专题36 中考命题核心元素含45°角的问题的几种解题思路（原卷版）

专题36含45°角的问题的几种解题思路（原卷版）

模块一典例剖析+针对训练

思路1：套用半角模型常用结论．

模型解读：

常用结论：如图①，BM＋DN＝MN；MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；△CMN的周长＝2AB.

常用证明方法：如图②，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABN′，证明△AMN≌△AMN′.

常用结论：如图③，BP2＋QD2＝PQ2.

常用证明方如图④，在正方形ABCD中，AD＝a，点M，N分别在BC，CD边上，且∠MAN＝45°.

拓展结论：

(1)BM＋DN＝MN；

(2)MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；

(3)△CMN的周长＝2a(为定值)；

(4)S△ABM＋S△ADN＝S△AMN；

MN

(5)的最小值为22－2；

AB

2

(6)S△AMN的最小值为(2－1)a；

2

(7)S△CMN的最大值为(3－22)a；

(8)BP2＋QD2＝PQ2；

(9)△APQ∽△BAQ∽△DPA∽△BPM∽△DNQ；

(10)BQ·DP＝AB·AD＝a2(定值)；

(11)△APQ∽△ANM(相似比为1∶2)；

(12)S△AMN＝2S△APQ；

(13)P，M，N，Q四点共圆；

(14)△AMC∽△AQD(相似比为1∶2)；

(15)CM·CN＝2BM·DN；

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(16)MQ⊥AN，NP⊥AM；

(17)△APN与△AQM均为等腰直角三角形；

(18)A，B，M，Q四点共圆；

(19)A，P，N，D四点共圆．

法：将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△ADP′，证明△AQP≌△AQP′.

思路2：作垂直，将45°角置于直角三角形中，构造等腰直角三角形解决问题．

思路3：利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，构造直角三角形，解决问题．

思路4：利用两角和或差的正切公式

；

典例1在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°

时，求点C的坐标．（尽可能用多种方法解题）

针对训练

1．（2021春•永嘉县校级期末）如图，已知反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，5），若在该图象

�

上有一点P，使得∠AOP＝45°，则点P的坐标是=．

2．如图，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，CD＝1．求△ABC的面积．

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典例2（2022•东莞市校级一模）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．

（1）小聪同学通过将△BAF绕点B顺时针旋转90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．

①请直接写出线段CE、EF、AF之间的数量关系：（用等式表示）；

②若AB＝2，E为CD边中点，求AF．

（2）如图2，将正方形ABCD改为矩形，且AB＝2，BC＝3，其他条件不变，即：E、F分别是边CD、

AD上的点，∠EBF＝45°．

③记EF＝y，CE+AF＝x，试探究y与x之间的数量关系（用等式表示）；

④当BF⊥EF时，求线段EF的长．

针对训练

1．（2020•泗水县二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、

AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：

①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE＝AF时，；④BE+DF＝EF．其

𝐵2

=

中正确的个数有（）��2

A．1个B．2个C．3个D．4个

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2．如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且EG与FH的夹角为45°，

若正方形ABCD的边长为1，FH的长为，求EG的长．

5

2

典例3（2022秋•宁化县月考）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，

延长CD到点G，使DG＝BE，连结EF，AG．

①判定AE和AG关系，并证明；

②证明：EF＝FG；

（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°，

若BM＝1，CN＝3，求MN的长．

针对训练

1．（2020春•太仓市期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D，E是斜边BC上两点，∠

DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，则△ABC的面积为．

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模块二2023中考押题预测

1．（2021秋•潜江校级月考）如图，点E和点F是正方形ABCD的边BC和边CD上的两动点，且∠EAF＝

45°，有下列结论：①EF＝BE+DF；②∠AEB＝∠AEF；③BG2+DG2＝2AG2；④如果BE＝CE，那么

DF：CF＝1：3；⑤△AFE∽△AGM且相似比是；其中正确的结论有（）个．

2

A．1B．2C．3D．4

2．（2023•天河区一模）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到

AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE的最小值为．

3．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0）和（5，0），点P是该直角坐标系x轴上方的动点，并且满足

∠APB＝45°，满足条件的点P有多少个？画出这一些点．

4．（2016秋•铜山区期中）已知：如图，△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB，点D、E是BC上的两点，且

∠DAE＝45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．求证：（1）∠FAE＝∠BAE；

（2）CD2+BE2＝DE2．

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5．（2022•海口模拟）如图①，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若

EG⊥FH，

（1）求证：EG＝FH；

（2）如果把题目中的“正方形”改为“长方形”，若AB＝3，BC＝4（如图②），求的值；

𝐹

（3）如果把题目中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”（如图③），若正�方�形ABCD的边长

为2，FH的长为，求EG的长．

5

6．（2020秋•宁德期末）如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一个动点，连接BE，以BE为斜边

在正方形ABCD内部构造等腰直角三角形