专题33 中考命题核心元素一次函数的K值妙用（解析版）

专题33中考命题核心元素一次函数的K值妙用（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

类型1k与特殊角

3

k值与特殊角角的关系：当k＝±1时与x轴的夹角为45°；当k＝±时与x轴的夹角为30°；当

3

k＝±3时与x轴的夹角为60°.⇔⇔

1．（2020•⇔尧都区模拟）如图所示，已知点A坐标为（6，0），直线y＝x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接

AB，∠＝75°，则b的值为（）

α

A．2B．3C．3D．6

思路引3领：根据直线y＝x+b3可以求得∠BCO的度数，然后根据三角形的外3角和不相邻内角的关系可以

求得∠BAO的度数，再根据锐角三角函数即可求得b的值．

解：设直线y＝x+b与x轴交于点C，

将y＝0代入y＝x+b，得x＝﹣b，

将x＝0代入y＝x+b，得y＝b，

∴OB＝OC＝b，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∵∠＝75°，∠＝∠OCB+∠BAC，

∴∠BαAC＝30°，α

即∠BAO＝30°，

∵点A（6，0），∠BOA＝90°，点B（0，b），

∴OA＝6，OB＝b，

∴tan30°，

�

解得，b＝=26，

故选：A．3

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总结提升：本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质

和数形结合的思想解答．

针对训练

1．（2022•高新区二模）如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线AB绕点B

顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为2．

思路引领：根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点

C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方

法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．

解：∵一次函数y＝x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，

令x＝0，则y＝2．2

令y＝0，则x＝﹣22，

则A（﹣2，0），B2（0，2），

则△OAB为2等腰直角三角形，2∠ABO＝45°，

∴AB，

22

过点=C作(2CD2⊥)A+B，(2垂2足)为=D4，

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∵∠CAD＝∠OAB＝45°，

∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，

∴AC，

22

由旋转=的�性�质+可�知�∠=ABC2＝�30°，

∴BC＝2CD＝2x，

∴BD，

22

又BD=＝A�B�+A−D＝��4+x=，3�

∴4+xx，

解得：=x＝322，

∴ACx3+（22）＝22，

故答案=是2：=2223．+6+2

总结提升：本题6+考查2了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性

质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．

2．（2015•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x

的图象被P截得的弦AB的长为，则a的值是⊙．

⊙23

思路引领：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，

相加即可．

解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．

∵AB＝2，

∴AE3，PA＝2，

∴PE=＝1．3

∵点D在直线y＝x上，

∴∠AOC＝45°，

∵∠DCO＝90°，

∴∠ODC＝45°，

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∴∠PDE＝∠ODC＝45°，

∴∠DPE＝∠PDE＝45°，

∴DE＝PE＝1，

∴PD．

∵P=的圆2心是（2，a），

∴⊙点D的横坐标为2，

∴OC＝2，

∴DC＝OC＝2，

∴a＝PD+DC＝2．

故答案为：2+．2

+2

总结提升：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知

识求出线段的长是解题的关键．注意函数y＝x与x轴的夹角是45°．

类型2k与平移

直线的平移规律：上加下减，左加右减．

典例2（2022•通州区二模）一次函数yx+3与yx+n的图象之间的距离等于4，则n的值为（）

33

A．﹣8或2B．8或﹣2=4C．=54或﹣5D．﹣1或7

思路引领：设直线yx+3与坐标轴交于A（0，3），B（﹣4，0），直线yx+n与y轴交于点P，作

33

=4=4

PM⊥AB于M．由△ABO∽△APM，得，因为AB5，所以，推出PA＝5，

𝑃��224��

==3+4==

推出点P坐标为（0，﹣2），n＝﹣2，根�据�对称��性可知，当n＝8时，也满足条件4．5

解：如图，

∵不妨设直线yx+3与坐标轴交于A（0，3），B（﹣4，0），直线yx+n与y轴交于点P，作PM⊥

33

AB于M．=4=4

∵△ABO∽△APM，

∴，

𝑃��

=

𝐵��

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∵AB5，

22

∴=3，+4=

4��

=

∴4PA＝55，

∴点P坐标为（0，﹣2），

∴n＝﹣2，

根据对称性可知，当n＝8时，也满足条件．

故选：B．

总结提升：本题考查两条直线平行问题，相似三角形的判定和性质，解此题的关键是求出PA的长．

针对训练

1．（2021•朝阳区二模）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，且经过点（0，

1），则这个一次函数的表达式为．

思路引领：根据一次函数平移时k不变可知k＝2，然后把（0，1）代入求出b的值即可．

解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象可以由y＝2x的图象平移得到，

∴k＝2，

∵一次函数y＝2x+b的图象经过点（0，1），

∴b＝1，

∴一次函数表达式为y＝2x+1．

故答案为y＝2x+1．

总结提升：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数平移的性质是解答此题的关键．

2．（2017•易县模拟）如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为边在x轴的下方作等

边三角形OAC，将点C向上平移m个单位长度，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则m＝（）

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A．2B．2C．4D．4

思路引−领3：由一次函数图象+上点3的坐标特征可求出−点A3的坐标，结合等边+三角3形的性质即可得出点C的

坐标，再将点C的横坐标代入直线AB中可求出点C′的坐标，由点C、C′的坐标可得出m的值．

解：当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，

∴点A的坐标为（﹣2，0）．

∵△OAC为以OA为边的等边三角形，

∴点C的坐标为（﹣1，）．

当x＝﹣1时，y＝2x+4＝−2，3

∴点C′的坐标为（﹣1，2），

∴m＝2﹣（）＝2．

故选：B．−3+3

总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及平移，根据一次函数图象

上点的坐标特征结合等边三角形的性质找出点C、C′的坐标是解题的关键．

类型3k与折叠

典例3（2014秋•温江区校级期中）如图，直线yx与x轴、y轴分别交于A、B两点，O为原点，

若把△AOB沿着直线AB翻折，点O落在点C=处−，则3点+C3的坐标是．

思路引领：如图，作辅助线，首先求出OA、OB、OC的长，进而证明△OAB∽△ECO，求出OE、CE

的长即可解决问题．

解：如图，连接OC，交AB于点D；过点C作CE⊥x轴于点E；

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由题意得：OD＝CD，OD⊥AB；

对于直线yx，当x＝0时，y；当y＝0时，x＝1，

∴OA＝1，=O−B3+；A3B=3

22

由面积公式：=3=��+��，=2

11

��⋅��=��⋅��

∴OD，O2C＝2OD2；

3

方法①=：2∵OD⊥AB，=OA⊥3OB，

∴∠OBA＝∠COE，而∠BOA＝∠OEC，

∴△OAB∽△ECO，

∴，而OA＝1，OB，AB＝2，OC

������

===3=3

∴O��E�，�CE𝑂，

33

方法②=：2可得=OB2，OA＝1，

则∠OBA＝30°，=3

则∠OBC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠EOC＝30°，

∴CE，OE，

33

=2=2

∴点C的坐标为（，）．

33

故答案为：（，）2．2

33

22

总结提升：该题以直角坐标系为载体，以翻折变换为方法，以相似三角形的判定及其性质的应用为考查

的核心构造而成；对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．

针对训练

1．（2020•黑河一模）如图，直线y＝kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三

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角形OBC，将△OBC沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线y＝kx+4上，则k的值为（）

A．3B．﹣1C．D．

3

思路引领：由等边三角形的性质和折叠的性质得出−∠3ABO＝∠OBC＝60°−，3由三角函数求出OA，得出点

A的坐标，代入直线y＝kx+4求出k即可．

法一、解：∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC＝60°，

∵直线y＝kx+4，当x＝0时，y＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，

由折叠的性质得：∠ABO＝∠OBC＝60°，

∵∠AOB＝90°，

∴OAOB＝4，

∴A（=43，0），3

把点A（34，0）代入直线y＝kx+4得：

4k+4＝0，3

3

解得：k．

3

故选：C=．−3

法二、解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，

∵△OBC是等边三角形，

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∴∠OBC＝60°，CD平分∠BCO，点D是OB的中点，

∴∠BCD＝∠OCD＝30°，

∵直线y＝kx+4，当x＝0时，y＝4，

∴B（0，4），

∴OB＝4，OD＝2，

∴CDOD＝2，

∴C（=﹣23，2），3

∵点C和点3C′关于y轴对称，

∴C′（2，2），

把点C′（32，2）代入直线y＝kx+4得：

2k+4＝2，3

3

解得：k．

3

故选：C=．−3

总结提升：本题考查了等边三角形的性质、翻折变换的性质、三角函数、求一次函数的解析式；熟练掌

握翻折变换和等边三角形的性质是解决问题的关键．

2．（2014•济南）如图，直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得

3

到△AO′B，则点O′的坐标=−是（3）

A．（，3）B．（，）C．（2，2）D．（2，4）

33333

思路引领：作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，由直线yx+2与x轴、y轴分

3

别交于A、B两点，求出B（0，2），A（2，0），和∠BAO＝30°，运用直角三=−角形3求出MB和MO′，

再求出点O′的坐标．3

解：如图，作O′M⊥y轴，交y于点M，O′N⊥x轴，交x于点N，

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∵直线yx+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，

3

∴B（0，=2−），3A（2，0），

∴∠BAO＝30°，3

由折叠的特性得，O′B＝OB＝2，∠ABO＝∠ABO′＝60°，

∴MB＝1，MO′，

∴OM＝3，ON＝O=′M3，

∴O′（，3），=3

故选：A．3

总结提升：本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线

段．

类型4k与旋转

典例4（2021•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，

把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是（）

A．（2，4）B．（4，2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）

思路引领：先根据函数图象分别求出OA、OB的长度，再通过旋转之后对应边相等可求出点A1的坐标．

解：由函数图象得B点的坐标为（0，4），

将y＝0代入y＝2x+4，可得x＝﹣2，

故A点的坐标为（﹣2，0），

∴OA＝2，OB＝4，

∴BO1＝OB＝4，

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故A1的横坐标为4，

又∵A1O1＝OA＝2，

故A1的纵坐标为2，

∴点A1的坐标是（4，2）．

故选：B．

总结提升：本题主要考查一次函数与几何图形结合在一起的应用，旋转前后对应边长度不变是解题的关

键．

针对训练

1．（2019•自贡模拟）如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线

段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于

点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为．

思路引领：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．首先证明△CPE≌△PDF，得到DF＝PE

＝2，推出BD＝BF+DF＝4，由BD＝4AD，推出AD＝1，AB＝OB＝5，CE＝PF＝3，D（5，4），C（0，

5），利用待定系数法求出直线CD的解析式，利用方程组即可求出点Q的坐标．

解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．

∵AB⊥OB，

∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，

∴四边形EOBF是矩形，

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∵P（2，2），

∴OE＝PE＝BF＝2，

∵∠CPD＝90°，

∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，

∴∠ECP＝∠DPF，

在△CPE和△PDF中，

，

∠𝑂�=∠𝑃�

∠�𝑂=∠�𝑃

∴�△�=CP�E�≌△PDF（AAS），

∴DF＝PE＝2，

∴BD＝BF+DF＝4，

∵BD＝4AD，

∴AD＝1，AB＝OB＝5，

∴CE＝PF＝3，

∴D（5，4），C（0，5），

设直线CD的解析式为y＝kx+b则有，解得，

1

�=5

�=−5

∴直线CD的解析式为yx+5，5�+�=4�=5

1

=−5

由解得，

25

�=��=

16

�=−�+525

5�=

∴点Q的坐标为（，）6．

2525

当点D在直线OP的6上方6时，同法可得C（0，3），D（3，4），

∴直线CD的解析式为yx+3，

1

=3

由，解得，

9

�=��=

12

�=�+39

3�=

∴Q（，），2

99

综上所2述，2满足条件的点Q的坐标为：（，）或（，）．

252599

总结提升：本题考查一次函数的应用、待定6系数6法、全等2三2角形的判定和性质、二元一次方程组等知识，

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解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建一次函数，利用方程组求交点

坐标，属于中考填空题中的压轴题．

2．（2021•南岗区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b分别交x、y轴于B、A两点，且AB

＝8．

（1）2求直线AB的解析式；

（2）点C是y轴负半轴上一点，纵坐标为d，点D是直线AB上一点，横坐标为t，d与t的函数关系为

d＝t+4，将线段CD绕点C顺时针旋转90°，得到线段CE，求E点坐标；

（3）在（2）的条件下，线段CD交x轴于点M，CE交x轴于点P，G为点P右侧x轴上一点，连接

GE并延长交直线AB于F，N是线段CE上一点，连接MN，过点E作EK⊥EC交过点A且平行于x轴

的直线于点K，连接MK，若MK平分∠DMN，∠PEG＝45°，3AF＝4BD，求点N的坐标．

思路引领：（1）由直线关系式表示出OA，OB的长，再利用勾股定理求出b即可；

（2）点D是直线AB上一点，横坐标为t，表示出D的坐标，求出CF的长，将线段CD绕点C顺时针

旋转90°通过构造△DCF和△CEG全等，得出E的坐标；

（3）连接DE，得DE⊥GF，设BD，则AF，AD，AE；在Rt△DEF

=32�=42�=82−32�=42

中，根据射影定理AE2＝AB•AF，可得a（2舍去），OC＝2；可证四边形DCEK是正方形，根据半角

2

结论，可知DM+EN＝MN，在Rt△MCN=中3，利用勾股定理可得CN长度，从而得出N点坐标．

解：（1）直线y＝x+b，令x＝0时，则y＝b，

令y＝0时，则x＝﹣b，

∴OA＝OB＝b，

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在Rt△OAB中，AB2＝OB2+OA2，

则2b2＝（8）2，解得b＝8，

∴直线AB的解2析式为：y＝x+8；

（2）如图1，过点D作DF∥x轴交y轴于点F，过点E作GE⊥y轴于点G，

∵D在直线AB上，D点横坐标为t，

∴D的纵坐标yD＝t+8，

∴F点坐标为（0，t+8），

∵点C坐标为（0，t+4），

∴CF＝t+8﹣（t+4）＝4，

在Rt△DFC中，∠FDC+∠DCF＝90°，

∵线段CD绕点C顺时针旋转90°，得到线段CE，

∴∠ECG+∠DCF＝90°，CD＝CE，

∴∠FDC＝∠GCE，

在△DCF和△CEG中，

，

∠𝑃�=∠𝐶�

∠���=∠�𝑂

∴��△=DC�F�≌△CEG（AAS），

∴EG＝CF＝4，CG＝DF＝﹣t，

∵OC＝﹣（t+4），

∴OG＝CG﹣OC＝﹣t+（t+4）＝4，

∴点E的坐标为（4，4）．

（3）如图，连接DE，DK，KN，过D点作DH⊥x轴于点H，

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由第（2）小问知，E（4，4），CD＝CE，CD⊥CE，

∴∠CED＝45°，

∵∠PEG＝45°，

∴∠DEG＝∠PEG+∠CED＝90°，即DE⊥FG，

设BD，AF，则AD，AE，

根据A=（30，28�），E（=44，24�）易证△A=O8E是2−等3腰直2�角三角=形4，2∠EAO＝45°，

又∵△AOB是等腰直角三角形，∠BAO＝45°，

∴∠EAB＝90°，即EA⊥DF，

在Rt△DEF中，根据射影定理AE2＝AB•AF，可得a（2舍去），

2

∴BD，DH＝BH＝2，OC＝2，D（﹣6，2），C=（30，﹣2），DC，

由DH=＝2CO2，∠DHM＝∠COM，∠DMH＝∠CMO得，=213

△MDH≌△MCO（AAS），

∴DM＝CM，

由AE＝OE，=∠1E3AK＝∠EOC＝135°，∠AEK＝∠OEC，

得△EAK≌△EOC（AAS），

∴EK＝EC，AK＝OC＝2，K（﹣2，8），

根据D（﹣6，2），K（﹣2，8），E（4，4）可得DK＝KE，

∵CD＝CE＝EK＝KD，CD⊥CE，=213

∴四边形DCEK是正方形，

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过点K作KQ⊥MN于Q，

在Rt△KDM和Rt△KQM中，∠KDM＝∠KQM＝90°，∠KMD＝∠KMQ，AM＝AM，

∴△KDM≌△KQM（AAS），

∴KD＝KQ，DM＝QM，

∵KD＝KE，

∴KE＝KQ，

在Rt△KEN和Rt△KQN中，KN＝KN，KE＝KQ得，

Rt△KEN≌Rt△KQN（HL），

∴EN＝QN．

在Rt△MCN中，MN＝QM+QN＝DM+EN（EC﹣CN）CN，CM，

=13+=313−=13

由勾股定理MN2＝CM2+CN2，可得CN，

4

=13

根据C（0，﹣2），E（4，4）可得直线C3E：，

3

�=2�−2

设N（m，），可得m，

38

�−2=

∴N的坐标2为（，2）．3

8

总结提升：本题3考查了求一次函数解析式的方法，三角形全等的判定及性质，勾股定理，正方形的性质

和判断等，在第三问中，关键之处在于发现四边形DCEK是正方形，根据半角模型，可得DM+EN＝MN

这个数量关系，从而求解的，题目综合性较强．

类型5隐含的k

典例5已知点A（4m，3m），且m＞0，点B为x轴正半轴上一点，点P为∠AOB内一点，OP＝5，则△PAB

周长的最小值为．

思路引领：作点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，连接EF，由轴对称的性质可得OE＝OP＝

OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，由△PAB周长＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB，

可得当点A，点B，点E，点F共线时，AE+BF+AB的值最小，即最小值为EF，由锐角三角函数可求EH

的长，即可求解．

解：如图，作点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，连接EF，过点O作OH⊥EF于H，

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∵点P关于OA，OB的对称点分别为点E，点F，

∴OE＝OP＝OF＝5，∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，AP＝AE，BP＝PF，

∵△PAB周长＝AP+BP+AB＝AE+BF+AB

∴当点A，点B，点E，点F共线时，AE+BF+AB的值最小，即最小值为EF，

∵∠EOA＝∠POA，∠FOB＝∠POB，

∴∠EOF＝2∠AOB，

∵OE＝OF＝5，OH⊥EF，

∴EH＝FH，∠EOH∠EOF＝∠AOB，

1

∵点A（4m，3m），=2

∴tan∠AOB

3

=

∴tan∠EOH4，且OE＝5，

��3

∴EH＝3=��=4

∴EF＝6，

即△PAB周长的最小值为6

故答案为：6

总结提升：本题考查了轴对称﹣最短路径问题，确定当△PAB周长的最小时点A，点B的位置是本题的

关键．

针对训练

1．（2019秋•和平区校级月考）已知平面直角坐标系内有两点P（4，2）与Q（a，a+2），当PQ的长最小

时，a的值为．

思路引领：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用两点间的距离公式，再根据配方法可求PQ的

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最小值．

解：∵直角平面坐标系内有两点，点P（4，2）与点Q（a，a+2），

∴PQ，

222

∴当a=＝2(时�−，4P)Q+的(最�+小2值−为2)2=．2(�−2)+8

故答案为：2．2

总结提升：考查了勾股定理和两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距

离为AB．

22

2．（2021春=•临(潼�1区−期�2末)）+如(�图1−，�平2)面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点

A（5，0），B（0，5），动点P的坐标为（a，a﹣1）．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）连接AP，若直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，求此时P点的坐标．

思路引领：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（5，0），B（0，5）代入可得，求出

5�+�=0

k、b的值即可得出答案；�=5

（2）由题意可知直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，则直线AP经过OB的中点（0，），设直

5

线AP的解析式为y＝mx+n，把A（5，0），（0，）代入，即可求出直线AP的解析式，再把P（2a，a﹣1）

5

代入即可得求出a的值，即可得出答案．2

解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，

把点A（5，0），B（0，5）代入上式，

得，

5�+�=0

解得�：=5，

�=−1

∴直线A�B=的5函数表达式为y＝﹣x+5；

（2）∵直线AP将△AOB的面积分成相等的两部分，

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∴直线AP经过OB的中点（0，），

5

设直线AP的解析式为y＝mx+n，2

把A（5，0），（0，）代入上式，

5

得，2

5�+�=0

5

�=

解得2，

1

�=−2

5

�=

∴直线AP2的解析式为y，

15

=−�+

把p（a，a﹣1）代入y22中，

15

=−�+

得，22

15

−�+=�−1

解得2：a2，

7

=3

∴点P的坐标为（，）．

74

总结提升：本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练应用待定系数法求出函数系数的值是解决

33

本题的关键．

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一次函数k

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．（2022春•德化县期中）若一次函数y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的图象经过点A（﹣2，7），则k的值为

（）

A．2B．﹣2C．D．

22

−

思路引领：利用一次函数图象上点的坐标特征，即3可得出关于k的一元一次3方程，解之即可求出k的值．

解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+（3k﹣1）的图象经过点A（﹣2，7），

∴7＝﹣2（k﹣3）+（3k﹣1），

解得：k＝2，

∴k的值为2．

故选：A．

总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y

＝kx+b是解题的关键．

2．（2022•海拉尔区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4分别交x轴，y轴于点A，点B，线

4

=−3

段AB上有一点C，点C的横坐标为，过点C的直线y＝kx+b与直线AB垂直，交y轴于点D，则不等

6

式kx+b≥0的所有负整数解的和是（5）

A．﹣10B．﹣6C．﹣3D．﹣1

思路引领：先求出C点坐标，再根据CD⊥AB，可得CD的解析式：yx+b，代入C点坐标，可得b

3

的值，然后解不等式即可．=4

解：将点C横坐标代入直线yx+4，

4

=−3

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得y4，

4612

=−3×5+=5

∴C（，），

612

根据题5意，5得CD的解析式：yx+b，

3

=4

代入C点坐标，得，

3612

×+�=

解得b，455

3

=

∴CD的解2析式：yx，

33

=4+2

当x0时，得x≥﹣2，

33

+≥

∴4负整2数解有﹣2，﹣1，

∴不等式kx+b≥0的所有负整数解的和为﹣2+（﹣1）＝﹣3，

故选：C．

总结提升：本题考查了一次函数的解析式，熟练掌握两直线垂直与一次函数系数的关系以及一次函数与

一元一次不等式的关系是解题的关键．

3．如图，在等边三角形ABO中，边OA在x轴上，点A的坐标为（﹣m，0），直线yx+2与x轴交

3

于点C，与y轴交于点D，将△ABO沿x轴向右平移3个单位，点B的对应点B'恰=好−落2在直线3CD上，

则点B'的坐标为（）

A．（2，）B．（3，）C．（2，2）D．（2，2）

333

思路引领：根据等边三角形表示出点B的坐标，再根据平移的性质得出B'（，），代入一

13

次函数解析式，求得m的值即可求解．−2�+32�

解：∵在等边三角形ABO中，边OA在x轴上，点A的坐标为（﹣m，0），

∴B（，），

13

−2�2�

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将△ABO沿x轴向右平移3个单位，得到B'（，），

13

∵点B的对应点B'恰好落在直线CD上，−2�+32�

∴，

331

�=−(−�+3)+23

解得2m＝2，22

∴B'（2，），

故选：A．3

总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变换﹣平移，表

示出B'的坐标是解题的关键．

4．（2021秋•河东区期末）如图，直线yx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB沿直线AB

3

翻折后得到△AO'B，则点O'的坐标是（=−3）

A．（，）B．（，2）C．（1，）D．（1，）

3333

3

思路引2领：2作O′M⊥y轴，2交y轴于点M，O′N⊥x2轴，交x轴于点N，由直线yx+1与x轴、y

3

轴分别交于A、B两点，求出B（0，1），A（，0），和∠BAO＝30°，运用直角三角形=求−出3MB和MO′，

再求出点O′的坐标．3

解：如图，作O′M⊥y轴，交y轴于点M，O′N⊥x轴，交x轴于点N，

∵直线yx+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，

3

∴B（0，=1−），3A（，0），

∴∠BAO＝30°，3

由折叠的特性得，O′B＝OB＝1，∠ABO＝∠ABO′＝60°，

∴MB，MO′，

13

==

∴OM2，ON＝O′2M，

33

=2=2

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∴O′（，），

33

故选：A．22

总结提升：本题主要考查了折叠问题及一次函数问题，解题的关键是运用折叠的特性得出相等的角与线

段．

5．（2021•深圳模拟）如图，直线AB：y＝﹣3x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为

y轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE长度最小时，

线段CD的长为（）

A．B．C．5D．2

思路引10领：如图，设D（0，17m）．由题意得到B（3，0），求得OD＝m，O7B＝3，过E作EH⊥x于H，

根据旋转的性质得到∠DBE＝90°，BD＝BE，根据全等三角形的性质得到EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，

根据勾股定理得到CE，于是得到当m＝4时，CE长

22222

度最小，求得D（0，4=），�根�据+勾�股�定=理即(可4−得�到)结+论3．=(�−4)+9

解：如图，设D（0，m）．由题意：B（3，0），

∴OD＝m，OB＝3，过E作EH⊥x于H，

∴∠EHB＝∠BOD＝90°，

∵把线段BD绕B点逆时针旋转90°得到线段BE∴∠DBE＝90°，BD＝BE，

∴∠ODB+∠OBD＝∠OBD+∠EBH＝90°，

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∴∠BDO＝∠EBH，

∴△BOD≌△EHB（AAS），

∴EH＝OB＝3，BH＝OD＝m，

∵点C（﹣1，0），

∴OC＝1，

∴CH＝4﹣m，

∴CE，

22222

∴当m=＝�4�时，+C�E�长=度最(4小−，�)+3=(�−4)+9

∴D（0，4），

∴OD＝4，

∴CD，

2222

故选：=B．��+��=1+4=17

总结提升：本题考查一次函数图象上的点的特征，坐标与图形的变化，旋转变换、解直角三角形等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数，利用二次

函数的性质解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题．

二．填空题（共6小题）

6．（2021秋•润州区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（2，﹣1），

点P在y轴上，当PA+PB的值最小时，P的坐标是．

思路引领：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，点P即为所求．求

出直线BA′的解析式即可解决问题．

解：如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于P，连接PA，点P即为所求．

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设直线BA′的解析式为y＝kx+b，

∵A′（﹣1，2），B（2，﹣1），

则有：，

−�+�=2

解得2�+，�=−1

�=−1

∴直线�=BA1′的解析式为y＝﹣x+1，

∴P（0，1），

故答案为：（0，1）．

总结提升：本题考查轴对称最短问题，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短

问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题．

7．（2022•南京模拟）已知A（2，5），B（m，0）是平面直角坐标系xOy中的两点，这两点之间的距离的最

小值为．

思路引领：根据点A和点B的坐标，可以表示出两点之间的距离，然后根据非负数的性质，即可得到这

两点之间的距离的最小值．

解：∵A（2，5），B（m，0），

∴AB，

22