圆内接四边形教学课件浙教版数学九年级上册

3.6圆内接四边形年级：九年级学科：初中数学（浙教版）问题1：在⊙O上，任取三点A、B、C顺次连结，得到的是什么图形？这个图形与⊙O有什么关系？过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。回顾旧识，探索新知问题2：任意的三角形都可以画出其外接圆，那么过任意四边形的4个顶点都能画出一个圆吗？过四边形的4个顶点不一定能画一个圆。类比探索，概念聚焦问题3：如图，四边形ABCD2的四个顶点都在⊙O上，请类比三角形，描述四边形ABCD2与⊙O的关系。

三角形的3个顶点确定一个圆四边形的4个顶点都在同一个圆上这个圆叫做三角形的外接圆这个三角形叫做圆的内接三角形这个圆叫做四边形的外接圆这个四边形叫做圆的内接四边形类比探索，概念聚焦

如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。例如上图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。思考：一个圆内可以作出几个圆的内接四边形？无数个自主探究，提出猜想BD为直径∠A=∠C=90º∠A+∠C=180º∠ADC+∠ABC=180º探究1：已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？探究2：已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若BD不为⊙O的直径，探究1的结论是否仍然成立？猜想仍然成立∠A+∠C=180º∠ADC+∠ABC=180º推理证明，验证猜想已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°

BAD

与

BCD的度数之和为360°

同理可证∠B＋∠D＝180°回顾猜想，归纳新知几何语言：∴∠A+∠C=180º

∠B+∠D=180º∵四边形ABCD内接于⊙O练习1：已知圆内接四边形有一个内角是50°，求它的对角度数。练习2：若⊙O的内接四边形ABCD满足∠A=∠C，∠B=∠D，则四边形ABCD是怎样的特殊平行四边形？130º∠A=∠B=∠C=∠D=90º矩形圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补。例题演练，掌握新知例1

如图，AD是∆ABC的外角∠EAC的平分线，与∆ABC的外接圆交于点D。求证：DB=DCDB=DC∠DCB=∠DAE∠EAD+∠BAD=180º∠DCB+∠BAD=180º∠DAC=∠DAE角平分线∠DAC=∠DBC同弧所对圆周角∠DBC=∠DCB等角对等边例题演练，掌握新知发现：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.证明：∵AD是∠EAC的平分线，∴∠DAC=∠DAE.∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠DCB=180°(圆内接四边形的对角互补).∴∠DCB=∠DAE.而∠DAC=∠DBC(在同圆中,同弧所对的圆周角相等)∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC.例1

如图，AD是∆ABC的外角∠EAC的平分线，与∆ABC的外接圆交于点D。求证：DB=DC巩固练习，性质应用

如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E。求证：BC＝EC.∠E=∠EBC∠ABC+∠D=180º圆内接四边形性质∠ABC+∠EBC=180º∠D=∠EBC∠EAC=∠DAC弧中点∠E=∠D等角的余角相等BC=

EC巩固练习，性质应用如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，点C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E。求证：BC＝EC.证明：连接AC.∵AD是⊙O

的直径，∴∠ACD＝∠ACE＝90°.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＋∠ABC＝180°，又∠ABC＋∠EBC＝180°，∴∠EBC＝∠D.∵C是弧BD的中点，∴∠EAC＝∠DAC，∴∠EAC＋∠E＝∠DAC＋∠D＝90°，∴∠E＝∠D，∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC.实际应用，延伸拓展例2

如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？思考：要使锯出的横截面正方形面积尽可能大，正方形和圆应该满足什么关系？问题：如何画出这个正方形？正方形内接于⊙O正方形四个直角对角线为直径对角线互相垂直实际应用，延伸拓展例2

如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯出的木材的体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？当原木的直径为30cm时，AO=BO=15cm，正方形ABCD的面积为4×AO×BO=4××15×15=450(cm2)=4.50×10-2(m2).所以木材的体积为4.50×10-2×15=0.675(m3).答：沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材.如果这根原木长15m，那么锯出木材的体积为0.675m3.

课堂小结，归纳梳理类比概念数学基本思想：圆的内接三角形圆的内接四边形性质特殊应用圆木切割类比思想从特殊到一般数学建模思想一般合作学习，思维拓展判定方法：问题：不是所有的四边形都有外接圆，那满足什么条件的四边形会有外接圆呢？应用：如图，四边形ABCD，AD⊥BD，AC⊥BC，且∠DAB=50o，则∠ACD=______。40o2、四边形的两个对角互补。1、四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等。（如∠1与∠2）合作学习，思维拓展判定方法：问题：不是所有的四边形都有外接圆，那满足什么条件的四边形会有外接圆呢？变式：如图，四边形ABCD，AD⊥BD，AC⊥BC，且∠DAB=50o，则∠ACD=______。40o1、四边形中同一边所对的两个边与对角线所成的角相等。（如∠1与∠2