人教版高一上学期数学(必修1)《3.1椭圆及其标准方程》同步测试题及答案

第第页人教版高一上学期数学(必修1)《3.1椭圆及其标准方程》同步测试题及答案考试时间：60分钟；满分：100分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.

(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.2．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.4．椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.【题型1曲线方程与椭圆】【方法点拨】根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲线C:x24a+y23a+2A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2021·全国·高二专题练习）“1<m<5”是“方程x2m−1+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知方程x225−m+y2m+9=1A．−9<m<25 B．−8<m<25C．9<m<25 D．8<m<25【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）若方程x225−k+y2k−9=1A．9,25 B．−∞,9∪25,+【题型2椭圆的定义】【方法点拨】利用椭圆的定义解决涉及焦点相关问题的计算：一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题，另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用.【例2】（2023·全国·高三专题练习）点P为椭圆4x2+y2=16上一点，F1，FA．13 B．1 C．7 D．5【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆C:x216+y212=1上的点，F1，FA．32 B．2 C．56【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C:x29+y23A．13 B．12 C．9 D．6【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆x29+y22=1的左、右焦点分别为F1,A．30° B．60° C．120° D．150°【题型3椭圆方程的求解】 【方法点拨】(1)用定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程根据所给条件设出椭圆的标准方程，代入点，即可得解.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，A．x27+y22=1 B．【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是−22,0和22,0，且椭圆经过点A．x216+C．x224+【变式3-2】（2022·宁夏二模（文））已知椭圆C的一个焦点F（0，-5），P为C上一点，满足|OP|=|OF|,|PF|=4则椭圆C的标准方程为（）A．y215+C．y212+【变式3-3】（2021·全国·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（

）A．x2169+y2144＝1 B．x2144+y2169＝1 C．【题型4动点轨迹方程的求法】【方法点拨】解椭圆有关的动点轨迹问题主要有以下两种思路：(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（

）A．x24+B．y24+C．x24+D．y24+【变式4-1】（2021·全国·高二课前预习）若动点Mx,y始终满足关系式x2+(y+2)2A．x216+y212=1 B．【变式4-2】（2022·江苏·高二开学考试）已知圆C的方程为x−12+y2=16，B−1,0，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线A．x216+y29=1 B．【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知△ABC的周长等于10，BC=4，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点A的轨迹方程可以是（

A．x29+C．x236+【题型5椭圆中的焦点三角形问题】【方法点拨】①关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出=2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.②在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知点P在椭圆x216+y24=1上，F1与A．43 B．63 C．83【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若F为椭圆C：x225+y216=1的右焦点，A，B为A．4 B．8 C．10 D．20【变式5-2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆x24+y23=1的两个焦点为F1，F2，过FA．2 B．4 C．6 D．8【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设P为椭圆x225+y216=1上一点，FA．△PF1F2为锐角三角形C．△PF1F2为直角三角形 D．P，【题型6椭圆中的最值问题】【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知F是椭圆C:x24+y23=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点A．3 B．5 C．41 D．13【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）F1，F2分别为椭圆x24+y23=1的左､A．4−102 B．2−102 C．【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆x225+y216=1上一动点，Q是圆(x+3)A．4 B．5 C．6 D．7【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知A1,1，F1是椭圆5x2+9y2A．6+2；6−2 B．4+2；4−2 C．6+22；6−2参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•翠屏区校级月考）下列的对应关系f是从集合A到集合B的函数的是（）A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0|}，f：x→1|x| B．A＝N，B＝N*，f：x→C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2 D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f【解题思路】根据函数的概念和对应关系进行判断即可．【解答过程】解：对于A，当x＝0时，10对于B，当x＝1时，|x﹣1|＝0∉N*，∴不是函数关系，对于C，当x＞0时，x2∈R，∴是函数关系，对于D，当x＝﹣1时，x无意义，∴不是函数关系，故选：C．2．（3分）（2021秋•南开区期末）在下列函数中，函数y＝|x|表示同一函数的（）A．y=(x)2 BC．y=x，x≥0，【解题思路】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答过程】解：对于A，函数y=(x)2=x，x≥0，与函数y＝对于B，函数y=3x3=x，x∈R，与函数y＝|对于C，函数y=x，x≥0−x，x＜0对于D，函数y=x2|x|=x，x＞故选：C．3．（3分）（2021秋•河南期末）下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是（）A． B． C． D．【解题思路】根据函数的定义域及值域的对应关系判断选项即可．【解答过程】解：选项A中的值域不满足条件；选项B中的定义域不满足条件；选项D不是函数图象．故选：C．4．（3分）（2022春•商丘期末）已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数g(x)=f(x)A．(13，4) B．(13，2)【解题思路】由已知求得f（x）的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数g（x）的定义域．【解答过程】解：∵函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），即﹣3＜x＜4，∴x+2∈（﹣1，6），即f（x）的定义域为（﹣1，6）．又3x﹣1＞0，∴x＞13，取交集可得函数g（x故选：C．5．（3分）（2022•潮南区模拟）已知函数f（x）=x2+4x+3，x≤03−x，A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解题思路】分段函数是指在定义域的不同阶段上对应法则不同，因此分段函数求函数值时，一定要看清楚自变量所处阶段，例如本题中，5∈{x|x＞0}，而f（5）＝﹣2∈{x|x≤0}，分别代入不同的对应法则求值即可得结果【解答过程】解：因为5＞0，代入函数解析式f（x）=x2+4x+3，x≤03−x，x＞0得所以f（f（5））＝f（﹣2），因为﹣2＜0，代入函数解析式f（x）=x2+4x+3，x≤03−x，x＞0得f（﹣2）＝（﹣故选：C．6．（3分）（2021秋•翠屏区校级月考）设f（x）=(x+1)2(x＜1)4−x−1(x≥1)则使得A．10 B．0，10 C．0，﹣2，10 D．1，﹣1，11【解题思路】因为是分段函数，所以分：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1和当m≥1时，f（m）＝4−m−1=【解答过程】解：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1∴m＝﹣2或m＝0当m≥1时，f（m）＝4−m−1∴m＝10综上：m的取值为：﹣2，0，10故选：C．7．（3分）（2022春•阎良区期末）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当a≥b时，a*b＝a；当a＜b时，a*b＝b2．设函数f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x），x∈（﹣2，2]，则函数f（x）的值域为（）A．[﹣6，﹣2] B．[﹣2，2） C．（﹣2，2] D．[﹣2，2]【解题思路】首先理解新定义，将f（x）转化为我们熟悉的函数，再求其值域即可．【解答过程】解：定义新运算“*”为：当a≥b时，a*b＝a；当a＜b时，a*b＝b2．设函数f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x），x∈（﹣2，2]，当﹣2＜x≤2时，函数f（x）＝（﹣2*x）﹣（2*x）＝x2﹣2∈[﹣2，2]，则函数f（x）的值域为[﹣2，2]，故选：D．8．（3分）（2021•云南模拟）一次函数g（x）满足g[g（x）]＝9x+8，则g（x）是（）A．g（x）＝9x+8 B．g（x）＝3x+8 C．g（x）＝﹣3x﹣4 D．g（x）＝3x+2或g（x）＝﹣3x﹣4【解题思路】设一次函数g（x）＝kx+b，利用满足g[g（x）]＝9x+8，得到解决关于k，b的方程组，解方程组即可．【解答过程】解：∵一次函数g（x），∴设g（x）＝kx+b，∴g[g（x）]＝k（kx+b）+b，又∵g[g（x）]＝9x+8，∴k2解之得：k=3b=2或k=∴g（x）＝3x+2或g（x）＝﹣3x﹣4．故选：D．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•盘龙区月考）下列每组函数不是同一函数的是（）A．f(x)=x−B．f(x)=x−C．f(x)=xD．f(x)=|x|【解题思路】结合函数的三要素别检验各选项即可判断．【解答过程】解：A：g（x）|与f（x）的定义域不同，不符合题意；B：g（x）与f（x）的对应关系不同，不符合题意；C：（x）与g（x）的定义域不同，不符合题意；D：f（x）与g（x）的定义域都为R，对应关系也相同，故是同一函数．故选：ABC．10．（4分）（2021秋•荔城区校级期中）已知函数y＝f（x）用列表法表示如表，若f（f（x））＝x﹣1，则x可取（）x12345f（x）23423A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】由已知表格，分别判断x＝1，2，3，4，5时是否满足方程即可．【解答过程】解：结合表格可知，当x＝1时，f（1）＝2，则f（f（1））＝f（2）＝3≠1﹣1＝0，当x＝2时，f（2）＝3，f（f（2）＝f（3）＝4≠2﹣1；当x＝3时，f（3）＝4，f（f（3））＝f（4）＝2＝3﹣1，此时满足题意；当x＝4时，f（4）＝2，f（f（4））＝f（2）＝3＝4﹣1，此时满足题意；当x＝5时，f（5）＝3，f（f（5））＝f（3）＝4＝5﹣1，此时满足题意．故选：BCD．11．（4分）（2021秋•铜鼓县校级月考）下列四个函数：①y＝3﹣x；②y=1x2+1；③y＝x2+2x﹣10；④A．① B．② C．③ D．④【解题思路】根据一次函数性质可判断①；根据不等式基本性质可判断②④；根据二次函数性质可判断③．【解答过程】解：①y＝3﹣x，其为一次函数，值域为R，所以A对；②y=1x2+1，因为x2+1≥1，所以0＜1x2+1≤1③y＝x2+2x﹣10，其图像为开口向上的抛物线，y最小值为4×1×(−10)−22值域为[﹣11，+∞）不为R，所以C错；④y=−x(x≤0)−1x(x＞0)，当x≤0时，y≥0，当x＞0时y故选：AD．12．（4分）（2021秋•淄博月考）函数D(x)=1A．函数D（x）的值域为[0，1] B．若D（x0）＝1，则D（x0+1）＝1 C．若D（x1）﹣D（x2）＝0，则x1﹣x2∈Q D．∃x∈R，D（x+2）＝【解题思路】根据狄利克雷函数的表达式讨论x是有理数和无理数时是否成立即可．【解答过程】解：函数的值域为{0，1}，故A错误，若D（x0）＝1，则x0∈Q，则1+x0∈Q，即D（x0+1）＝1成立，故B正确，若D（x1）﹣D（x2）＝0，即D（x1）＝D（x2），当D（x1）＝D（x2）＝1时，x1∈Q，x2∈Q，则x1﹣x2∈Q，当D（x1）＝D（x2）＝0时，x1∉Q，x2∉Q，则x1﹣x2∈Q不一定成立，故C错误，当x＝1−2时，满足x∈R，此时x+2=1，则D（x+2）＝故选：BD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022•成都开学）函数f（x）=x−1+1x−3的定义域为[1，3）∪（3【解题思路】根据定义域的求法，求解即可．【解答过程】解：根据题意可知，x−1≥0x−3≠0，解得x∈[1，3故函数f（x）=x−1+1x−3的定义域为[1，3）∪（故答案为：[1，3）∪（3，+∞）．14．（4分）（2021秋•巫山县校级月考）下列函数y＝（x）2；y=x2x；y=3x3；y=x2与函数y＝【解题思路】根据函数三要素分析即可．【解答过程】解：y＝（x）2中x≥0，而y＝x中x为任意实数，故y＝（x）2与y＝x不是同一函数；y=x2x中x≠0，而y＝x中x为任意实数，故y=x2y=3x3=x中x为任意实数，∴y=3y=x2值域为（0，+∞），而y＝x值域为R，∴y=x2与故答案为：y=315．（4分）（2022•桂林开学）已知f(x)=x2−1，x≥0x+2，x＜0，求【解题思路】直接把变量代入对应的解析式即可求解．【解答过程】解：∵f(x)=x∴f（﹣1）＝﹣1+2＝1，∴f（f（﹣1））＝f（1）＝12﹣1＝0，故答案为：0．16．（4分）（2022春•南平期末）若函数f(x)=(a−1)x+1，x≤1，x2−2ax+6，x＞1的值域为【解题思路】由题意，分类讨论a的范围，利用一次函数、二次函数的性质，可得结论．【解答过程】解：∵函数f(x)=(a−1)x+1，x≤1当a＝1时，f（x）=1，x≤1当a＞1时，应有a﹣1+1≥a2﹣2a•a+6，解得a≥2．当a＜1时，由于（a﹣1）x+1（x≤1）和x2﹣2ax+6（x＞1）都有最小值，故函数的值域不可能为R，故不满足题意．综上，a≥2，故答案为：[2，+∞）．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022春•濮阳期末）某种笔记本的单价是5元，买x本（x∈{1，2，3，4，5}）笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）．【解题思路】利用函数的三种表示方法，即可将y表示成x的函数．【解答过程】解：（1）列表法：x12345y510152025（2）图象法（3）解析法：y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．18．（6分）（2021秋•龙门县校级月考）求下列函数的定义域．（1）y=x−2（2）y=4−【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答过程】解：（1）由题意可知x−2≥∴2≤x≤3，即函数的定义域为[2，3]．（2）由题意可知4−x2≥02x2−3x−2≠0，解得﹣2≤x≤2∴x∈[即函数的定义域为[﹣2，−12）∪（−119．（8分）（2021秋•泰安期中）判断下列各组函数是否为相等函数：（1）f（x）＝f（x）=(x+3)(x−5)x+3，g（x）＝x﹣（2）f（x）＝2x+1（x∈Z），g（x）＝2x+1（x∈R）；（3）f（x）＝|x+1|，g（x）=x+1【解题思路】运用函数的定义域和对应关系完全相同，才是相等函数，对（1）（2）（3）一一判断，即可得到结论．【解答过程】解：（1）（2）不是，（3）是．对于（1），f（x）的定义域为{x|x≠﹣3}，g（x）的定义域为R；对于（2），f（x）的定义域为Z，g（x）的定义域为R，所以（1）（2）中两组函数均不是相等函数；对于（3），两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．20．（8分）（2021秋•上高县校级月考）已知函数f（x）＝2x﹣1，g（x）=x2(x≥0)−1(x＜0)求f[g（x）]和g[【解题思路】充分利用分段函数的特点：在不同的自变量范围下对应的函数表达式不同．不管是f（x）还是g（x）为内涵数都要针对于x≥0或x＜0分情况讨论，只有这样才能在不同的范围上有确定的表达式代入进行运算．【解答过程】解：当x≥0时，g（x）＝x2，f[g（x）]＝2x2﹣1，当x＜0时，g（x）＝﹣1，f[g（