机械优化设计课后习题答案

一级检验员

二级检验员选择一组设计变量X=[x一级检验员

二级检验员选择一组设计变量X=[x1x2x3]T=[d簧丝直径d>0.5，弹簧中径10<D2G50。注：弹簧的应力与变形计算公式如下8FDt=k2s兀d3k=1十—,

s 2cc=D(旋绕比)d8FD3人= n-2Gd4第一章习题答案1-1某厂每日(8卜制)产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件/h,正确率为98%,计时工资为4元/h；二级检验员标准为：速度为15件/h，正确率为95%,计时工资3元/h。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省,该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？解：(1)确定设计变量；「xI根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X= 1x2(2)建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数,即：f(X)=8*4*x1+8*3*x2+2(8*25*0.02x1+8*15*0.05x2)=40x1+36x2(3)本问题的最优化设计数学模型：minf(X)=40x1+36x2X£R3°s.t. g1(X)=1800-8*25x1+8*15x2W0g2(X)=x1-8W0g3(X)=x2-10W0g4(X)=-x1W0g5(X)=-x尸1-2已知一拉伸弹簧受拉力F，剪切弹性模量G，材料重度r，许用剪切应力[t],许用最大变形量[九]。欲D2n]t使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数n>3,试建立该优化问题的数学模型。解：(1)确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求取设计变量为X根据该优化问题给定的条件与要求取设计变量为X=(2)建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数,即：九2f(X)=——rx2xxJ 4 123(3)本问题的最优化设计数学模型：九2minf(X)=彳ri"2x3 X£R3・s.t.gs.t.g1(X)=0.5-x1W0g2(X)=10-x2W0g3(X)=x2-50<0g4(X)=3-x3<0“x、8Fx L]g(X)=(1+―)——2一七」<05 2x兀x321g6(g6(X)8Fx3x= 2-3Gx41-k」<01-3某厂生产一个容积为8000cm3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这底面半径r底面半径r高h解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=表面积为目标函数，即：minf(X)=兀x12+2兀x1x2考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：minf(X)=兀x12+2兀x1x2X=[x1,x2]TeR2s.t. g1(X)=-x1<0g2(X)=-x2<0h1(X)=8000-兀x12x2=01-4要建造一个容积为1500m3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。解：(1)确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f(X)=8(根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X=建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f(X)=8(x1x3+x2x3)+6x1x2+12x1x2建立数学模型的约束函数；1)仓库的容积为1500m3。即：1500-x1x2x3=02)仓库宽度为高度的两倍。即：x2-2x3=03)各变量取值应大于0，即：x1>0,x2.>0.，贝U-x1<0,-x2<0(4)本问题的最优化设计数学模型：minf(X)=8(x1x3+x2x3)+18x1x2X£R3.x1x2x3s.t. g1(X)=-x1W0g2(X)=-x2W0g3(X)=-x3W0h1(X)=1500-x1x2x3=0h2(X)=x2-2x3=01-5绘出约束条件：x2+x2<8； —2x+x2<8；xx<4所确定的可行域1 2 1 2 121-6试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量：X1=[132]T；X2=[234]T；X3=[414]T。第二章习题答案2-1请作示意图解释：X(k+1)=X(k)+a(k)S(k)的几何意义。2-2已知两向量P=[12—2 0]t,P=[2021]J求该两向量之间的夹角。。1 22-3求四维空间内两点(1,3,—1,2)和(2,6,5,0)之间的距离。2-4计算二元函数f(X)=x3—xx2+5x—6在X(0)=[11]T处，沿方向S二[1—2]T的方向导数f1(X(0))2-4和沿该点梯度方向的方向导数f'v(X(0))。2-5已知一约束优化设计问题的数学模型为minf(X)=(x—3)2+(x—4)2

1 2X=[x,x]tg(X)=x+x—5<0g(X)=x—x—2.5<0g2(X)=—1x1<20g4(X)=-x2<0求：(1)以一定的比例尺画出当目标函数依次为f(X)=1、2、3、4时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。(2)找出图上的无约束最优解X1*和对应的函数值f(X1*)，约束最优解X2*和f(X2*)；(3)若加入一个等式约束条件：h(X)=x—x=0求此时的最优解X*，f(X*)。3 3解：下图为目标函数与约束函数(条件)设计平面X1OX2。其中的同心圆是目标函数依次为f(X)=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。

由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：X1*=[3,4]t函数值 f(X1*)=0。而约束最优解应在由约束线g1(X)=0,g2(X)=0,g3(X)=0,g4(x)=0,组成的可行域(阴影线内侧){x+x—5=01 2 ，解得x—x+1=012X2*=[2，3]。函数值 f(X2*)=(2-3)2+(3-4)2=2。加入等式约束条件，则X3*为可行域上为h1(X)=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：Ix「x2―5=0， 解得X&*=[5/2，5/2]。TOC\o"1-5"\h\zIx—x=0 312函数值 f(X3*)=(5/2-3)2+(5/2-4)2=2.5。2-6试证明在(1,1)点处函数f(X)=x4-2x2x+x2+x2-2x+5具有极小值。1 12 1 2 1证明：求驻点：fX=4x3-4xx+2x-2，fX)=-2x2+2xd.x 1 12 1 d,x 1 212由fX=0,fX2=0，得：驻点x*=[11]T，极值f(x*)=4d.x d.x12S2fS2f(X)d.x21二12x2-4x+2，f!1 2 SxSx12S2f(X)=-4x/2f(X)=2SxSx 1 Sx221 2海赛矩阵H(X)=各阶主子式：10-海赛矩阵H(X)=各阶主子式：10-4-4aa=10>0,1111 a21a12a2210>0H(X)是正定的，所以驻点必定是极小点。故在(1,1)点处函数f(X)具有极小值。2-7求函数f(XX3x12+2x22-2x1-x2+10的极值点，并判断其极值的性质。解：Sf(X)Sx1Sf(X)Sx2-1由由fX)=0,fX)=0，Sx Sx12得：极值点x*=[1/31/4]T，极值f(x*)=229/24d.x21d.xd.x12d.xd.x2dxx22海赛矩阵H(X)=0一4各阶主子式：a11=6>0,11a2112a22H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。得：极值点X*=[1/31/4]t，极值f(x*)=229/242-8试判断函数f(X)=2x2+x2-2xx+x+1的凸性。1 2 12 1df(X) , .解：—=4x1-2x2+1，1df(X)d.x2d2f(x)__d2f(X)___d2f(X)___d2f(X)

5, 2, 2,

dx2 dxdx dxdx dx21 1 2 2 1 2海赛矩阵H(X)各阶主子式:aa=5>0,1111a21a12a22>0H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。2-9试用向量及矩阵形式表示f2-9试用向量及矩阵形式表示f(X)=x2+x2-10x-4x+60并证明它在D={x,x_g<x,<g,i=1,2)上是一个凸函数。解：唳=TO+2x172，12-x1d2f(x),d2f(x)1d2f(x).

=2, 二-1， 二2dx21dxdx12dx22海赛矩阵H(X)=-1一各阶主子式：a11=2>0,11a21a12a22>0H(X)是正定的，所以，f(X)为凸函数。2-10现已获得优化问题minf(X)=4x-x2-12s.tg(X)=x2+x2-25<0g(X)=x2+x2-10x-10x+34<0g(X)=-(x-3)2-(x-1)2<0g4(X)=-〈<0 2g5(X)=-x2<0的一个数值解X=[1.000,4.900]T，试判定该解是否上述问题的最优解。第三章习题答案3-1函数f(X)=3x3-8x+9，当初始点分别为x0=0及x0=1.8时，用进退法确定其一维优化的搜索区间，取初始步长T=0.1。0解：当x0=0时⑴取T=T0=0.1,a=0,A2=T=0.1F1=F(A1)=f(X(0))=9X=X(0)+A2S=0.1F=F(A)=f(X(0)+AS)=8.20322 2比较F1、F2，因F1>F2，所以应作前进搜索。⑵步长加倍：T=2T=0.2,A2=A2+T=1+2=0.3F1=F2=8.203X=X(0)+A2S=0.3F=F(A)=f(X(0)+AS)=6.68122 2再比较F1、F2，因F1>F2，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的A1点。所以：A1=A2-T=0.3-0.2=0.1。(3)步长加倍：T=2T=0.4,A2=A2+T=0.3+0.4=0.7F1=F2=6.681X=X(o)+A2S=0.7F2=F(A2)=f(X(o)+A2s)=4.429.比较F1、F2，因F>F2，所以还应再向前搜索，A1=A2—T=0.7—0.4=0.3。(4)步长加倍：T=2T=0.8,A2=A2+T=1.5F1=F2=4.429X=X(0)+A2S=1.5F2=F(A2)=f(X(0)+A2S)=7.125.比较F1、F2，因F1<F2。已找到具有“高一低一高”特征的区间即：a1=A1=0.3时，F(a1)=6.681a2=A2—T=0.7时，F(a2)=4.429a3=A2=1.5时，F(a3)=7.125。所以，F(a1)>F(a2)<F(a3)，单峰区间为：A=a1=A1=0.3,B=a3=A2=1.5。当％0=1.8时同理可得：A=a=A=—1.5,B=a=A=—0.33-2用黄金分割法求函数F(a)=a2+2a在区间［-35］中的极小点，要求计算到最大未确定区间长度小于0.05。解：(1)在初始区间［a,b］=［-3,5］中取计算点并计算函数值a(1)=b—0.618(b—a)=0.056;f1=f(a(1))=0.115136a(2)=a+0.618(b—a)=1.944;f=f(a⑵)=7.6672(2)比较函数值，缩短搜索区间因有f1<f2，则b=a(2)=1.944;f2=f(a(2))=0.115136a(1)=b—0.618(b—a)=—1.11139;f1=f(a(1))=—0.98759(3)判断迭代终止条件b一a>£不满足迭代终止条件，比较函数值f1、f2继续缩短区间。将各次缩短区间的有关计算数据列于下表。表黄金分割法的搜索过程区间缩短次数aba⑴a⑵f1f(原区间)-350.0561.9440.1157.6671-31.944-1.1110.056-0.9870.1152-30.056-1.832-1.111-0.306-0.9873-1.8320.056-1.111-0.665-0.987-0.8884-1.832-0.665-1.386-1.111-0.851-0.987(5-8)略9-1.11122-0.94097-1.046-1.006-0.997867-0.9999643-3用二次插值法求函数F(a)=8a3—2a2—7a+3的最优解。已知搜区间为[02],选代精度£=0.01。解：采用Matlab编程计算得：a=0.62073-4函数f(X)=%2-%%+%2+2%-4%，取初始点为X(0)=[22]t，规定沿X⑼点的负梯度方向进行一次1 12 2 1 2一维优化搜索，选代精度:£%=10-5,£f=10-6。(1)用进退法确定一维优化搜索区间；(2)用黄金分割法求最优化步长及一维优化最优值；(3)用二次插值法求最优化步长及一维优化最优值；(4)上述两种一维优化方法在求解本题时，哪一个种方法收取更快，原因是什么？解：最优点X*=[02]J最优值f(X*)=-4二次插值法更快3-5求F(a)=(a+1)(a-2)2的极小点，选代精度£=0.1,£=0.1。要求：%f(1)从a=0出发，T0=0.1为步长确定搜索区间；(2)用黄金分割法求极值点；(3)用二次插值法求极值点。解：(1)①由已知条件可得，匕二。二0,F1二F(a1)=4a=a+T=0.1F2=F(a2)=(a2+1)(a2-2)2=(0.1+1)(0.1-2)2=3.971因为F<勺，应作前进搜索。②步长加倍，T=2T0=0.2,F=F=3.971，a=a+T=0.1+0.2=0.3F2=F(a2)=(a2+1)似2-2)2=(0.3+1)(0.3-2)2=3.757因为F<F1，所以还应再向前搜索，为此应舍去上一次的\点。所以：a1=a2=0.3③步长加倍，T=