专题18二次函数与旋转变换综合问题（原卷版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题18二次函数与旋转变换综合问题

【例1】（2022•凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A

（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段

DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点P的坐标；

（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存

在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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【例2】．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣4分别与x，y轴交于

点A，B，抛物线y＝x2+bx+c恰好经过这两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点C的坐标是（0，6），将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A

的对应点是点E．

①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；

②若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标．

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【例3】．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y

轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将

射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；

（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．

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2

【例4】．（2022•河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax+2x+b与x轴交于两点A，

B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；

（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x

轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；

（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，

N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰

三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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一．解答题（共20小题）

1．（2022•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，

与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）．

（1）求抛物线W1的表达式；

（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D′，在抛

物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存

在，请说明理由．

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2．（2022•双流区模拟）如图，抛物线C：y＝ax2+6ax+9a﹣8与x轴相交于A，B两点（点A

在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D．

（1）求a的值及顶点D的坐标；

（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180°后得到抛物线C1，记抛

物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）．当点P与

点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；

（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以

取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类

函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标．

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3．（2022•灞桥区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+6与x

轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC＝3．

（1）求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；

（2）将抛物线L绕着点O旋转180°得到抛物线L1，抛物线L1与x轴交于F点、E点

（点F在点E的左侧），与y轴交于点M，则抛物线L1的对称轴上是否存在一点Q，使

|QF﹣QM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由．

2

4．（2022•莲湖区二模）已知抛物线W1：y＝ax﹣bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）

两点与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求抛物线W1的表达式；

（2）将抛物线W1绕原点O旋转180°后得到抛物线W2，W2的顶点为D'，点M为W2

上的一点，当△D'DM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标．

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5．（2022•深圳三模）已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴

于另一点B．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，

求P点坐标；

（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N

分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．

①直线EF的解析式是；

②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．

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6．（2022•无锡二模）二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，

且A（﹣1，0）、B（4，0）．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）①如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足为D，点F（﹣，

0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与

△FEN相似，求点N的坐标；

②如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45°，

交抛物线于点P，求点P的坐标；

（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且△QOT为等腰三角形，若符合条

件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标．

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7．（2022•沙湾区模拟）如图，抛物线f（x）：y＝a（x+1）（x﹣5）与x轴交于点A、B（点A

位于点B左边），与y轴交于点C（0，．

（1）求抛物线f（x）的解析式；

（2）作点C关于x轴的对称点C'，连接线段AC，作∠CAB的平分线AE交抛物线于点

E，将抛物线f（x）沿对称轴向下平移经过点C'得到抛物线f'（x）．在射线AE上取点F，

连接FC，将射线FC绕点F逆时针旋转120°交抛物线f'（x）于点P．当△ACF为等腰

三角形时，求点P的横坐标．

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8．（2022•灌南县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，与y

轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）直线l上是否存在点N，使得S△MBN＝2S△MAC？若存在，求出点N的坐标；若不存

在，请说明理由．

（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45°，求新抛物线与y轴交点P坐标．

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9．（2022•红花岗区三模）如图（1），△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P在线段AC

上，从C点向A点运动，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于点D，完成下列问题：

（1）①点E到BC边的距离为；

②若CD＝x，△BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为；（不写自变量取

值范围）

（2）当△BDE的面积为15时，若PC＜AC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为x、

y轴建立坐标系如图（2），抛物线C1过点A、D、B；

①点Q在抛物线C1上，且位于线段PB的下方，过点Q作QN⊥PB，垂足为点N，是否

存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明

理由；

②将抛物线C1绕原点C旋转180°，得到抛物线C2，当﹣2a≤x≤﹣a时（a＞0），抛物

线C2有最大值2a，求a值．

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10．（2022•乳源县三模）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图

象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，

0），点C的坐标为（0，4）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当

△APC的面积最大时，求△APM周长的最小值；

（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y'，在新抛物线y'的对称轴上

是否存在点Q使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，

说明理由．

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11．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，

﹣3），与x轴的交点为B、C，直线l：y＝2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，

P是直线l下方抛物线上一动点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）过点P作线段PM∥x轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及

PM的最大值；

（3）把抛物线绕点O旋转180°，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新

抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接

写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其

中一个点G的坐标的过程写出来．

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12．（2021秋•北京期中）定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的

2

顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联．例如，如图，抛物线y＝x的顶点（0，

0）在抛物线y＝﹣x2+2x上，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点（1，1）也在抛物线y＝x2上，所

以抛物线y＝x2与y＝﹣x2+2x关联．

22

（1）已知抛物线C1：y＝（x+1）﹣2，分别判断抛物线C2：y＝﹣x+2x+1和抛物线C3：

2

y＝2x+2x+1与抛物线C1是否关联；

（2）抛物线M1：的顶点为A，动点P的坐标为（t，2），将抛物线M1

绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析

式；

（3）抛物线M1：的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将

线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写

出点B1的纵坐标．

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13．（2021•锡山区一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x＝1，与

x轴的交点为A（﹣3，0）和B，将抛物线y＝x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，

点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．

（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；

（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；

（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD

的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请

说明理由．

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14．（2022秋•道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝

x+3交x轴于点A，y轴于点D，抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，交y轴于点

C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t，连接AP、DP，△APD的面积为s，求s

关于t的函数关系式；（不要求写自变量t的取值范围）

（3）在（2）的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且∠EPD＝2

∠PDC，过点E作EF⊥PD交PD于G，y轴于点F，连接PF，若，求线

段PF的长．

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15．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，

点A（4，0），∠AOC＝60°，点C的纵坐标为，点D是边BC上一点，连接OD，

将线段OD绕点O逆时针旋转60°得到线段OE．

给出如下定义：

如果抛物线y＝ax2+bx（a≠0）同时经过点A，E，则称抛物线y＝ax2+bx（a≠0）为关于

点A，E的“伴随抛物线”．

（1）如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为，此时关于点A，E的“伴

随抛物线”的解析式为；

（2）如图2，当点D在边BC上运动时，连接CE．

①当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；

②若关于点A，E的“伴随抛物线”y＝ax2+bx（a≠0）存在，直接写出a的取值范围．

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16．（2020秋•天心区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣x2+bx+c

与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4，0），B（4，0），设点F（m，

0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线

C'．

（1）求抛物线C的函数解析式；

（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物

线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否

成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

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17．（2022•大庆模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴

分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交

点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F

在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的

函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点

A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请

直接写出点A1的横坐标．

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