工程力学I课件：应力状态分析

应力状态分析6.1应力状态6.2二向应力状态分析的解析法6.3二向应力状态分析的图解法6.4三向应力状态简介6.5广义胡克定律6.1应力状态一、应力状态的概念横截面上的正应力分析横截面上的切应力分析横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一截面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。横截面上的应力分析斜截面上的应力分析

过同一点的不同方向的截面上的应力各不相同，此即应力的面的概念。所以，讲到应力，必须指明是哪一点在哪一方向面上的应力。应力状态：受力构件内的某点在不同方位截面上的应力的集合，称为该点的应力状态。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明二.一点应力状态的描述1、单元体当各边边长充分小时，六面体便趋于宏观上的“点”。这种六面体称为“微单元体”，简称“单元体”。2.单元体性质（1）单元体内每一个面上，应力均匀分布。（2）单元体内相互平行的截面上应力相同，且同等于过该

点的平行面上的应力。3、单元体的取法为了确定一点的应力状态，需要确定代表这一点的单元体的三对互相垂直的面上的应力。因此，在取单元体时，应尽量使其三对面上的应力容易确定。三对面中，一对面为杆的横截面，另外两对面为平行于杆表面的纵截面，三对面之间的间距分别为

dx、dy

、dz。矩形截面杆例1：例2：思考：4、5两点的应力状态如何表示？圆截面杆三对面中，一对为横截面（间距为dx

），一对为同轴圆柱面（间距为dr

），另一对为过杆轴线的纵截面（夹角为dθ

）。例3：按上述方法取得单元体后，即可由杆件横截面上应力分析的知识及切应力互等定理确定单元体各个面上的应力。当单元体三对面上的应力已知时，就可以应用截面法和平衡条件，求得过该点的任意方位面上的应力。因此，通过单元体及三对互相垂直的面上的应力，可以描述一点的应力状态。思考：上述三例中，若已知每一例子中杆件的几何尺寸，试确

定相应单元体中的应力分量。三.主平面与主应力1、主平面单元体中切应力为零的平面。2、主应力主平面上的正应力。3、主应力排序规定：按代数值大小排序。可以证明：过受力构件内任意一点均可找到三个相互垂直的

主平面，因而受力构件内的任一点都一定存在着

三个主应力，分别记作σ1、σ2

、σ3。四.应力状态的分类1、单向应力状态

——三个主应力中仅有一个主应力不为零。2、二向（平面）应力状态

——三个主应力中仅有一个主应力为零。纯剪切应力状态3、三向（空间）应力状态

——三个主应力均不为零。简单应力状态——单向应力状态。复杂应力状态——二向和三向应力状态。6.2二向应力状态的分析的解析法1、应力符号的规定切应力的下标作用面的法线切应力的方向一、斜截面应力的一般公式正应力以拉应力为正、压应力为负切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时为正，反之为负2、截面方位角正负号的规定yx由x正向逆时针转到截面的外法线n的正向的

角为正;反之为负。3.斜截面上的应力已知平面应力状态单元体上的应力

x、

y、

xy、

yx。求任意

截面上的应力

、

。

平衡方程——参加平衡的量——应力乘以其作用的面积σxσyτxyτyxxy

znαxσαταdAα

n

t平衡对象——用

斜截面截取的微元楔形体根据切应力互等定理,txy和tyx在数值上相等，化简得：二.应力极值与主应力根据数学中关于求函数极值的方法，将上式对a求导：若a=a0时，能使导数。1、正应力的极值及其所在截面的方位则在a0所确定的截面上正应力为最大值或最小值。求出相差p/2的两个角度a0和a'0，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。正应力极值思考：如何确定a0和a'0与σmax和σmin的对应关系？结论主应力即为正应力极值；(2)主平面即为正应力极值所在截面。思考：如何确定三个主应力σ1、σ2和σ3与σmax和σmin的对应关系？2、主应力的值及主平面的方位3.切应力极值及其所在截面根据数学中关于求函数极值的方法，将上式对a求导：若a=a1时，能使导数。则在a1所确定的截面上切应力为最大值或最小值。求出相差p/2的两个角度a1和a'1，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在平面。正应力极值所在的平面:即：切应力极值所在的平面与主平面的夹角为45°切应力极值所在的平面:三.两相互垂直平面上应力的关系若以代换上式中的a，化简后可得：结论：通过受力物体内一点任意两相互垂直平面上的正应

力之和为一常量。故有：例6-1单元体各面上的应力如图(a)所示(应力单位为MPa)。试求：(1)ab斜截面上的正应力和切应力；(2)主应力的值；(3)主平面的方位并标示于图中；(4)切应力的极值。解：1.求ab斜截面上的正应力和切应力。取水平轴为x轴，竖直轴为y轴。则根据应力正负号规定可知：故ab斜截面上的正应力和切应力分别为：故ab斜截面上的正应力和切应力的方向分别如图所示。2.求主应力的值。根据主应力的定义可知，该应力状态的主应力分别为：3.求主平面的方位角。经验算：故主平面的方位及主应力的方向如图(b)所示。4.求切应力的极值。例6-2直径为D的圆轴两端受一对大小为M的力偶作用，如图所示，计算圆轴表面上点A的主应力及其方向。解：1.分析点A的应力状态。圆轴的外表面没有应力，横截面上有切应力2.求主应力的值。根据主应力的定义可知，该应力状态的主应力分别为：3.求主平面的方位角。，

6.3二向应力状态的分析的图解法一.应力圆的概念两式平方求和若以sa，ta

为变量，则为上式圆方程圆心:半径:

圆周上任一点的横、纵坐标分别代表所研究单元体内某一截面上的正应力和切应力，故称应力圆，或莫尔圆。二、应力圆与单元体的对应关系由应力圆的概念及应力圆方程可推测：应力圆上某点的横纵坐标与单元体中某斜截面上的正应力和切应力相对应，即点与面相对应；应力圆上圆心角为2a的两个点，分别与单元体中夹角为的两个斜截面相对应，即二倍角对应；若应力圆上从点A顺时针（逆时针）转过圆心角2a到点B，则在单元体上，点A对应的截面也顺时针（逆时针）经过a角转到与点B对应的截面位置，即转向对应。三、圆的画法1.确定点D1

(sx,txy)2.确定点D2

(sy,tyx)tyx=－txy3.连接D1D2与s

轴交于点C4.以C为圆心，CD1（CD2）为半径画圆。圆心:半径:即证明了以D1D2为直径所作的圆即为原单元体所对应的应力圆。确定单元体对应的应力圆后，则只需在应力圆中将半径

CD1绕圆心旋转2α角（与α角同转向），得点E，记点E的坐标为（σE，τE）。则只需证明：按前述推测：要求单元体中α斜截面上的应力，?同理：结论：应力圆上点的坐标和单元体中斜截面上的应力之间有着一一对应的关

系，应力圆上两点沿圆弧所对圆心角2α，对应着单元体两截面外法线

之间的夹角α，且基准一致、转向相同。四.应力圆的应用1、利用应力圆求单元体中任一斜截面上的应力利用应力圆求任一斜截面上的应力的方法，在上述关于应力圆上点的坐标和单元体中斜截面上的应力之间的对应关系的证明中已经有详细的说明，在此不再赘述。在实际应用中，如果按比例作图，则单元体中任一斜截面上的应力可以直接从图中量得结果。2、利用应力圆求正应力的极值（主应力）注意A1,A2两点这两点的横坐标即分别为最大、最小正应力。这两点的横坐标也代表单元体的主应力（两点的纵坐标皆为零）。注意：主应力的序号与正应力极值之间的关系需由应力圆与坐

标原点之间的位置关系确定。3、利用应力圆主平面的方位根据转角两倍关系确定主平面所在的位置。显然：4、利用应力圆求面内最大切应力注意G1,G2两点这两点的切应力为极值切应力极值所在的方位和主应力所在的方位成45°角。注意：这里切应力极值表示的是垂直于xy平面的截面上的最大切应力，并不

代表整个单元体在空间任意截面上的最大切应力（参见7.4节）。例6-4单元体各面上的应力如图(a)所示(应力单位为MPa)。试求：(1)斜截面上的应力；(2)主应力的值；(3)主平面的方位并标示于图中；(4)切应力的最大值。选定比例尺(1)斜截面上的应力解：按比例画出图示单元体对应的应力圆。由选定比例尺量得：故斜截面上的应力如图所示。(2)主应力的值(3)主平面的方位故主平面的方向如图所示。(3)最大切应力的值五.特殊应力状态的应力圆1、单向应力状态下的应力圆:2、纯剪切应力状态的应力圆:3、二向等拉（压）应力状态下的应力圆6.4三向应力状态简介1、三向应力状态三个主应力均不为零的应力状态。yxz2、三向应力状态主单元体中三组特殊截面上的应力•三向应力圆平行于s1的截面平行于s2的截面平行于s3的截面平行于s1的截面平行于s1的截面所对应的应力圆平行于s2的截面平行于s2的截面所对应的应力圆平行于s3的截面所对应的应力圆平行于s3的截面三组特殊截面上的应力都与相应的应力圆上的点的坐标相对应。对于不平行于任一主应力的任意截面，其截面上的应力都落在三个应力圆之间的部分（图示阴影区域）。图示应力圆称为三向应力圆。3、三向状态的应力极值平行于主应力s1的一类截面：平行于主应力s3的一类截面：可见，三向应力状态的最大切应力正应力极值切应力极值平行于主应力s2的一类截面：思考：三向应力圆中的G1、G2、G3三点各自对应的单元体中的截面位置。6.5广义胡克定律

x——轴向（x方向）线应变

y——横向（y方向）线应变

z——横向（z方向）线应变实验研究表明：

各向同性材料、单向应力状态下，当杆件的变形在线弹性范围内时，其轴向应变和横向应变存在如下的比例关系：其中：

——泊松比。泊松比是一个与材料相关的无量纲的弹性常数。拉（压）胡克定律：横向与纵向应变间的关系:剪切胡克定律:最一般情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量，如图所示:根据切应力互等定理数值上相等则独立的应力分量只有六个。一、知识回顾三向应力状态的一般单元体：对于各向同性材料，小变形及线弹性范围内，线应变只和正应力有关，与切应力无关；而切应变只和切应力有关，与正应力无关。二、知识准备实验研究结果：因此，三向应力状态可看作是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。叠加原理的实用条件：(1)各向同性材料；(2)小变形；(3)变形在线弹性范围内。三、广义胡克定律三向应力状态（非主单元体）=++++

利用同样的方法可以求得y和z方向上的线应变。最后可得:切应变和切应力之间，与正应力无关，因此:以上被称为一般应力状态下的广义胡克定律。三向应力状态（主单元体）55/95

对于三向应力状态的主单元体，三个主应力方向上的线应变分别为：e1