；(2)利用（1）中添加的条件，求证：．【答案】(1)（答案不唯一）(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理，垂直的定义．解题的关键是正确寻找判定三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题．（1）由题意得到，推出，，再根据判定定理得添加一个条件为，即可使；（2）根据三角形全等的判定定理证明即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，，由得添加一个条件为，故答案为：（答案不唯一）；（2）证明：，，，即，在和中，，．九、用ASA（AAS）证明三角形全等（共68小题）37．如图，已知，只要再添加一个条件：，就能使．（填一个即可）

【答案】或者（答案不唯一）【分析】本题考查了全等三角形全等的判定，判定两个三角形全等，已知，且由图可知为和的一条公共边，由根据全等三角形全等的判定定理，根据再添加条件即可．【详解】解：所添加条件为：或；①∵，，为公共边，∴；②∵，，为公共边，∴；故答案为：或（答案不唯一）．38．如图，，，．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由可得，即可证明．【详解】解：，，，在和中，，．39．如图，、、三点在同一条直线上，，，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判断及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）利用平行线的性质证出角相等，再通过证出，即可解答；（2）根据全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，，又∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．40．如图，在中，．(1)求证：．(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．（1）由题意可得：，再根据，推出，再利用证明即可；（2）利用全等三角形的性质，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∵，∴；（2）证明：∵，∴，∴．41．如图，点E、B、F、C在同一条直线上，，，(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用证明是解题的关键．（1）根据平行线的性质及线段的和差得出，，利用证明，即可得解；（2）全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）证明：，，，，，，，在与中，，，；（2）解：，，，．42．如图，四边形中，对角线、BD交于点，，点是BD上一点，且，．

(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）证明，可得出结论；（2）根据全等三角形的性质求出答案．【详解】（1）证明：，，即：，在和中，，∴，；（2）解：由（1）得，，，，．43．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，且测得到点B到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得点C到的距离为．(1)判断CE与的数量关系，并证明；(2)求两次摆动中点B和C的高度差DE的长．【答案】(1)．理由见解析；(2)．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可．（1）证即可求解；（2）由题意得：，根据得出，即可求解；【详解】（1）解：．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴（2）解：由题意得：，∵，∴，∴，∴两次摆动中点B和C的高度差DE的长为．44．是经过的顶点的一条直线，，，分别是直线上的两点，连接，，．(1)如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，．求证：；(2)如图②，若直线不经过的内部，，猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)，见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．（1）由题可得，再由全等三角形的判定和性质得出，则，，即可得出．（2）同（1）可得，则，，再由即可得出．【详解】（1）在中，．，，．，．在和中，，，，．，．（2）．证明：，．在中，，．在和中，，，，，，．十、用HL证明三角形全等（共5小题）45．下列说法中错误的是（

）A．三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等B．斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等C．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等【答案】D【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，进行解答，即可．【详解】A、三角形的内角平分线的交点到三边的距离相等，正确，不符合题意；B、斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等，，正确，不符合题意；C、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，，正确，不符合题意；D、一边长相等的两个等腰直角三角形全等，无法确定是直角边还是斜边，无法判定两个三角形全等，错误，符合题意．故选：D．46．在和中，．下列条件中不能确定与全等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟悉各判定定理的内容是关键；由条件知，两个三角形有两条边对应相等，且一边的对角也相等；对于四个选项中的条件，选项A、C按照判定方法即可作出判断，对于选项B，举出反例即可，对于选项D，分为锐角与钝角两种情况，分别过A、作，垂足分别为，先证明，再证明，最后可证明与全等，从而可判定选项D不符合题意；最后可得答案．【详解】解：∵，∴当时，则，∴由可判定与全等；故A不满足题意；当时，存在下面如图情况时，此时与不全等；故B符合题意；当时，则有；∵，∴，∴，∴，∴由可判定与全等；故C不满足题意；当时，且为锐角时，如图，分别过A、作，垂足分别为，则，∵，∴，∴；∵，，∴，∴；∵，∴；当为钝角时，分别过A、作，交的延长线于，同理可得；综上，当时，；故D不满足题意；故选：B．47．如图，在中，点F在边BC上，于点D，于点E，，，若，则．【答案】【分析】由HL可证的，可得，由平角的性质可求解；【详解】，，．在和中，，，，．故答案是．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键．48．如图，点是线段AB的中点，在线段AB的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，进行解答，即可．（1）根据题意，则，等量代换得，根据，，则，根据，则，即可；（2）由（1）可得，，则，根据，即可．【详解】（1）解：证明如下：∵点是线段AB的中点，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．（2）解：证明如下：∵，∴，∵，∴，∴．49．已知：如图，，，垂足分别为，，，与相交于点．(1)求证∶；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识．（1）连接，根据题意证明，根据全等三角形的性质即可证明；（2）由，，，可得，再根据勾股定理求出，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接，，，，，在和中，，，；（2），，，，，．十一、添加条件证明三角形全等（共6小题）50．如图，，，添加下列哪个条件可以推证（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用全等三角形的判定方法进行推理即可．此题主要考查了三角形全等的判定方法，熟知判定两个三角形全等的一般方法：、、、、是解题的关键．【详解】解：，，即，A、添加不能推证，不合题意；B、添加不能推证，不合题意；C、添加，得出，结合，，可利用能推证，符合题意；D、添加不能推证，不合题意；故选：C．51．如图，，不能确定，这个条件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有、、、、，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可；【详解】解：当添加时，结合，可得判定证明，故A不符合题意，当添加时，结合，不能证明，故B符合题意，当添加时，结合，可得判定证明，故C不符合题意，当添加时，结合，可得判定证明，故D不符合题意，故选：B．52．如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．【详解】解：A、由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意；B、由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意；C、由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意；D、由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意；故选：A．53．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，若要使，需要添加的一个条件是．【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理解答，即可．【详解】解：根据题意得：，，添加，可利用角边角证明．故答案为：（答案不唯一）54．如图，在中，是上一点，，，，三点共线，请添加一个条件：，使得．（只添一种情况即可）【答案】或（答案不唯一）【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．【详解】，，．添加条件，可以使得，可得；添加条件，可以使得，可得．故答案为或（答案不唯一）．55．如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？【答案】或【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得t，可得；情况二：当，时，列方程解得t，可得．【详解】解：∵点M、N运动的速度之比为，∴可设，则，，∵，∴使与全等，可分两种情况：情况一：当，时，∵，，∴，解得：，∴；情况二：当，时，∵，，∴，解得：，∴，综上所述，或．十二、结合尺规作图的全等问题（共6小题）56．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（

）A．， B．，C．，， D．，，【答案】D【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可．【详解】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意；B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的；D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意．故选：D．57．如图，已知；，线段，求作．作法；（1）作线段；（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．故选C．58．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的；②当，时，可得到形状唯一确定的；③当，时，可得到形状唯一确定的．其中所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误；②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确；③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确；故选：B．59．如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（

）

A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等【答案】C【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．【详解】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．60．如图，已知点D是射线上一点且(1)过点E作的平行线；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)或【分析】本题考查作平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质是解题的关键．（1）利用尺规基本作图-作一个角等于已知角，在一上，作即可；（2）分情况讨论，当点F在上方时，利用平行线的性质求出，再利用求解即可；当点F在下方时，利用邻补角的性质即可求解．【详解】（1）解：以点O为圆心任意为半径画弧，交、于M、N，半径不变，以点E为圆心画弧，交于点P，再以点P为圆心长为半径画弧形，与前弧相交于F，过作直线即可．如图所示，直线就是所要求作的直线，∵，，∴，∴，∴．（2）解：如图，当点F在上方时，，，．，；当点F在下方时，．61．（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（

）A．

B．

C．

D．（2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．【答案】（1）B；（2）见解析【分析】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解．（2）本题考查将军饮马模型，作关于直线a的对称点，连接与直线a交于点,根据对称的性质和两点之间线段最短，即可得到最短．【详解】（1）解：根据做法可知：，，，∴，故选：B．（2）解：点O的位置如图所示：十三、全等三角形的分类讨论问题（共3小题）62．如图，，，、分别为线段AB和射线BD上的一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，与全等分两种情况，一种情况是，另一种情况是，根据全等三角形对应边相等分别求出点运动的时间，根据运动的时间和速度求出、的长度，再根据全等三角形对应边相等确定的长度．【详解】解：设运动的时间为秒，则，，，则，若，则有，则，解得：，此时；若，则有，则，解得：,此时，综上所述，如果使与全等，则的长为或．故选：D．63．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：(1)________．（用t的代数式表示）(2)当t为何值时，？(3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，2或【分析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，列代数式，解本题的关键是全等三角形性质的掌握．（1）根据点的运动速度可得的长；（2）根据全等三角形的性质即可得出即可；（3）此题主要分两种情况①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，，故答案案为：；（2）当时，，理由：，，，，，，（3）①当时，，，，，，，解得：，，，解得：；②当时，，，，，解得：，，，解得：．综上所述：当或时，与全等．64．（1）提出问题：如图1，在直角△中，，点正好落在直线上，则、的关系为．（2）探究问题：①如图2，在直角△中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．②如图3，将①中的条件改为：在△中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题：如图4，直线经过△的直角顶点，△的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果）【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．【分析】（1）利用平角的定义即可求解；（2）①先证明出，得出，，即可得出结果；②证明出，得出，，即可得出结论；（3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论．【详解】解：（1），，，故答案为：；（2）①，理由如下：直线，直线，，，，，，在△和△中，，，，，，故答案为：；②成立．证明如下：如图2，，，，在△和△中，，，，，；（3）①当在上，在上时，即，，，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．，，；②当在上，在上时，即，，，，，；③当到达，在上时，即，，，，，．综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．十四、旋转模型（共4小题）65．如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，．(1)求证：；(2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______．【答案】(1)证明见解析(2)，【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键．（1）推出，即可求证；（2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解．【详解】（1）解：，，即，，，；（2）解：由题意可得：旋转中心是点，旋转角为或，∴旋转角的度数为．故答案为：，66．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得．【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示：∵，∴，又∵,∴（SAS），，∵，∴，∴，∴，，故答案为：，；拓展探究：成立．理由如下：设与相交于点，如图1所示：∵，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，∴，∴，∴，即，依然成立．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．67．【基本模型】（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解；（2）结论：，证明方法同法（1）．【详解】解：（1）结论：．理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，，，∴，即：三点共线，，∴，∴，，在和中，，，，又，．（2）结论：．理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，同法（1）可得：，，又，．68．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接(1)如图1，点D在线段上，如果，则______度：(2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由；(3)当点D在线段CB的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键．（1）证即可求解；（2）证即可求解；（3）证即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，即：，∵，，∴∵，，故答案为：（2）解：，理由如下：，，又，，即：，在和中，，；（3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下：如图所示：，，即：，在和中，，又，．十五、倍长中线模型（共3小题）69．如图，在中，为的中点．(1)求证：；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系．（1）延长到，使，连接，再由为中点得到，夹角为对顶角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，在三角形中，利用三角形三边关系即可得证；（2）根据与的长，利用由三角形的三边关系，求出的范围即可．【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接．为的中点，，又，，，，；（2）解：，，，，即．70．如图，已知，，是的中线．(1)若，，的取值范围为______；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质；（1）延长至，使，连接，于是证得得，再根据三角形三边之间的关系得，由此可得AE的取值范围；（2）根据（1）证明，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论．【详解】（1）延长至，使，连接．则是的中线，，在与中，，，，在中，，，，故答案为：，（2）∵，，，，．在与中，，，．，．71．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．(1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：．(2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义．（1）由证明三角形全等可得出答案；（2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案．【详解】（1）证明：是的中线，在和中，，；（2）证明：延长至，使，是的中线，，且，，，，，，，，即，且，，.，，．十六、垂直模型（共6小题）72．如图，三点在同一条直线上，，，．(1)求证：；(2)当满足__________时，？【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．（1）根据证明，得出