第18讲 向量的数量积问题（原卷版）

一．解答题（共16小题）1．已知圆O:x2+y2=2交抛物线C:y2=2px(p>0)的准线于M，N两点(M点在上方（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若MA丄MB，求直线l的斜率.2．已知抛物线C的焦点在x轴上，顶点在原点且过点p(2,1)，过点(2,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作y轴的垂线交C于点N.（1）求抛物线C的方程；（2）是否存在直线l，使得以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.（1）求抛物线C的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA(O为坐标原点）的直线l，使得直线OA与l的距离等于若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由.（3）过抛物线C的焦点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线C相交于点M，N，l2与抛物线C相交于点D，E，求M--.-的最小值.4．已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点，经过点D(2,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x=—2于点M，N（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知O为原点，求证：上MON为定值.5．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1)，过点F作直线l交抛物线C于A，B两点．椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率（1）分别求抛物线C和椭圆E的方程；（3）椭圆E上是否存在一点M/，经过点M/作抛物线C的两条切线M/A/，M/B/(A/，B/为切点使得直线A/B/过点F？若存在，求出点M/及两切线方程，若不存在，试说明理由.6．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2,)在椭圆C上，（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y=kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N，且OM丄ON(O为坐标原点证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程.7．设A，B为双曲线的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，ΔAMN为等腰直角三角形.（1）求双曲线C的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点F点距离的最小值为3，(ⅱ)已知直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过x轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，已知M，若为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由.9．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的左、右准线与其一条渐近线y=2x的交点分别为A，B，四边形AF1BF2的面积为4.（1）求双曲线C的方程；10．已知椭圆的离心率为，以E的四个顶点为顶点的四边形的面积为43.(Ⅱ)设A，B分别为椭圆E的左、右顶点，P是直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，试探究，点B是否在以MN为直径的圆内？证明你的结论. 11．已知椭圆过点且离心率e为.（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.12．已知圆G:x2+y2xy=0，经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点(m，0)(m>a)倾斜角为3的直线l交椭圆于C，D两点.（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围.在该椭圆上.(Ⅱ)设P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：ΔMBP为钝角三角形.14．设A，B分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线.(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内.15．设A，B分别为椭圆的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x=4是它的右准线.(Ⅱ)设P为椭圆右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线BP于椭圆相交于两点B，N，求证：