2024年四川省绵阳市涪城区中考数学三诊试卷

第1页（共1页）2024年四川省绵阳市涪城区中考数学三诊试卷一、单选题1．实数﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B． C．3 D．﹣2．今年端午节假期第一天，国内游客人数达3050万人次，将数据“3050万”用科学记数法表示为（）A．3.05×106 B．30.5×106 C．3.05×107 D．3.05×1083．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中（）A． B． C． D．4．下列几何体中，其主视图为三角形的是（）A． B． C． D．5．小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71（）A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、676．估算的运算结果应是（）A．6＜x＜7 B．7＜x＜8 C．8＜x＜9 D．无法确定7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，1）和点（3，0）．关于这个二次函数的描述：①a＜0，c＜0；②当x＝2时；③当x＞3时，y的值小于0．正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），则旗杆PA的高度为（）A． B． C． D．9．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或310．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，将△ABC折叠，使点A与点D重合，则sin∠BED的值是（）A． B． C． D．11．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点（）A．2 B．4 C．8﹣2 D．212．如图△ABC中，，DE⊥AC，若CE＝5，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是（）A． B． C． D．二、填空题13．因式分解：a﹣9a3＝．14．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，则∠BCD的度数为°．15．如果方程组的解也是方程3x+my﹣8＝0的一个解，则m的值为．16．在直角三角形ABC中，已知AB＝6，AC＝8，如果把该三角形绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是．17．如图，点A的坐标为（3，），点B的坐标为（6，0），点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为．18．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，当D′F⊥CD时，若DF＝6．三、解答题19．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．20．“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级；B：1小时﹣﹣1.5小时；C：1.5小时﹣﹣2小时，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是；（4）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈21．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝10，，求BC的长．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，点O是线段CH的中点，AC＝4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PAC是等腰三角形？若存在，请求出P点坐标，请说明理由．23．某茶叶销售商计划将120罐茶叶按甲、乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，乙种礼品盒的数量为y盒．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒的数量至少要多少盒？24．已知抛物线y＝ax2﹣4x+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B两点（1）求抛物线解析式；（2）若点P为抛物线上点，当PB＝PC时，求点P坐标；（3）若点M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，求点M坐标．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣8，0），B（﹣5，4），BC∥x轴，点D与点A关于y轴对称，连接CD．（1）若令∠CDA＝α，证明：∠BAD＝2α；（2）如图1，点M为线段BC上的点，N为射线CD上点，BM＝2，请求出点N坐标；（3）如图2，点E在线段AB上，其横坐标为﹣6，与CD交于点F，在EF延长线上有动点P，且∠APQ＝∠ABC，若，求的值（用含t的代数式表示）．

2024年四川省绵阳市涪城区中考数学三诊试卷参考答案与试题解析题号1234567891011答案CCCDCCBAABA题号12答案C一、单选题1．实数﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B． C．3 D．﹣【解答】解：实数﹣3的绝对值是：3．故选：C．2．今年端午节假期第一天，国内游客人数达3050万人次，将数据“3050万”用科学记数法表示为（）A．3.05×106 B．30.5×106 C．3.05×107 D．3.05×108【解答】解：3050万＝30500000＝3.05×107，故选：C．3．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中（）A． B． C． D．【解答】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，选项A、B，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，故选：C．4．下列几何体中，其主视图为三角形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、圆柱的主视图为矩形，∴A不符合题意；B、正方体的主视图为正方形，∴B不符合题意；C、球体的主视图为圆形，∴C不符合题意；D、圆锥的主视图为三角形，∴D符合题意．故选：D．5．小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的8名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71（）A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、67【解答】解：因为68出现了3次，出现次数最多．将这组数据从小到大排列得到：66，67，68，68，71，所以这组数据的中位数为68．故选：C．6．估算的运算结果应是（）A．6＜x＜7 B．7＜x＜8 C．8＜x＜9 D．无法确定【解答】解：＝＝＝，∵64＜75＜81，∴，故选：C．7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，1）和点（3，0）．关于这个二次函数的描述：①a＜0，c＜0；②当x＝2时；③当x＞3时，y的值小于0．正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：①如图所示，抛物线开口方向向下．对称轴在y轴的右侧，则a，即b＞0．抛物线与y轴交于负半轴，则b＜0．综上所述，a＜3，c＜0．故①正确；②∵抛物线与x轴另一交点横坐标0＜x＜4，∴抛物线的顶点横坐标＜x＜2．∵抛物线开口向下，且过点（1，∴点（1，2）关于对称轴对称的点的横坐标大于2，∴当x＝2时，y的值大于2；③观察函数图象，可知：当x＞3时，故③正确；故选：B．8．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），则旗杆PA的高度为（）A． B． C． D．【解答】解：设PA＝PB＝PB′＝x，在RT△PCB′中，sinα＝，∴＝sinα，∴x﹣1＝xsinα，∴（2﹣sinα）x＝1，∴x＝．故选：A．9．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个实数根x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【解答】解：∵x1，x2是方程x6﹣（2m﹣1）x+m7＝0的两实数根，∴Δ＝b2﹣6ac＝[﹣（2m﹣1）]4﹣4m2＝2﹣4m≥0，∴，∴，∵（x5+1）（x2+6）＝x1x2+（x4+x2）+1＝4，∴m2+2m﹣8+1＝3，解得：m＝6（舍）或m＝﹣3；故选：A．10．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，将△ABC折叠，使点A与点D重合，则sin∠BED的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，∴∠BED＝∠CDF，设CD＝1，CF＝x，∴DF＝FA＝2﹣x，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF7+CD2＝DF2，即x3+1＝（2﹣x）7，解得：x＝，∴sin∠BED＝sin∠CDF＝＝．故选：B．11．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点（）A．2 B．4 C．8﹣2 D．2【解答】解：∵P在直线y＝﹣x+8上，∴设P坐标为（m，8﹣m），连接OQ，OP，得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP5＝PQ2+OQ2，∴PQ8＝m2+（8﹣m）4﹣＝2m2﹣16m+52＝4（m﹣4）2+20，则当m＝3时，切线长PQ的最小值为．故选：A．12．如图△ABC中，，DE⊥AC，若CE＝5，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BE的长度是（）A． B． C． D．【解答】解：如图，作BF⊥AC于点F，则，设BF＝x，则FC＝2x，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠AFB＝90°，又∵∠DAE＝∠BAF，∴△AED∽△AFB，∴，∴，∴，∵△BEC的面积是△ADE面积的10倍，，即，整理得x2+6x﹣10＝0，∴（x+5）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣8（舍），x2＝2，经检验，x＝3是原方程的解，∴BF＝2，EF＝5﹣2×2＝1，由勾股定理得，故选：C．二、填空题13．因式分解：a﹣9a3＝a（1+3a）（1﹣3a）．【解答】解：a﹣9a3＝a（8﹣9a2）＝a（5+3a）（1﹣2a），故答案为：a（1+3a）（2﹣3a）．14．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，则∠BCD的度数为40°．【解答】解：如图，延长ED与BC相交于点F，∵AB∥DE，∴∠BFD＝∠ABC＝75°，∴∠CFD＝180°﹣75°＝105°，∵∠CDE＝145°，∴∠CDF＝180°﹣145°＝35°，在△CDF中，∠BCD＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝180°﹣35°﹣105°＝40°．故答案为：40．15．如果方程组的解也是方程3x+my﹣8＝0的一个解，则m的值为2．【解答】解：，把②代入①得：5x+3（2x﹣2）＝7，解得：x＝2，把x＝7代入②得：y＝2×2﹣7＝1，∴原方程组的解为．∵方程组的解也是方程5x+my﹣8＝0的一个解，∴7×2+m﹣8＝4，解得：m＝2，∴m的值为2．故答案为：7．16．在直角三角形ABC中，已知AB＝6，AC＝8，如果把该三角形绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是216．【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，∴，由题意，得：圆锥的底面圆的半径为6，设展开后扇形的圆心角的度数为n°，则：，解得：n＝216；故答案为：216．17．如图，点A的坐标为（3，），点B的坐标为（6，0），点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（，）．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，∵A（3，），∴OC＝7，AC＝，∵OB＝6，∴BC＝OC＝6，则tan∠ABC＝＝，由旋转可知，BO′＝BO＝6，∴＝＝，设O′D＝x，BD＝6x，由O′D2+BD2＝O′B4可得（x）2+（5x）2＝65，解得：x＝或x＝﹣，则BD＝3x＝，O′D＝，∴OD＝OB+BD＝4+＝，∴点O'的坐标为（，），故答案为：（，）．18．如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，当D′F⊥CD时，若DF＝6．【解答】解：如图，延长A′D′，设BC与D′F交于点O，∵菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，∴BC＝CD，∠BCD＝∠A＝60°，∵∠A′D′F＝∠D＝120°，D′F＝DF＝6，∵D′F⊥CD，∴∠BOD′＝∠COF＝90°﹣60°＝30°，∴∠OBD′＝180°﹣∠A′D′F﹣∠BOD′＝30°，∴∠M＝∠BCD﹣∠OBD′＝30°，∴∠M＝∠OBD′，∴BC＝CM，∴CM＝BC＝CD，设CF＝x，则CM＝BC＝CD＝DF+CF＝6+x，∴MF＝CF+CM＝3+2x，在Rt△D′MF中，D′M＝2D′F＝12，∴，∴，解得，即，故答案为：．三、解答题19．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．【解答】解：（1）原式＝＝＝8；（2）原式＝＝＝＝＝x+6，将x＝﹣1代入得：原式＝﹣7+6＝5．20．“切实减轻学生课业负担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级；B：1小时﹣﹣1.5小时；C：1.5小时﹣﹣2小时，请根据图中信息解答下列问题：（1）该校共调查了200学生；（2）请将条形统计图补充完整；（3）表示等级A的扇形圆心角α的度数是108°；（4）在此次调查问卷中，甲、乙两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈【解答】解：（1）共调查的中学生数是：80÷40%＝200（人），故答案为：200；（2）C类的人数是：200﹣60﹣80﹣20＝40（人），补图如下：（3）根据题意得：α＝×360°＝108°，故答案为：108°；（4）设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B6，B2，一共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有7种，∴P（2人来自不同班级）＝＝．21．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝10，，求BC的长．【解答】（1）证明：由圆周角定理可得：∠CAD＝∠CBD，∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．（2）解：连接OC、CD，OD交BC于点F，由圆周角定理可得：∠BAD＝∠BCD，由（1）知∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵AB为直径，BD＝ED，∴∠ADB＝90°，则△BDE是等腰直角三角形．∵，BE2＝BD2+ED2＝2BD5，∴．∵AB＝10，AB5＝BD2+AD2，∴OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t，在Rt△BOF和Rt△BDF中，OB2﹣OF5＝BD2﹣DF2＝BF4，即：，解得t＝6，即OF＝3，∴，∴BC＝8．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，点O是线段CH的中点，AC＝4．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使三角形PAC是等腰三角形？若存在，请求出P点坐标，请说明理由．【解答】解：（1）∵AC＝4，cos∠ACH＝，∴＝，解得，CH＝6，由勾股定理得，AH＝，∵点O是线段CH的中点，∴点A的坐标为（﹣8，8），0），∴反比例函数的解析式为：y5＝﹣，，解得，，∴一次函数解析式为y1＝﹣2x+3；（2）设P点坐标为（m，0），当点A为等腰三角形的顶点时，PH＝CH＝4，则OP＝3，∴P点坐标为（﹣6，0）；当点C为等腰三角形的顶点时，PC＝CA＝6，则OP＝4+2或4，∴P点坐标为（2﹣4，0）或（4，0）；当点P为AC垂直平分线与x轴的交点时，PA＝PC，则（2﹣m）8＝（﹣2﹣m）2+62，解得，m＝﹣8，∴P点坐标为（﹣8，0）．23．某茶叶销售商计划将120罐茶叶按甲、乙两种礼品盒包装出售，其中甲种礼品盒每盒装4罐，每盒售价240元，每盒售价300元，恰好全部装完．已知每罐茶叶的成本价为30元，乙种礼品盒的数量为y盒．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若120罐茶叶全部售出后的总利润不低于3000元，则甲种礼品盒的数量至少要多少盒？【解答】解：（1）由题意，得：4x+6y＝120，∴；（2）由题意，得：240x+300y﹣30×120≥3000，由（1）知：，∴，解得：x≥15；答：甲种礼品盒的数量至少要15盒．24．已知抛物线y＝ax2﹣4x+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B两点（1）求抛物线解析式；（2）若点P为抛物线上点，当PB＝PC时，求点P坐标；（3）若点M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，求点M坐标．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝a﹣4+7，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x+3…①，令x＝0，则y＝3，则x＝1或3，故点C（7，3），0）；（2）PB＝PC时，则点P在线段BC的垂直平分线上，线段BC的中点坐标为（，），则BC中垂线的k值为1，过点（，），则其表达式为：y＝x…②，①②联立并求解得：x＝，则点P坐标为（，）或（，）；（3）M为线段BC上点（不含端点），且△MAB与△ABC相似，则△MAB∽△ACB，即：，过点M分别作x、y轴的垂线交于点H、G，∵OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45°，则MH＝MG＝MB×＝，OH＝OB﹣BH＝，即点M（，）25．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣8，0），B（﹣5，4），BC∥x轴，点D与点A关于y轴对称，连接CD．（1）若令∠CDA＝α，证明：∠BAD＝2α；（2）如图1，点M为线段BC上的点，N为射线CD上点，BM＝2，请求出点N坐标；（3）如图2，点E在线段AB上，其横坐标为﹣6，与CD交于点F，在EF延长线上有动点P，且∠APQ＝∠ABC，若，求的值（用含t的代数式表示）．【解答】（1）证明：在平面直角坐标系xOy中，A（﹣8，B（﹣5，BC∥x轴，连接AC．∴AB＝＝＝3，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，