第21讲 向量的转换与计算（解析版）

一．选择题（共1小题）1．F是抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交【解答】解：抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)，设l1的方程：y=k(x-1)，l2的方程A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)，由，消去y得：k2x2-x+k2=0，由，消去y得：x2-x+1=0，:x3+x4=4k2+2，x3x4=1，ⅆ（9分）:AGHB=(AF+FG)(HF+FB)=|AF||FB|+|FG|=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)当且仅当=4k2，即k=±1时，●有最小值16，ⅆ（12分）故选：C.二．解答题（共14小题）2．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l，焦点为F，M的同心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点作倾斜角为的直线n，交l于点A，交M于另一点B，且(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的相交线l1、l2，设l1与抛物线C相交于点P、Q，l2与抛物线C相交于点G、H，求●的最小值.解：准线l交y轴于N，在RtΔOAN中，抛物线方程是y2=4x，:OM=OB=2，由y2设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，丄l2，:l2的斜率为，:PGHQ=(PF+FG:PGHQ=(PF+FG)(HF+FQ)=PFHF+PFFQ+FG=PFHF+PFFQ+FGHF+FGFQx22x4（1）求抛物线C的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA(O为坐标原点）的直线l，使得直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由.（3）过抛物线C的焦点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线C相交于点M，N，l2与抛物线C相交于点D，E，求M.的最小值.故所求抛物线C的方程为y2=4x，（2）假设存在符合题意的直线l，」直线l与抛物线C有公共点， 55:符合题意的直线l存在，其方程（3）由题意可知：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线l1的斜率为k≠0，则l1的方程为y=k(x1)，联立丄l2，:直线l2的斜率为，方程为，设D(x3，y3)，B(x4，y4).x2(2MD.NE=(MF+FD).(NF+FE)=MF.NF+MF.FE+FD.NF+FD.FE3x23x422:当k=±1时，MD.NE的最小值4．已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1、l2，设l1与抛物线相交于点A、B，l2与抛物线相交于点D、E.（1）求抛物线C的方程；（2）求AD【解答】解1）」点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，点M到抛物线C的焦点F的距离为2，:抛物线C的方程为y2=4x；（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k(x一1).丄lADEB=(AF+FD)(EF+FB)=ADEB=(AF+FD)(EF+FB)=2x23x45．如图，已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于M，N两点，点P的坐标为(1,·)，OP丄MN交MN于点P，OM丄ON，抛物线的焦点为F.（1）求p的值2）记条件（1）所求抛物线为曲线C，过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与曲线C相交于点A，B，l2与曲线C相交于点D，E，求A●E的最小值.【解答】解1）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由OM丄ON，得x1x2+y1y2=02 ·3p,y1y2=8p③ 所以p=2；（2）由（1）知抛物线方程为y2=4x由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是16，:y1，y2=4，丄l2，:l2的斜率为.ADEB=(AF+FD)(EF+FB)=AFFB+FDEF———→ADEB=(AF+FD)(EF+FB)=AFFB+FDEF)(x21)y1y2+(x31)(1x4)y3y42)x1x21y1y2+(x3+x4)x3x41y3y426．已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2———→——与轨迹C相交于点D，E，求AD.EB———→——所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).丄l2，:直线l2的斜率为.设D(x3，y3)，E(x4，y4)故AD.EB=(AF+FD).(EF+FB)=AF.EF+AF.FB+FD.EF+FD.FB故AD.EB=(AF+FD).(EF+FB)=AF.EF+AF.FB+FD.EF+FD.FB1234x23x422当且仅当k2=k2，即k=±1时，AD.EB的最小值为16(2,0)为左焦点，点M()在椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F1作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设L3与椭圆C相交于点A，B．l2与椭圆C相交于点D．E，求●的最小值.【解答】解1）」椭圆C的左焦点F1(—2,0):c=2，右焦点F2(2,0)」点M(2,3)在椭圆上22:椭圆C的方程+=1丄l3y4DFDF1B●(-2-x4，-y4)2y2)-(x3x4+2x3+2x4+4+y2=(ny1-2)(ny2-2)+2ny1-4+2ny22)y1y23y4)=y3y4:ADEB=-[(1+n:ADEB=-[(1+n2)y1y2+n2y3y4]———→——1即n=±1时AD———→——38．设定点F(1,0)，动圆P过点F且与直线x=-1相切.（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程；（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与———→——轨迹C相交于点D，E，求AD———→——【解答】解1）」定点F(1,0)，动圆P过点F且与直线x=-1相切，:依题意知，点P的轨迹C是以F(1,0)为焦点，以直线经为准线的抛物线，:动圆圆心P的轨迹C的方程为y2=4x.（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k(x-1).x2丄l2，:l2的斜率为-.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1.故ADEB=(AF+故ADEB=(AF+FD)(EF+FB)=AFEF+AFFB+FDEF+FDFB=AFEF+AFFB+FDEF+FDFB=|AF||FB|+|FD=|AF||FB|+|FD=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1当且仅当，即k=±1时，AD●EB取得最小值169．已知椭圆C的两个焦点是(0,一)和(0,)，并且经过点抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F.(Ⅱ)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交【解答】解：(I)设椭圆的标准方程为焦距为2c，:椭圆C的标准方程为+x2=1.…（4分）:右顶点F的坐标为(1,0).设抛物线E的标准方程为y2=2px(p>0)，:抛物线E的标准方程为y2=4x.ⅆ（6分）(Ⅱ)设l1的方程：y=k(x-1)，l2的方程，G(x3，y3)，H(x4，y4)，由消去y得：k2x2-x+k2=0，由消去y得：x2-x+1=0，:x3+x4=4k2+2，x3x4=1，ⅆ（9分）:AGHB=(AF+FG:AGHB=(AF+FG)(HF+FB)=AFHF+AFFB+FGHF+FGFB=AFHF+AFFB+FGHF+FGFB=|AF||FB|+|FG|=|AF||FB|+|FG||H=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)|构成等差数列.(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，OP|，是否存在上述直线l使APPB【解答】解：(Ⅰ)依题意，设椭圆C的F2|构成等差数列，|F可得椭圆C的方程为假设存在直线l使APPB当x=1时，同理可得APPB≠1，(ⅱ)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且|OP|=1，得m2=1+k2，OAOB=(OP+PA)(OP+PB)=0，可得x1x2+y1y2=0，将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0，由根与系数的关系得x1+x2=-，x1x2=x1x2+y1y2=0，即为x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，即-5(1+k2)=0，矛盾，故此时的直线l也不存在.综上可知，使APPB=111．如图，已知点S(—2,0)和圆O:x2+y2=4，ST是圆O的直径，从左到右M、O和N依直线PS与TE交于C，|CM|+（1）求点C的轨迹曲线Γ的方程及λ的值；（2）设n是过原点的直线，直线l与n垂直相交于Q点，l与轨迹Γ相交于A，B两点，且请说明理由.【解答】解1）由题意，T(2,0)，M(—1,0)，N(1,0)，①且，②2①②相乘得又点P是圆O上的动点，故14分）此时即λ=时，点C的轨迹曲线E的方程为———→———→———（2）设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，假设使AQQB=1成立的直线l存在，(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，——●———→———→————————:OAOB=(OQ+QA)(OQ+QB)=0即x1x2+y1y2=0，将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2—12)=00=x1x2+y1y2=x1x2+(将m2=1+k2代入⑥并化简得—5(k2+1)=0，矛盾，即此时直线l不存在；(ⅱ)当l垂直于x轴时，满足||=1的直线l的方程为x=1或x=1，———→———:AQQB=4≠:AQQB=4≠1———→———当x=1时，同理可得AQQB≠1———→——————→———综上可知，使AQQB———→———12．椭圆的一个顶点为M(0,)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x一y+1=0的距离为.（1）求椭圆C的方程；（2）设n是过原点的直线，直线l与n垂直相交于点P且与椭圆相交于A、B两点，OP|=1———→——是否存在上述直线l使APPB=1成立？若存在，求出直线l———→——【解答】解1）设椭圆方程为22则椭圆的方程为（2）设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).———→——假设使APPB=1———→——①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，2:OAOB=(OP+PA)(OP+:OAOB=(OP+PA)(OP+PB)」l与C有两个交点，x:x1x2+y1y2=x1x222:m≠0②当l垂直于x轴时，:APPB=413．如图，已知点S(—2,0)和圆O:x2+y2=4，ST是圆O的直径，从左到右M和N依次是直线PS与TE交于C，|CM|+|CN|为定值.（1）求λ的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于Q点、与轨迹E相交于A，B两点的直线，|OQ|=1，是否存在上述直线l，使AQQB=直线PS与TE交于C，故x≠±22①②相乘得要使|CM|+|CN|为定值，则4—=1，解得λ=———→———即λ=时，点C的轨迹曲线———→———（2）设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，假设使AQQB=1成立的直线l存在，(ⅰ)当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于Q点且|OQ|=1，得=1，即m2=2即x1x2+y1y2=0，将y=kx+m代入椭圆方程，得(3+4k2)x2+8kmx+(4m2—12)=0由求根公式可得x1+x2=，④x1x2=0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2将m2=1+k2代入⑥并化简得—5(k2+1)=0，矛盾，即此时直线l不存在，(ⅱ)当l垂直于x轴时，满足|OQ|当x=1时，同理可得●≠1，矛盾，即此时直线l也不存在———→———综上可知，使AQQB=1———→———14．已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(·2+1)(Ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，OP|=1，是否存在上述直线l使AP.PB=1成立？若存在，求出直线【解答】解：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，所以a=2·,c=2，又a2=b2+c2，因此b故椭圆的标准方程为=1（6分）———→——假设使AP.PB=1成立的直线———→——由l与n垂直相交于P点且|OP|=1得=1，即m2