任意角课件高一上学期数学人教A版3

第五章

三角函数

任意角课本P168学习目标新课程标准核心素养1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念．数学抽象2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．直观想象3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．数学运算4.能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础.逻辑推理复习回顾怎么认识初中所学的“角”？角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。OAB情景引入【情境探究】问题1.你的手表慢了5分钟，你是如何将它校准的呢？当时间校准后，分针旋转了多少度？情景引入问题2：我们以前所学角都在0°~360°的范围内，生活中有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明．任意角—课本P169一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．1.角的推广角的表示：简记：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．相等角—课本P169

设∠α由射线OA绕端点O旋转而成，∠β由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β.

设α，β是任意角，我们规定：把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β.αβα+βOA相反角—课本P169

我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.

角α的相反角记为-α，则α-β=α+(-β).这样，角的减法可以转化为角的加法小试牛刀

如图(1)，∠AOC=

；如图(2)，∠AOC=

.

跟踪训练

1110°-70°

(1)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A.120° B.-120° C.-60° D.60°√(2)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC=

.

-75°例

1

题型一任意角的概念象限角—课本P169为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角x轴非负半轴x轴非正半轴y轴非负半轴y轴非正半轴xy象限角/轴线角—课本P169

使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我们称这个角为轴线角.例如90o、180o小试牛刀

题型二象限角终边相同的角—课本P170【探究】把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？【答】不难发现，OB除了可以表示-32°的角之外，还可以表示-392°，-328°等角.328°=-32°+360°k(这里k=

)-392°=-32°-360°(这时k=

)设S={β|β=-32°+k·360°，k∈Z}它们之间有什么关系？则-392°，-328°解都是S的元素，角-32°也是S的元素，此时k=0因此，所有与-32°角终边相同的角，连同-32°在内都是集合S的元素，反过来，在集合S的任一元素显然与-32°的终边相同1-1-32o与k个360o的和终边相同的角—课本P170一般地，所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.终边相同的角—课本P170终边落在x轴正半轴上｛α|α=k·360°，k∈Z｝终边落在x轴负半轴上｛α|α=180°+k·360°，k∈Z｝终边落在y轴正半轴上｛α|α=90°+k·360°，k∈Z｝终边落在y轴负半轴上｛α|α=270°+k·360°，k∈Z｝终边落在x轴上｛α|α=k·180°，k∈Z｝终边落在y轴上｛α|α=90°+k·180°，k∈Z｝终边落在坐标轴上｛α|α=k·90°，k∈Z｝终边相同的角—课本P170例

2

题型三终边相同的角终边相同的角—课本P170终边落在x轴非负半轴上_________________________终边落在x轴非正半轴上_______________________________终边落在y轴非负半轴上_____________________________终边落在y轴非正半轴上_______________________________终边落在x轴上_______________________终边落在y轴上____________________________终边落在坐标轴上_______________________｛α|α=k·360°，k∈Z｝｛α|α=180°+k·360°，k∈Z｝｛α|α=90°+k·360°，k∈Z｝｛α|α=270°+k·360°，k∈Z｝｛α|α=k·180°，k∈Z｝｛α|α=90°+k·180°，k∈Z｝｛α|α=k·90°，k∈Z｝完成下表.延伸探究

反思感悟(1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.(2)终边相同的角相差360°的整数倍.(3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.终边相同的角的表示学以致用

题型四区域角终边落在第一象限_________________________终边落在第二象限_______________________________终边落在第三象限_____________________________终边落在第四象限_______________________________完成下表.｛α|k·360°<α<k·360°+90°，k∈Z｝｛α|k·360°+90°<α<k·360°+180°，k∈Z｝｛α|k·360°+180°<α<k·360°+90°+270°，k∈Z｝｛α|k·360°+270°<α<k·360°+360°，k∈Z｝学以致用

题型四区域角

如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α=60°，β=315°.例

4解：因为与角β终边相同的一个角可以表示为-45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为｛γ|-45°+k·360°<γ<60°+k·360°，k∈Z｝.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°~360°范围内的角θ的集合.解：｛θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°｝.学以致用

题型四区域角(1)表示区域角的三个步骤①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β，写出最简区间｛x|α<x<β｝，其中β-α<360°.③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合.(2)实线包括边界，虚线不包括边界.学以致用

题型四区域角

如图所示，终边落在阴影部分