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文档简介
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
专题25以四边形为载体的几何综合问题
【例1】(2022·贵州黔西·中考真题)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD边上的点(点E不与点
B,C重合),且.
∠𝐸�=45°
(1)当时,求证:;
(2)猜�想�B=E,��EF,DF三条�线�段=之��间存在的数量关系,并证明你的结论;
(3)如图2,连接AC,G是CB延长线上一点,,垂足为K,交AC于点H且.若,,
请用含a,b的代数式表示EF的长.𝐺⊥��𝐺=����=�𝐺=�
【例2】(2022·辽宁丹东·中考真题)已知矩形ABCD,点E为直线BD上的一个动点(点E不与点B重合),连
接AE,以AE为一边构造矩形AEFG(A,E,F,G按逆时针方向排列),连接DG.
(1)如图1,当==1时,请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系;
����
(2)如图2,当��=��=2时,请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系,并说明理由;
����
(3)如图3,在(��2)��的条件下,连接BG,EG,分别取线段BG,EG的中点M,N,连接MN,MD,ND,若AB
=,∠AEB=45°,请直接写出△MND的面积.
5
第1页共14页.
【例3】(2022·湖南益阳·中考真题)如图,矩形ABCD中,AB=15,BC=9,E是CD边上一点(不与点C重合),
作AF⊥BE于F,CG⊥BE于G,延长CG至点C′,使C′G=CG,连接CF,AC′.
(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形;
(2)若四边形AFCC′△是平行四边形,求CE的长;
(3)当CE的长为多少时,以C′,F,B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形?
【例4】(2022·四川绵阳·中考真题)如图,平行四边形ABCD中,DB=,AB=4,AD=2,动点E,F同时
从A点出发,点E沿着A→D→B的路线匀速运动,点F沿着A→B→D的2路3线匀速运动,当点E,F相遇时停止
运动.
(1)如图1,设点E的速度为1个单位每秒,点F的速度为4个单位每秒,当运动时间为秒时,设CE与DF交
2
于点P,求线段EP与CP长度的比值;3
(2)如图2,设点E的速度为1个单位每秒,点F的速度为个单位每秒,运动时间为x秒,ΔAEF的面积为y,
求y关于x的函数解析式,并指出当x为何值时,y的值最大3,最大值为多少?
(3)如图3,H在线段AB上且AH=HB,M为DF的中点,当点E、F分别在线段AD、AB上运动时,探究点E、
1
F在什么位置能使EM=HM.并说明3理由.
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【例5】(2022·上海·中考真题)平行四边形,若为中点,交于点,连接.
��������������
(1)若,
①证明��=��为菱形;
②若����,,求的长.
(2)以��为=圆5心,��=为3半径�,�为圆心,为半径作圆,两圆另一交点记为点,且.若在直线
上,求�的值.��������=2�����
��
��
第3页共14页.
一、解答题【共20题】
1.(2022·山西实验中学模拟预测)综合与实践:
问题情境:在综合与实践课上,数学老师出示了一道思考题:
如图,在正方形中,是射线上一动点,以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形,使得
,����,且�点恰好�在�射线上.�������
∠���=90°��=�����
(1)如图1,当点在对角线上,点在边上时,那么与之间的数量关系是_________;
探索发现:����������
(2)当点在正方形外部时如图2与图3,(1)中的结论是否还成立?若成立,请利用图2进行证明;若不
成立,请�说明理由�;���
问题解决:
(3)如图4,在正方形中,,当是对角线的延长线上一动点时,连接,若,求
的面积.������=22�������=62△���
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2.(2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模)(1)如图,在正方形中,是上一动点,将正
方形沿着折叠,点落在点处,连接,并延长交于点1.求证:�����;��
(2)在(�1�)的条件下�,如图�,延长�交�边于点��.�若��,求的值△;���≌△���
��2𝐺
(3)如图,四边形为矩形2,同样沿��着��折叠,连接�,延��长=3,𝐺分别交于,两点,若,
��3𝐺4
则的值为3_______�__�_�_�.(直接写出结果)��������������=4,𝐺=5
��
��
3.(2022·浙江嘉兴·一模)如图1,已知正方形和正方形,点B、C、E在同一直线上,,
.连接、.����������=�(�>1)
��=1����
(1)求图1中、的长(用含m的代数式表示).
(2)如图2,正��方形��固定不动,将图1中的正方形绕点C逆时针旋转度(),试探究、
之间的数量关系�,��并�说明理由.�����0°<�≤90°��
�(3�)如图3,在(2)条件下,当点A,F,E在同一直线上时,连接并延长交于点H,若,求m的
值.����𝐺=2
第5页共14页.
4.(2022·北京市第十九中学三模)如图,在中,,,是的中点,是延长线
上一点,平移到,线段的中垂线与线△段���的延长∠�线��交=于9点0°,�连�接>��、�.�����
��𝐺𝐺𝐸�𝐺��
(1)连接,求证:;
(2)依题意��补全图形,∠�用�等�式=表2∠示�线��段,,之间的数量关系,并证明.
����𝐺
5.(2022·浙江绍兴·一模)如图①,在正方形中,点E与点F分别在线段上,且四边形是正方
形.������,������
(1)试探究线段与的关系,并说明理由.
(2)如图②若将条��件中��的四边形与四边形由正方形改为矩形,,.
①线段在(1)中的关系�仍�然��成立吗?若�成��立�,请证明,若不成立,��请=写3出�你�=认4为正确的关系,并说明理
由.��,��
②当为等腰三角形时,求的长.
△�����
第6页共14页.
6.(2022·广东·揭西县宝塔实验学校三模)如图1,在矩形中,,,E是边上一点,连接
,将矩形沿折叠,顶点D恰好落在边上点F�处��,�延长��交=8的�延�长=线10于点G.��
��������������
(1)求线段的长;
(2)如图2,��M,N分别是线段,上的动点(与端点不重合),且,设.
①求证四边形AFGD为菱形;����∠𝐷�=∠𝐸���=�
②是否存在这样的点N,使是直角三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
△𝐷�
7.(2022·福建省福州教育学院附属中学模拟预测)问题发现.
(1)如图,中,,,,点是边上任意一点,则的最小值为______.
(2)如图①,R矩t形△���中,∠�=90,°��=3,点��=、4点分�别在��、上,求��的最小值.
(3)如图②,矩形����中,��=3,��=4,点�是�边上一点�,�且��,点𝐷是+��边上的任意一点,把
沿翻③折,点的�对��应�点为�,�=连3接��=、4,四�边�形�的面积是�否�=存2在最�小值�,�若存在,求这个最小△值�及��此
时��的长度.�若不存在,请�说明理由��.������
��
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8.(2022·广东·三模)特例发现:
如图1,点E和点F分别为正方形ABCD边BC和边CD上一点,当CE=CF时,则易得BE=DF,BE⊥DF.
(1)如图2,点E为正方形ABCD内一点,且∠ECF=90°,CF=CE,点E,F在直线CD的两侧,连接EF,BE,
DF,探究线段BE与DF之间的关系,并说明理由;
(2)如图3,在矩形ABCD中,AB∶BC=1∶2,点E在矩形ABCD内部,∠ECF=90°,点E,F在直线BC的两
侧,CE∶CF=1∶2,连接EF,BE,DE,BF,DF.请探究线段DE,BF之间的关系,并说明理由;
(3)若(2)中矩形ABCD的边AB=3,Rt△CEF的边CE=1,当BE=DF时,求BF的长.
9.(2022·浙江丽水·一模)在菱形中,,,点E在边上,,点P是边上一个动
点,连结,将沿翻折得��到���.�=6∠�=60°����=4��
��△�����△���
(1)当时,求的度数;
(2)若�点�F∥落��在对角线∠���上,求证:;
(3)若点P在射线上�运�动,设直线△�与�直�线∼△�交��于点H,问当为何值时,为直角三角形.
𝐸������△𝐺�
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10.(2022·广东·深圳市南山外国语学校(集团)二模)问题初探:数学兴趣小组在研究四边形的旋转时,遇到
了这样的一个问题.如图1,四边形ABCD和BEFG都是正方形,于H,延长HB交CG于点M.通过
测量发现CM=MG.为了证明他们的发现,小亮想到了这样的证明�方�法⊥:��过点C作于点N.他已经证
明了,但接下来的证明过程,他有些迷茫了.��⊥𝐷
△�𝐺≌△���
(1)请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整;
(2)深入研究:若将原题中的“正方形”改为“矩形”(如图2所示),且(其中k>0),请直接写出线段
����
CM、MG的数量关系为______;��=��=�
(3)拓展应用:在图3中,在和中,,,连接BD、
CE,F为BD中点,则AF与𝑅C△E的��数�量�关�系△为��__�____.∠𝐸�=∠𝐸�=90°∠���=∠���=30°
11.(2022·广东·佛山市华英学校三模)已知,在四边形中,与相交于点,,平分
.�����������∥��,��∥����
∠𝐸�
(1)如图,求证:四边形是菱形;
(2)如图1,过点作���于�,若,,求的长;
(3)如图2,��,�点⊥�为��延长线�上�一=点6,�连�接=8交�于�点,点、分别是、边上一点,
且3�,�过=点��作�的垂��线,垂足为,����,当���,��时,��求的长.(��>𝐺)
��=𝐺����∠�𝐷=∠�����=10𝐺=8��
第9页共14页.
12.(2022·广东·测试·编辑教研五一模)在矩形中,,是的中点,点是上一点,连接,
过点作交于点,连接.������>����������
���⊥�������
(1)如图(1),点在上运动时的大小是否改变?请说明理由.
(2)如图(2),连接���,若∠�,��交于点,,,求的值.
��
����⊥����⊥�������=4��=26��
13.(2021·吉林·长春市赫行实验学校二模)阅读理解在学习中,我们学习了一个定理:直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半,即:如图1,在[中,],若点是斜边的中点,则.
1
灵活应用如图2,中,RtΔAB,C∠�,��=90,°点是�的中点��,将沿��翻=折2�得�到,
[连接,].Δ���∠𝐸�=90°��=6��=8���Δ�����Δ���
����
(1)根据题意,则的长为.
(2)判断的形�状�,并说明理由.
(3)请直接Δ�写��出的长.
��
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14.(2022·广东·东莞市光明中学三模)中,,,点为直线上一动点点不与,
重合,以为边在右侧作菱形△�,�使�∠𝐸�=,60连°接��.=�����(��
�)��������∠𝐸�=60°��
(1)观察猜想:如图,当点在线段上时,
与的位置关1系为:_�_____.��
①��,��,之间的数量关系为:______;
②(2)数��学思��考:�如�图,当点在线段的延长线上时,结论,是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不
成立,请你写出正确2结论再�给予证明�.�①②
(3)拓展延伸:如图,当点在线段的延长线上时,设与相交于点,若已知,,求
1
的长.3����������=4��=2����
15.(2022·福建省福州屏东中学三模)如图,抛物线与轴交于点,对称轴交轴于点
2
,点是抛物线在第一象限内的一个动点,�交=轴��于−点4�,�交+2轴(�于<点0),�轴于�点,点是�抛物线
�的顶点�,已知在点的运动过程中,的最大��值⊥是���.�����⊥���
���42
(1)求点的坐标与的值;
(2)当点�恰好是�的中点时,求点的坐标;
(3)连结�,作点��关于直线的对�称点,当点落在线段上时,则点的坐标为______直接写出答案
����������.()
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16.(2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测)【操作与发现】
如图①,在正方形ABCD中,点N,M分别在边BC、CD上.连接AM、AN、MN.∠MAN=45°,将△AMD绕
点A顺时针旋转90°,点D与点B重合,得到△ABE.易证:△ANM≌△ANE,从而可得:DM+BN=MN.
(1)【实践探究】在图①条件下,若CN=6,CM=8,则正方形ABCD的边长是______.
(2)如图②,在正方形ABCD中,点M、N分别在边DC、BC上,连接AM、AN、MN,∠MAN=45°,若tan∠BAN,
1
求证:M是CD的中点.=3
(3)【拓展】如图③,在矩形ABCD中,AB=12,AD=16,点M、N分别在边DC、BC上,连接AM、AN,已知
∠MAN=45°,BN=4,则DM的长是______.
17.(2022·辽宁阜新·中考真题)已知,四边形是正方形,绕点旋转(),,
,连接,.����△������<��∠���=90°��=
������
(1)如图,求证:≌;
(2)直线1与相交△于�点��.△���
如图��,��于点�,于点,求证:四边形是正方形;
①如图2,连𝐷接⊥�,�若��,�⊥��,直�接写出在�旋�转��的过程中,线段长度的最小值.
②3����=4��=2△�����
第12页共14页.
18.(2022·江苏镇江·中考真题)已知,点、、、分别在正方形的边、、、上.
����������������
(1)如图1,当四
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